Вернуться 9. ДИНАМИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА Дальше

Твёрдое тело наряду с поступательным движением может совершать вращение вокруг центра или оси. Вращательный эффект силы характеризуется её моментом. Моментом силы (рис. 37), действующим на материальную точку А относительно точки О, называют величину, равную векторному произве- дениюрадиуса-вектора,проведённого в точку приложения силы на эту силу

плоскости чертежа «от нас». Найдём его численное значение

9.1. Уравнение моментов

Продифференцируем момент импульса по времени

63

как внешних, так и внутренних. Однако внутренние силы можно не принимать во внимание, т. к. их полный момент относительно любого начала равен нулю. Это объясняется тем, что внутренние силы всегда существуют попарно (по третьему закону Ньютона). Тогда внутренние силы взаимно уничтожаются, аих полный момент будет равен нулю.

Таким образом, третий закон Ньютона позволяет исключить из уравнения моментов внутренние силы. Получается более силь-

ный результат

Производная по времени от момента импульса материальной точки относительно произвольного начала равна геометрической сумме моментов всех внешних сил относительно того же начала.

Импульсом системы называется сумма импульсов материальных точек, её составляющих n

p = ∑pi .

Моментом импульса системыi=1относительно точки О, принятой за начало, называется сумма моментов импульса материальных то-

чек системы относительно точки О:

L = ∑n Li .

i=1

Моментом силы, действующей на систему материальных точек

M = ∑Mi .

i=1

64

9.2. Закон сохранения момента импульса

Этот закон, так же как и закон сохранения импульса, справедливлишьдля замкнутых систем. Для них момент внешних сил M равен нулю и уравнение моментов примет вид

ddtL = 0 .

Интегрируя это уравнение, получаем

L = const или Lx = const, Ly = const, Lz = const.

Момент импульса замкнутой системы не изменяется при любых процессах, происходящих внутри системы. Video

Может случиться, что система неявляется замкнутой, но нанекоторые направления, например, на ось х, проекция момента сил равна нулю. Тогда уравнение моментов запишется в проекциях так

Следовательно, систему можно считать замкнутой лишь в отно-

шении Lx проекции момента импульса Lx = const.

Поэтому закон сохранения момента импульса, так же как и закон сохранения импульса, можно применять не только к полностью замкнутым, но и к частично замкнутым системам.

Моментом инерции материальной точки относительно оси вра-

щения называют произведение массы точки на квадрат расстояния её от оси вращения:

Ii = miri2 .

Момент инерции системы равен сумме моментов инерций всех её точек относительно одной и той же оси

n

I = ∑miri2 .

i=1

В механике часто используется понятие момента какого-либо вектора (силы, импульса и т. д.) относительно некоторой оси.

Момент вектора относительно оси равен проекции на неё момента этого вектора относительно любой её точки.

65

9.3. Основное уравнение динамики вращательного движения

Применим уравнение моментов относительно оси к рассмотрению вращательного движения. За неподвижную ось моментов удобно выбрать ось вращения (рис. 39). Если материальная точка вращается по окружности радиуса r, то модуль момента её импульса относительно оси вращения О равен Li = miviri .

Пусть ω — угловая скорость вращения, тогда vi = ωri , и, следовательно, Li = miri2ω.

i=1

темы относительно оси вращения.

Если на вращательное движение системы материальных точек накладывается радиальное движение, атакже движение параллельно оси, то наличие таких движений не отразится на справедливости формулы L = Iω. Это следует из того, что момент импульса материальной точки зависит от её скорости v линейно, т. к. L =[r, mv]. Когда скорость v направлена по радиусу или параллельно оси вращения, то момент импульса относительно этой оси равен нулю. Поэтому такие движения непосредственно несказываются навидесвязи между моментом импульса системы относительно оси вращения и её угловой скоростью.

Их влияние косвенное и состоит в том, что момент инерции I перестаёт быть постоянной величиной, аменяется во времени в соответствии с изменением мгновенной конфигурации системы.

