Вернуться 4. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ Дальше

Динамика изучает движение тел всвязи стеми причинами (взаимодействиями между телами), которые обусловливают тот или иной характер движения. Взаимодействие тел характеризуется физической величиной, которая называется силой.

Силаявляетсяколичественноймеройдействиятелдругнадруга, в результате которых они изменяют состояние своего движения.

Изменение состояния движения какого-либо тела всегда вызывается действием на него сил, исходящих от определённых других тел.

Сила как количественная мера взаимодействия тел характеризу-

ется не только своей величиной, но и направлением, а также точкой приложения, т. к. является векторной величиной.

Всовременной физике до недавних пор различали четыре вида взаимодействий: 1) гравитационное (взаимодействие обусловлено всемирным тяготением); 2) сильное (обеспечивает связь частиц

ватомном ядре); 3) слабое (ответственное за многие процессы распада элементарных частиц); 4) электромагнитное (осуществляется через электрические и магнитные поля).

Слабое и электромагнитное воздействия удалось объединить

врамках одной теории в 1979 г. Шелдону Глэшоу, Абдусу Саламу и Стивену Вайнбергу, за что они были удостоены Нобелевской премии.

Вмеханике принято рассматривать три вида сил:

1) гравитационные;

2)упругие, действующие как между соприкасающимися телами, так и между соседними слоями одного и того же тела (по своей природе являются электромагнитными);

3)силы трения, действующие насоприкасающиеся поверхностные слои тел изависящие как отсостояния поверхностей соприкосновения, так и от относительной скорости тел.

4.1. Статическое и динамическое проявление сил

Силы могут проявляться динамически и статически. Динамическое проявление сил состоит в том, что под их дейст-

вием тела приобретают ускорение, причём, чем больше величина действующей силы, тем больше будет и ускорение тела, на которое эта сила действует.

22

Статически силы проявляются в том, что находящиеся под их воздействием тела, хотя и не приобретают ускорений, но так или иначе (в зависимости от величины действующих сил) деформируются и в результате этого воздействуют на другие тела, удерживающие их от движения.

Сила, действующая натело, проявляется статически только тогда, когда кроме неё на это тело будет действовать, по крайней мере, ещё одна сила со стороны другого тела, препятствующего динамическому действию данной силы.

4.2. Измерение сил

Измерение сил следует проводить путём количественного сравнения конкретных результатов их действий. Чем больше результат действия измеряемой силы, тем больше будет ивеличина этой силы. Поскольку силы могут проявляться как динамически, так истатически, можно указать и два различных способа их измерения.

На динамическом действии сил, состоящем в сообщении телам ускорений, можно основать динамический способ измерения сил:

силы можно измерять путём сравнения иизмерения ускорений, при­ обретаемых некоторым определённым телом в результате их действия, поскольку чем больше величина силы, тем большим будет и ускорение, приобретаемое данным телом врезультате её действия.

Однакодинамическийспособизмерениясилприменяетсяредко (в частности, в космонавтике).

В земной практике обычно применяется статический способ измерения сил. А именно, силы можно измерять по величине деформаций тел, вызываемых их статическим действием.

Статический метод измерения сил основан на следующих четырёх аксиомах, являющихся обобщением опытных фактов.

1.Сила F считается равной нулю, если, будучи приложенной

ксвободному телу, не изменяет состояния его движения, т. е. не изменяет его скорости (в частности, не выводит тело из состояния

покоя).

2. Силы F1 и F2 будут равны друг другу по величине и направ-

лению (F1 = F2 ), если каждая изних уравновешивается одной итой же третьей силой (такие две силы, действуя поочерёдно наодну иту же материальную точку сообщают ей одинаковое ускорение).

23

3. Две силы F1 и F2 считаются равными по величине и противоположными по направлению (F1 = – F2 ), если будучи одновременно приложенными к свободному точечному телу, не изменяют состояния его движения, т. е. не сообщают ему ускорения. Такие две силы называются взаимно уравновешивающимися, поскольку их совместное действие на материальную точку не приводит к изменению её скорости.

