8. УДАРЫ

Удар — это кратковременное взаимодействие тел, в результате которого резко изменяется состояние их движения. При этом считается, что как до, так и после удара тела не взаимодействуют.

В процессе удара происходит весьма быстрое перераспределение энергии между соударяющимися телами. При ударе оба тела

деформируются и в результате возникают силы взаимодействия,

препятствующие деформациям, т.е. направленные противоположно относительным скоростям соударяющихся тел. За счёт работы этих сил и происходит передача энергии от одного из соударяющихся тел другому.

В физике различаютдва предельных типа удара:удар абсолютно неупругий и абсолютно упругий. Оба они являются лишь идеали-

зированными схемами явлений удара. Реально в природе не существует ни абсолютно упругих тел, ни совершенно неупругих. Тем не менее количественные результаты в этих указанных предельных случаях отображают действительные процессы удара достаточно точно. Так, упругие свойства некоторых реальных тел играют входе процесса удара настолько несущественную роль, что ими можно пренебречь и считать тела совершенно неупругими. К неупругим телам можно отнести шары, изготовленные из мягкой глины, пластилина, свинца и других пластичных материалов.

У других же тел (например, ушаров, изготовленных изслоновой кости, закалённой стали ит.п.) упругие свойства выражены настолько сильно, что играют решающую роль в ходе удара.

Прямая, совпадающая снормалью кповерхностям соударяющихся тел в точке их соприкосновения, называется линией удара. Если линия удара проходит через центры масс тел, удар называется центральным. Очевидно, что удар двух шаров всегда будет центральным. Если оба соударяющихся тела до удара двигались по линии удара, то удар называется прямым, впротивном случае удар будет косым.

8.1. Абсолютно неупругий удар Видео

Прямой центральный удар является абсолютно неупругим, если скорости соударяющихся тел после удара оказываются одинаковыми, так что оба тела движутся далее вместе, оставаясь

55

в соприкосновении друг с другом. После удара оба тела остаются деформированными.

Удар будетнеупругим, когда силы взаимодействия между соударяющимисятелами,возникающиепри ихсоприкосновении,зависят лишь от быстроты их изменения, а не от величины деформации. Силы эти будут велики, если деформации, даже небольшие повеличине, быстро изменяются. Когда же деформации будут изменяться достаточно медленно, то независимо от их величины силы взаимодействия будут малыми.

Еслижедеформациинеизменяютсястечениемвремени,хотяони ивелики, то силы взаимодействия будут равны нулю. Существование такихсилподтверждаетсяопытнымифактами,свидетельствующими отом,чтопластическиетелаоченьтруднодеформироватькратковременными силами, даже весьма большими по величине. Но они легко деформируются при длительном действии даже небольших сил.

Рассмотрим качественную кар-

тину неупругого удара (рис. 34).

Поскольку скорости соударяющихся тел до удара различны, то вначалепроцессаударадеформации обоих тел будут изменяться достаточно быстро. При этом возникнут значительныесилывзаимодействия

между телами, препятствующие де-

формациям, под действием которых скорости тел будут изменяться до тех пор, пока не окажутся одинаковыми. К этому моменту времени де-

формации обоих тел достигают мак-

симальной величины, но их изменения прекращаются. Одновременно обращаются в нуль и силы взаимодействия между телами, так что дальнейшее изменение скоростей прекращается. Начиная с данного момента времени, оба тела, оставаясь максимально деформированными, будут продолжать движение

вместе, с одинаковой скоростью.

56

Рассмотрим теперь явление прямого центрального абсолютно неупругого удара с количественной стороны (рис. 34).

Пусть два шара, массы которых m1 и m2 , до удара двигались со скоростями, равными v1 и v2. После удара они будут двигаться с общей скоростью u. Так как силы взаимодействия между шарами при ударе являются внутренними, то они не могут изменить их суммарного импульса. Следовательно, импульс обоих шаров как до удара, так и после него будет одинаковым: m1v1 + m2v2 = (m1 + m2 )u .

Отсюда общая скорость шаров после удара u = m1v1 + m2v2 .

m1 + m2

Из этого выражения видно, что после удара оба шара будут двигаться в сторону движения шара, обладавшего до удара бóльшим импульсом. В частности, если шары до удара двигались навстречу друг другу с равными по величине импульсами (m1v1 = m2v2 ), то их скорость после удара окажется равной нулю; в результате удара оба шара остановятся. Если скорости шаров до удара v1 и v2 < v1 направлены в одну сторону, то после сталкивания они будут двигаться в ту же сторону со скоростью u, заключённой в пределах v1 > u > v2 .

Это с очевидностью следует из преобразования m1v1 + m2v2 = (m1 + m2 ) и m1 (v1 −u)= m2 (u −v2 ).

Суммарная кинетическая энергия шаров после неупругого удара будет меньше, чем до удара, поскольку часть её безвозвратно расходуется на создание деформаций, не исчезающих и после удара, а превращается в конечном итоге в энергию молекулярно-теплового движения.