66

В этом случае уравнение dLdtx = M x принимает вид

dtd (Iω)= M,

где М — момент внешних сил относительно оси вращения.

Это основное уравнение динамики вращательного движения

вокруг неподвижной оси. Оно напоминает уравнение Ньютона для движения материальной точки.

Если момент внешних сил М относительно оси вращения равен нулю, то вращательный импульс I ω= const.

Важным частным случаем является вращение неизменяемой системы материальных точек или твёрдого тела вокруг неподвиж-

В таком виде эти равенства верны всегда.

Если тело однородное, симметричное относительно оси вращения, то

Но это частный, хотя и важный случай.

Длянесимметричного(илинеоднородного)теламоментимпульса L не совпадает по направлению с вектором ω .

В случае вращения однородного симметричного тела силы бокового давления подшипников на ось не возникают. В отсутствие силы тяжести подшипники можно было бы убрать — ось и без них сохраняла бы своё положение в пространстве.

Ось, положение которой в пространстве остаётся неизменным при вращении вокруг неё тела в отсутствие внешних сил, называется свободной осью тела.

Подсчитаем кинетическую энергию вращающегося тела. Для каждого элементарного объёма

Wкêi = m2ivi2 .

67

Для всего тела

Wкê = ∑in m2ivi2 .

=1

Если тело вращается вокруг неподвижной оси с угловой скоростью ω, то линейная скорость его i-й точки vi = ωri .

Тогда

где I — момент инерции тела относительно оси вращения.

Эта формула ещё раз подтверждает, что привращательном движении мерой инертности тела является его момент инерции.

9.4. Вычисление моментов инерции

Момент инерции тела относительно какой-либо оси можно найти вычислением или измерить экспериментально. Если вещество втеле распределено непрерывно, то вычисление момента инерции сводится к вычислению интеграла

I = ∫r2dm ,

где r — расстояние от элемента массы dm до оси вращения. Интегрирование должно производиться по всей массе тела.

Аналитическое вычисление таких интегралов возможно только в простейших случаях тел правильной геометрической формы.

Например,вычислим момент инерции бесконечно тонкого круг­

имеет радиус R и массу m (рис. 41). Пусть ось z перпендикулярна плоскости диска и проходит через центр диска в точке О. Выделим в диске

кольцо бесконечно малой ширины dr, имеющее радиус r.

68

9.5. Теорема Гюйгенса — Штейнера

Найдём связь между моментами инерции тела относительно двух различных параллельных осей. Пусть ось С (рис. 44) перпендикулярна плоскости рисунка и проходит через центр масс тела, а параллельная ей ось Онаходитсяна расстоянии d от неё. Возьмём­

69

Используем для второго слагаемого определение координаты центра масс системы, и тогда момент инерции тела относительно

i=1

Если ось С проходит через центр масс системы, то слагающая радиус-вектора центра масс Rc = 0 , и мы окончательно имеем

I = md 2 + Ic .

70

для нахождения момента инерции стержня относительно оси, про-

ходящей через один из его концов

IO =121 ml2 + 14 ml2 = 13 ml2 .

Твёрдое осесимметричное тело, вращающееся с большой угловой скоростью вокруг своей геометрической оси, называется (техниче-

ским) гироскопом. При таком вращении вектор момента импульса L (как и вектор угловой скорости ω ) будет направлен вдоль оси тела.

До тех пор, пока на гироскоп не действуют никакие силы, его ось будет сохранять своё направление впространстве: всилу закона сохранениямоментаимпульсанаправление(каки величина)вектора

Lостаётся неизменной. Такой гироскоп носит названиесвободного. Если же приложить к гироскопу внешние силы, его ось начнёт

отклоняться. Именно это движение гироскопа, называемое прецессией, и будет нас интересовать.