4. Две силы F1 и F2 , действующие на данную материаль-

4.3. Первый закон Ньютона

Первый закон механики (1-й закон Ньютона) указывает на причины,вызывающиеизменениесостояниядвижениятел,утверждая, что таковыми причинами являются силы, действующие на движущиеся тела со стороны других тел.

Первый закон Ньютона: точечное тело пребывает в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, пока ипоскольку действие внешних сил не вынудит его изменить это состояние.

Таким образом, только силы, действующие на данное точечное тело со стороны других тел, могут изменить состояние его движения. Если же на это тело никакие силы не действуют (или действующие силы взаимно компенсируют друг друга), то оно будет находиться водном изнеизменных состояний: покоя (когда скорость тела

24

равна нулю) или равномерного прямолинейного движения (когда скорость тела постоянна, а его ускорение равно нулю).

Содержащееся впервом законе Ньютона утверждение, что тело, не испытывающее действия сил, находится в покое, представляется вполне очевидным: для того, чтобы сдвинуть тело с места, необходимо приложить силу. Но совсем неочевидно, что тело, пока нанего не действуют силы, может находиться в состоянии равномерного прямолинейного движения. Более того, до Галилея считалось, что тело, на которое не действуют силы, может только покоиться. Если же тело движется равномерно и прямолинейно, то на него должна действовать сила, тем большая по величине, чем больше скорость тела. Иными словами, считалось, что скорость тела в данный момент времени непосредственно определяется силой, действующей на него в этот же момент.

Причиной такого ошибочного утверждения было то, что прирассмотрениидвиженияне учитывалисьсилы,действующиена движущиеся тела помимо «движущей» силы и препятствующие их движению (силы трения, сопротивления среды). На самом деле, если тело, несмотря на действие приложенной к нему «движущей» силы, движется равномерно и прямолинейно, то это значит, что «движущая» сила компенсируется (например, силой трения), а сумма сил, действующих натело, оказывается равной нулю, следовательно, равным нулю будет и ускорение этого тела.

Проверить опытом то, что тело, не подверженное действию сил, может не только покоиться, но и двигаться равномерно и прямолинейно, в наших «земных» условиях невозможно, поскольку невозможно изолировать какое-либо тело от его взаимодействий с другими телами. Такой вывод был получен путём предельного перехода от движений с сильными взаимодействиями к движению со всё уменьшающимися взаимодействиями вплоть до исчезновения последних в идеальном, предельном случае. Можно мысленно проследить скольжение шайбы с последовательно уменьшающейся силой трения — по траве, асфальту и льду. Естественно предположить, что если бы сила трения на шайбу вовсе не действовала, то она двигалась бы, не изменяя своей скорости, сколь угодно долго.

Свойство тел сохранять скорость неизменной (вчастности, равной нулю) при отсутствии действующих на них сил называют инерцией (инертностью). Поэтому равномерное прямолинейное движение тел часто называют движением по инерции, а первый закон

25

механики­ — законом инерции. Например, движение автобуса с выключенным двигателем не является движением по инерции, т. к. это движение замедленное. Движение сработающим двигателем, но

равномерное и прямолинейное, будет движением по инерции.

Закон инерции имеет глубокий физический смысл. Из него вы - текают представления об окружающем нас пространстве. Так как закон инерции выполняется вне зависимости от направления, то свойства пространства должны быть одинаковы по всем направлениям. В этом заключается свойство изотропности.

Далее из закона инерции вытекает, что пространство должно быть однородным, т. е. в нём нет «особых точек». В самом деле, при движении тела его скорость неизменяется оттого, что оно переходит изодной точки пространства вдругую. Следовательно, уэтих точек нет особых свойств, все точки пространства равноправны.

Справедливость первого закона Ньютона подтверждается тем, что все следствия из него соответствуют опытным фактам.