Таким образом, кинетическая энергия шаров после удара Wкê′ равна разности между кинетической энергией до удара Wêк0 и её потерями на совершение работы деформации А:

Wкê′ =Wкê0 − A.

До удара кинетическая энергия обоих шаров равна

57

Следовательно, работа деформации в процессе удара

большую работу деформации (например, при ковке, штамповке металла), масса тела, которое до удара покоится, должна быть больше массы ударяющего тела (масса наковальни больше массы молота).

Если же нужно в результате неупругого удара получить большую кинетическую энергию после удара (например, при забивке свай, гвоздей и т. п.), то масса ударяющего тела должна превышать массу другого тела, до удара бывшего неподвижным (масса молотка больше массы гвоздя).

Если между двумя телами осуществляетсяабсолютно неупругий косой удар (рис. 35), при котором скорости соударяющихся тел до удара направлены не по линии их центров масс, а под некоторым углом к ней, то в таком случае математическое выражение закона сохранения импульса будет равно

m1 v1 + m2 v2 = m1 v1′ + m2 v2′,

где v1′, v2′ — скорости тел после удара.

Взяв проекции этого равенства нанаправления нормали икасательной к поверхностям соударяющихся тел вточке их соприкосновения, лежащих в плоскости векторов v1 и v2 , получим

58

ставляющие скоростей тел v1′τ и v2′τ после удара будут различными. Изменять их могут только параллельно направленные им силы, в частности, силы трения. Но этих сил может оказаться недостаточно для уравнивания данных составляющих скоростей тел.

С формально математической точки зрения одного уравнения

m1 v1τ + m2 v2τ = m1 v1′τ + m2 v2′τ недостаточно дляопределения v1′τ и v2′τ . Дляэтогонеобходимозадатьещёодноуравнение,котороесвязывало

бы данные искомые величины с другими известными величинами (например, с силами трения, как функциями времени).

8.2. Абсолютно упругий удар Видео

Удар будетабсолютно упругим, если кинетическая энергия соударяющихся тел после удара оказывается такой же, как и до удара.

При абсолютно упругом ударе силы взаимодействия между соударяющимися телами являются упругими силами, зависящими

59

только­ отвеличины их деформаций, тем большими повеличине, чем больше деформации, и исчезающими с исчезновением деформаций.

Рассмотрим качественную картину упругого удара (рис. 36). При приближении соударяющихся тел, начиная с момента первоначального их соприкосновения, когда деформации возрастают,

вием упругих сил. Таким образом, та часть кинетической энергии тел, которая была затрачена наих деформирование, полностью восстанавливается за счёт работы упругих сил взаимодействия.

Рассмотрим теперь прямой центральный абсолютно упругий удар шаров с количественной стороны.

Пусть массы шаров равны m1 и m2 , а их скорости до удара — v1 и v2 . На основании закона сохранения импульса, применимого в этом случае, а также учитывая, что общая кинетическая энергия шаров до и после удара одинакова, получаем

60

где v1′ и v2′ — скорости шаров после удара. Или

Если же равенство (8.4) умножить на m2 изатем вычесть изнего равенство (8.2), то получим

В частном случае, если m1 = m2 = m, то получаем v2′ = v1 и v1′ = v2 , т. е. тела обмениваются скоростями. Если одно из тел до удара поко-

илось, например, v2 = 0 , то v2′ = v1 и v1′ = 0, а тело, бывшее до удара неподвижным, после удара начнёт двигаться со скоростью, равной скорости ударяющего тела.

Рассмотрим теперь случай косого абсолютно упругого удара двух шаров. В данном случае по закону сохранения импульса будет

m1 v1 + m2 v2 = m1 v1′ + m2 v2′.

Отсюда(см.рис.35)дляпроекцийскоростейшаров v1τ , v2τ , v1′τ, v2′τ на направление касательной к их поверхностям, проведённой через точку касания в плоскости векторов v1 и v2 , а также для проекций скоростей v1n , v2n , v1′n , v2′n нанаправление нормали кданным поверхностям вытекают соотношения

Соотношение,выражающееравенствокинетическойэнергииобоих шаров как до, так ипосле удара может быть представлено ввиде

61

поскольку длина вектора v и его взаимно перпендикулярные проекции vτ и vn связаны соотношением v2 = vτ2 + vn2 .

Получено только три уравнения длянахождения четырёх неизвестных величин v1′n , v1′τ, v2′n , v2′τ . Однако задача в этом случае оказывается решаемой, т. к. удар абсолютно упруг и суммарная кинетическая энергия шаров не изменяется. Это значит, что в данном случае силы трения, которые могли бы уменьшить кинетическую энергию шаров, не действуют.

Поэтому касательные составляющие тел остаются неизменными

Уравнения (8.10), связывающие нормальные составляющие скоростей тел до и после удара, имеют тот же вид, как и условия для самих скоростей при прямом центральном ударе. Поэтому нор-

мальные составляющие скоростей тел при их косом упругом ударе изменяются так же, как изменяются скорости тел при прямом центральном ударе. Касательные же составляющие скоростей при этом не изменяются.

62