рой силы вызывает поворачивание его оси в направлении, перпендикулярном направлению силы. Это свойство гироскопа носит на-

звание гироскопического эффекта.

Найдём скорость этого прецессионного движения.

71

условие означает, что потенциальная энергия гироскопа в поле силы тяжести должна быть мала по сравнению с его кинетической энергией.

Изменение направления оси гироскопа представляет собой его вращение относительно некоторой другой оси, так что вектор суммарной угловой скорости уже не будет направлен вдоль геометрической оси тела. Вместе с ним не будет уже совпадать с той же осью (а также и с направлением ω ) и вектор момента импульса L .

Однако, если основное вращение гироскопа достаточно быстро, а внешние силы не слишком велики, скорость поворачивания оси гироскопа будет относительно мала и вектор ω , а с ним и L будут всё время близки по направлению к оси гироскопа.

Характерной особенностью прецессии является то, что она не имеет «инерции» — прецессионное движение прекращается в момент прекращения действия сил, что с очевидностью вытекает из уравнения моментов. Поэтому её поведение аналогично не скорости, а ускорению, потому что ускорение прекращается одновременно с прекраще-

нием действия силы. Video Из эксперимента следует, что если за-

медлять прецессионное движение, то ось гироскопа начинает опускаться, а если ускорять, то она поднимается. В этом проявляется принцип Ле Шателье Брауна, согласно которому на внешнее воздействие система реагирует так, чтобы ослабить, ликвидировать это воздействие.

Нутация — колебание, происходящее одновременно спрецессией движение твёрдого тела, при котором изменяется угол

72

междуосьюсобственноговращениятелаиосью,вокругкоторойпроисходит прецессия (рис. 48). Этот угол θ называетсяуглом нутации.

Из-за наличия сопротивления (трения) нутационные колебания довольно быстро затухают, после чего гироскоп совершает чисто прецессионное движение.

9.7. Главные оси инерции

Можно доказать, что для тела любой формы и с произвольным распределением массы существуют три взаимно перпендикулярные, проходящие через центр инерции тела оси, которые могут служить свободнымиосями.Ониназываются главными осями инерции тела.

У однородного параллелепипеда (рис. 49) главными осями инер-

ции будут оси О1О1, О2О2, О3О3, проходящие через центры противоположных граней. Все три оси фиксированы.

Рис. 49. Несимметричное тело

У тела, обладающегоосевой симметрией (рис. 50), одной изглавных осей инерции является ось симметрии. В качестве двух других осей могут служить две взаимно перпендикулярные оси, лежащие в плоскости, перпендикулярной коси симметрии, ипроходящие через центр инерции тела. Таким образом, утела с осевой симметрией фиксирована только одна из главных осей инерции.

У тела с центральной симметрией, т. е. у шара, плотность которого зависит только от расстояния до центра, главными осями инерции являются три любые взаимно перпендикулярные оси,

73

Такие тела ведут себя как однородные тела вращения. Их назы-

вают симметричными волчками.

И, наконец, в случае тела с центральной симметрией все три главных момента инерции одинаковы

I1 = I2 = I3 .

Равными значениями главных моментов инерции обладает не только однородный шар, но и однородный куб. В общем случае такое равенство может наблюдаться принадлежащем распределении массы для тела произвольной формы. Все подобные тела называют

шаровыми волчками.

Если тело вращается в условиях, когда какое-либо воздействие извне отсутствует, то устойчивым оказывается только вращение вокруг главных осей, соответствующих максимальному и минимальному значениям момента инерции. Вращение вокруг оси, соответствующей промежуточному по величине моменту, будет неустойчиво.

При наличии внешнего воздействия, например, со стороны нити,

за которую подвешено вращающееся тело, устойчивым оказывается только вращение вокруг главной оси, соответствующейнаибольшему значению момента инерции.

74

9.8. Эллипсоид инерции твёрдого тела. Понятие о тензоре инерции

Установим зависимость между величинами моментов инерции тела для осей вращения, пересекающихся в одной точке.