4.4. Второй закон Ньютона

Установленный Ньютоном второй закон механики указывает, каким будет характер движения точечного тела при действии на него заданных сил. Опыт показывает, что чем больше величина силы, действующей на тело, тем больше будет и его ускорение. Если движущие силы измерять статически (например, по величине деформации проградуированной пружины), то оказывается, что приобретаемые телами ускорения всегда направлены параллельно действующим на них силам и пропорциональны их величине.

Так, если натело вначале подействовала сила F1 исообщила ему ускорение a1 , а затем на это же тело начала действовать другая сила F2 , сообщающая ему ускорение a2 , то оказывается, что

a1 = F1 . a2 F2

Из опыта следует, что одна и та же сила различным телам сообщает различные ускорения. Это значит, что ускорения, приобретаемые телами, зависят не только от действующих на них внешних сил, но и от свойств самих ускоряемых тел, т. е. от их инертности. Инертность тел отражает их свойство необладать ускорением при отсутствии действующих на них сил со стороны других тел.

26

Инертность также характеризует способность тел приобретать ускорения под действием сил. Чем больше инертность тела, тем меньше ускорение, которое оно приобретает под действием данной силы.

Количественной мерой инертности является физическая вели-

чина, называемая массой. Чем более инертно тело, тем больше его масса. Поскольку инертностью и, следовательно, массой обладает любая частица вещества, то чем больше определённых одинаковых частиц содержится в теле, тем больше будет и его масса.

Опыт показывает, что если надва тела с массами m1 и m2 действуют одинаковые силы F1 = F2 , то ускорения этих тел a1 и a2 будут удовлетворять соотношению

a1 = m2 . a2 m1

Второй закон Ньютона: ускорение материальной точки пропорционально приложенной к ней силе, параллельной ей направленной

и обратно пропорционально массе материальной точки. a = mF или dvdt = mF .

Сила — причина, ускорение — следствие.

Внаписанномвидезаконвыполняетсятолькодлядвиженийсv <<c. Введём новую величину, равную произведению массы тела

dt

бей и подведя массу под знак дифференциала (m = const), получим d (mv )= Fdt .

Величина, равная произведению силы на элементарное время её действия, называется импульсом силы.

Сформулируем второй закон Ньютона через элементарный импульс силы.

Изменение импульса материальной точки равно элементарному импульсу действующей на неё силы и происходит по направлению силы:

Из второго закона Ньютона в импульсной форме видно, что для изменения скорости тела необходимо действие силы в течение определённого промежутка времени. Поэтому нельзя мгновенно остановить (заставить двигаться) тело.

27

Если мы хотим подсчитать изменение импульса материальной точки под действием переменной силы за конечный интервал времени, то мы должны вычислить интегралы от левой и правой части

4.5. Закон независимости действия сил

Если на материальную точку m одновременно действует n сил

(F1, F2 , ... Fn ), то, согласно второму закону Ньютона, каждая сила

F

сообщает этому телу ускорение ai = mi . Результирующая сила, дей-

ствующая на данное тело, равна векторной сумме всех приложен-

Но в соответствии с законом Ньютона результирующая сила F = ma . Отсюда

i=1

т.е.результирующееускорениематериальнойточкиравновекторной сумме ускорений, сообщаемых телу каждой силой в отдельности.

Закон независимости действия сил удобно применять при решении задач механики, поскольку он позволяет разлагать силу и ускорение на составляющие, направленные так, что это приводит

купрощению задачи.

4.6.Динамические уравнения движения материальной точки

Fx i + Fy j + Fz k = max i + may j + maz k.

28

Отсюда наосновании закона независимости действия сил (а также потому, что равные векторы имеют равные проекции на любые направления)

Эти скалярные равенства связывают проекции ускорения тела на оси координат с соответствующими проекциями сил, действующих на данное тело. Они и являются динамическими уравнениями движения материальной точки.

4.7. Инерциальные и неинерциальные системы отсчёта. Преобразования Галилея

Система отсчёта, вкоторой выполняется первый закон Ньютона, называется инерциальной. Система отсчёта, вкоторой первый закон Ньютона не выполняется, называется неинерциальной.

Рассмотрим две системы отсчёта, движущиеся друг относитель-

точки в системе Kʹ.