Пусть mi (x, y, z) — элемент массы тела. Определим момент инерции тела относительно некоторой оси ОА (рис. 51). За начало координат выберем произвольную точкуО, которая находится втеле на этой оси. С осями координат, направление которых выбрано тоже произвольно, ось вращения составляет углы α, β, γ .

Рис. 51. К определению момента инерции тела относительно оси ОА

75

Видно, что момент инерции в общем случае определяется шестью величинами, а не одной, как его аналог — масса. Для различных осей, проходящих через начало координат (разные углы α, β, γ), величины моментов инерции будут существенно различны.

Выражения при квадратах косинусов углов представляют собой моменты инерции тела относительно осей координат

называются центробежными моментами инерции.

76

Эти величины могут быть положительными, отрицательными или равными нулю.

Перепишем выражение (9.4) в новых обозначениях:

Тензором инерции относительно точки Оназывается следующая совокупность величин:

Тензором называют упорядоченную совокупность девяти величин, заданную в каждой системе координат, причём при повороте координатных осей эти величины преобразуются как произведения компонентов двух векторов.

Величины Ixx , Iyy , Izz являются диагональными элементами

тензора, а остальные недиагональными.

В нашем случае величины, расположенные симметрично относительно диагонали, равны. Такой тензор называется симметричным.

Рассмотрим геометрическую интерпретацию изменения величины момента инерции тела (9.5).

Отложим от начала координат по всем осям в произвольном, но в одном масштабе отрезки (рис. 51)

отрезков образуют некоторую поверхность. Найдём уравнение этой поверхности.

Координаты конца любого отрезка OD могут быть написаны в виде

Пользуясь этим соотношением, из уравнения (9.5) получаем уравнение поверхности в виде

I = Ixx x2 I + I yy y2 I + Izz z2 I − − 2Iyz zyI − 2Ixz xzI − 2Ixy xyI

77

Так как отрезки OD всегда конечны, то можно утверждать, что поверхность, описываемая уравнением (9.7), является поверхностью эллипсоида. Зная эту поверхность, можно всегда определить момент инерции тела относительно любой оси, проходящей через начала

координат, т. к. I = OD1 2 .

Эта поверхность называется эллипсоидом инерции относительно точки О, выбранной произвольно. Оси эллипсоида называются

главными осями инерции тела в этой точке.

Из аналитической геометрии известно, что эллипсоид имеет три взаимно перпендикулярные оси. Уравнение эллипсоида, отнесённое к этим осям, имеет наиболее простой вид, оно не содержит членов с произведениями различных координат. Поэтому, принимая главные оси инерции тела за оси координат, можно положить центробежные моменты инерции равными нулю:

Ixy = I yz = Izx = 0.

Учитывая это, из уравнения (9.5) получаем

В этом случае момент инерции определяется не шестью, а как вектор тремя величинами. Соответственно, тензор инерции будет иметь вид

О тензоре в этом случае говорят, что он приведён к диагональ-

ному виду.

Если главные оси проведены через центр масс тела, они назы-

ваются центральными главными осями, а тензор — центральным тензором.

Для однородных симметричных тел главные центральные оси инерции — оси симметрии тела.

Еслиосесимметричноетелоимеетдвевзаимноперпендикулярные главные оси с одинаковыми моментами инерции (например,

78

сплошной однородный цилиндр), то соответствующий эллипсоид инерции будет эллипсоидом вращения. Такой случай мы наблюда - ем у стержня с квадратным сечением; из условий симметрии мы заключаем, что два главных направления имеют одинаковые моменты инерции.

Из тех же соображений можно установить, что это эллипсоид инерции для куба вырождается в сферу.

Одним из наиболее распространённых экспериментальных методов определения моментов инерции твёрдого тела относительно некоторой оси является измерение периода его крутильных колебаний вокруг этой оси. Момент инерции I и период колебания T связаны соотношением

79