29

Если начать отсчёт времени с того момента, когда начала координат обеих систем отсчёта совпадали, то x = x′+ v0t′. Очевидно, что y = yʹ, z = zʹ. Добавив к этим соотношениям принятое в классической механикепредположение,что времявобеихсистемах течёт одинаковым образом, т. е. t = tʹ, получим совокупность четырёх уравнений,

называемых преобразованиями Галилея:

x = x′+v0t′;y = y′;

z = z′;t = t′.

Продифференцировав по времени эти соотношения, получим

vx = v′x + v0 ;vy = v′y ;vz = v′z

или, перейдя от проекций к векторам, получим v = v′+ v0 . Абсолютной скоростью v называется скорость движения отно-

сительно условно неподвижной системы отсчёта. Относительной скоростью v′ называется скорость относитель-

но движущейся системы отсчёта.

Переносной скоростью v0 называется скорость движения под - вижной системы отсчёта относительно неподвижной.

Следовательно, абсолютная скорость тела равна векторной сумме относительной и переносной скоростей тела.

Это утверждение носит название теоремы о сложении скоро-

стей.

Если продифференцировать по времени равенство v = v′+ v0 , то мы получим a = a′.

Так как ускорение какого-либо тела вдвух произвольно выбранных инерциальных системах отсчёта одинаково, то извторого закона Ньютона вытекает, что и силы, действующие на тело в системах K и Kʹ, также будут одинаковыми. Следовательно, уравнениядинамики инвариантны (т. е. не изменяются) при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой.

Все инерциальные системы отсчёта эквивалентны и никакими механическими опытами, проведёнными в пределах данной системы

30

отсчёта, нельзя установить, находится ли она в состоянии покоя или в состоянии равномерного и прямолинейного движения.

В этом состоит суть принципа относительности Галилея.

4.8. Третий закон Ньютона

Силы, с которыми какие-либо тела действуют друг на друга, всегда равны по величине и противоположны по направлению.

Силы F = −N, но они не уравновешивают друг друга, т. к. приложены к различным телам. Третий закон Ньютона говорит о том, что силы всегда возникают попарно, что нет одностороннего действия, что силы носят характер взаимодействия. В этом заключается качественная сторона закона (рис. 22).

где P1 = m1 v1, P2 = m2 v2 .

31

Скорость v1 или v2 имеет знак «+», если её направление совпадает с положительным направлением оси х. Знаки сил F1 и F2 также определяются тем, совпадает ли вектор данной силы сположительным направлением оси х или противоположен ей.

По третьему закону Ньютона F1 + F2 = 0 . Поэтому dPdt1 + dPdt2 = dtd (P1 + P2 )= F1 + F2 = 0.

Отсюда

P1 + P2 = const.

При взаимодействии двух тел сумма их импульсов является постоянной величиной.

Третий закон Ньютона можно сформулировать как требование сохранения суммы импульсов взаимодействующих тел, если нет других внешних сил. В этом его более глубокое физическое содержание.

32

Под механической системой понимается группа тел, взаимодействующих между собой так, что движение каждого из них зависит от движения остальных тел.

Однако не любая группа тел является механической системой. Например, рой комаров не относится к механическим системам, т. к. любой комар может покинуть «систему», не нарушив движения остальных. В этом случае тела несвязаны между собой взаимодействиями, а именно наличие взаимодействий между отдельными телами и есть главное, что характеризует механическую систему.

Силы, действующие на тела системы, можно разделить на внешние ивнутренние.Внутренниминазываютсясилы,с которымитела данной системы действуют друг на друга.

Разделение сил на внешние и внутренние условно и зависит от того, какую группу тел мы рассматриваем в качестве системы. Так, например, силы взаимодействия между вагонами поезда являются внешними, если рассматривать каждый вагон как механическую систему, но эти же силы станут внутренними, если весь состав рассматривать как механическую систему.

Напишем уравнения, выражающие второй закон Ньютона, для каждого из n тел механической системы. Равнодействующую приложенных к данному телу внутренних сил системы обозначим вектором f , равнодействующую приложенных к нему внешних сил — вектором F .

Складывая все эти уравнения, мы получим слева производную по времени от суммы импульсов всех точек системы, а справа — сумму всех сил, действующих в системе:

33

Находящаяся в правой части уравнения сумма всех внутренних сил системы равна нулю, т. к. все эти силы попарно равны по ве-

личине и противоположно направлены, т. е. по третьему закону n

Ньютона ∑ fi = 0 .

Производная по времени от полного импульса системы равна ге-

ометрической сумме внешних сил, действующих на систему. Внеш-

ние (и только внешние) силы изменяют импульс системы. Система, на которую не действуют внешние силы, называется

изолированной системой. Система, для которой равнодействующая внешних сил равна нулю, называется замкнутой системой.

т. е.полный импульс замкнутой системы есть величина постоянная.

Из закона сохранения импульса следует, что внутренние силы, действующие в системе, не могут изменить полного импульса системы, а позволяют лишь отдельным телам системы частично или полностью обмениваться импульсами.

5.1. Частично замкнутые системы

Может случиться, что система материальных точек или отдельные материальные точки не изолированы, но внешние силы действуют лишь в определённых направлениях, а в других отсутствуют. Тогда соответствующим выбором системы координат можно добиться того, что одна или две проекции внешних сил обращаются внуль. Пусть, например, нет сил в направлениях, параллельных плоскости

(x, y), т. е. Fx = 0, Fy = 0, Fz ≠ 0 .

34

Тогда равенство

ddtP = F âíвнешåø ,

записанное в компонентах величин по осям координат, имеет вид

ddtPx = Fx = 0, ddtPy = Fy = 0, ddtPz = Fz.

Интегрируяпервыедвауравнения,получим Px = const, Py = const. Это значит, что импульс системы в направлениях, параллельных плоскости (x, y), сохраняет своё значение и относительно них

система ведёт себя как замкнутая.

Например, вблизи земли силы тяготения направлены по вертикали и горизонтальных составляющих нет. Поэтому систему относительногоризонтальныхдвиженийможносчитатьзамкнутой,если речь идёт о силах тяготения.

5.2.Центр масс

Внерелятивистской механике, ввиду независимости массы

от скорости, импульс системы P = m1 v1 + m2 v2 +... + mn vn может быть выражен через скорость её центра масс.

Пусть система состоит из n точек, радиус-векторы которых

Следовательно,центр масс системы движется как материальная

точка, масса которой равна суммарной массе всей системы, адействующая сила — геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему.

35

Центр масс замкнутой системы движется прямолинейно и равномерно.

36

Вприроде и современной технике мы нередко сталкиваемся

сдвижением тел, масса которых меняется со временем. Например, масса автомобиля для поливки улиц уменьшается за счёт вытекающих водяных струй; дождевая капля растёт припадении в воздухе, пересыщенном водяными парами; масса ракеты или самолёта уменьшается засчёт истечения газов, образующихся присгорании топлива. В таких случаях говорят о движении тел с переменной массой.

Общие законы динамики тел спеременной массой были открыты и исследованы И. В. Мещерским и К. Э. Циолковским.

Для вывода основного уравнения движения тела переменной массы рассмотрим конкретный случай движения простейшей пороховой ракеты.

Мы будем рассматривать ракету как достаточно малое тело, положение центра масс которого неменяется помере сгорания пороха. В этом случае:

1) мы можем считать ракету материальной точкой переменной массы, совпадающей с центром масс ракеты;

2) будем считать, что отбрасываемая от ракеты частица dM взаимодействует с ракетой, масса которой равна М, только в момент их непосредственного контакта. Как только частица dM приобретает скорость относительно точки М, их взаимодействие прекращается; 3) предположим далее, что изменение массы ракеты М происходит непрерывно, без скачков. Это предположение позволяет считать,

что существует производная от массы по времени.

Пусть в момент t масса ракеты М, а её скорость относительно неподвижной системы координат v . Предположим, что за время dt от ракеты отделилась частица массы (–dM) со скоростью (относительно той же неподвижной системы координат), равной u . Знак «минус»передприращениеммассыуказываетнато,чтоприращение это отрицательное, масса ракеты убывает. Предположим, что равнодействующая внешних сил, действующих на ракету (силы тяжести и сопротивления среды), равна F .

Импульс системы ракета-частица в момент t, т. е. перед отделе-

нием частицы P1 = M v .

Импульссистемывмоментt + dt (после отделения частицы) складывается из импульса массы M −(−dM ) , получившей скорость

37

(v + dv), и импульса массы частицы –dM, летящей со скоростью u, т. е.

P2 = M −(−dM ) (v + dv)+(−dM )u.

Изменение импульса системы d P = P2 − P1 за время dt равно d P =[M + dM ](v + dv)− dM u − M v = vdM −udM + Mdv + dMdv .

Последнее слагаемое dMdu можно отбросить как член второго порядка малости.

Величина d P должна (по второму закону Ньютона) быть при - равнена элементарному импульсу равнодействующих внешних сил:

Mdv −udM + vdM = Fdt .

Отсюда, перегруппировав члены и разделив на dt, получим основное уравнение движения точки переменной массы — уравне-

уравнение Мещерского переходит вуравнение второго закона Ньютона для случая постоянной массы.

Величина u −v есть скорость выбрасываемых ракетой частиц

Второй член правой части представляет собой реактивную силу, действующую на массу М со стороны вылетевшей частицы dM.

Для любого момента времени произведение массы тела на его ускорение равно векторной сумме равнодействующей приложенных к телу внешних сил и реактивной силы.

Изменяя величину и направление реактивной силы, можно управлять полётом ракеты.

38

6.1. Формула Циолковского

Рассмотрим движение ракеты в пространстве без учёта гравитации и сопротивления окружающей среды.

Уравнение Мещерского в этом случае будет выглядеть так:

После сгорания всего топлива ракета получит максимальную

скорость, которую можно рассчитать по формуле Циолковского:

стартовой максимальной скорости ракет, т. к. в ней не учитывается работа по преодолению силы тяжести исопротивления атмосферы.

6.2. Многоступенчатые ракеты

Если ракета стартует с поверхности Земли, то её максимальную

скорость можно оценить поформуле vmax = vотî ò ln (1 + z). Видим, что vmax растёт с ростом vот и z. У хороших конструкций ракет z = 9÷10,

vот ≈ 4000 м/с.

39

Число Циолковскогоz ограничено: приувеличении mт возникает необходимость увеличить mд.

Оценим максимальную скорость одноступенчатой ракеты

vmax = 4000 ln10 ≈ 9, 2 км/с.

Вторая космическая скорость равна 11,2 км/с, т. е. для межпланетных путешествий одноступенчатая ракета не годится.

Для сообщения нужных скоростей используются многоступенчатые ракеты, предложенные К. Э. Циолковским. Такие ракеты состоят из нескольких последовательно соединённых ступеней (не считая полезного груза), каждая из которых представляет собой автономный блок с собственным горючим и двигателем.

Когда всё топливо сгорает, соответствующая ступень со всеми её механическими частями отделяется отостальной ракеты, вследствие чего масса, которой сообщается ускорение двигателем следующей ступени, становится значительно меньше.

Многоступенчатая ракета после окончания работы первой ступени обладает скоростью

vmax = vотî ò 1 ln (1 + z1 ).

После сброса первой ступени и начала работы двигателя второй ракета имеет начальную скорость v1max. Соответственно после окончания работы второй ступени скорость космического корабля окажется равной

v2 max = vотî ò22 ln (1 + z2 )+ v1max.

В общем случае конечная скорость ракеты с n ступенями опре-

деляется суммой

vmax = vîотò 1 ln(1 + z1 )+ vотî ò 2 ln (1 + z2 )+... + vîотò n ln (1 + zn ).

Обычно в космических системах используют 3-х или 4-х ступенчатые ракеты. Слишком большое число ступеней усложняет конструкцию и делает её менее надёжной.

40