Вернуться 10. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛ Дальше

В природе и технике мы часто встречаемся с тем, что состояние движения тела регулярно повторяется через определённые промежутки времени. Движение маятника настенных часов, корабля на волнах, молекул в твёрдом теле — примеры таких движений. Некоторые части машин (вращающиеся колёса ивалы, поршни, клапаны и т. д.) также совершают подобного рода движения.

Изменение состояния движения, обладающее той или иной степенью повторяемости, называется колебанием.

Колебания, при которых состояние движения тела точно повторяется через равные промежутки времени, называются периодическими.

Часто мы сталкиваемся с движением, внешне похожим на периодическое, но не обладающее их основным свойством. Движение ветки дерева, которую выводит из равновесия порывы ветра, движение упругой пластинки, один конец которой закреплён, скажем, в тисках, а другой ударом приведён в движение, — примеры колебательных, но не периодических движений.

Колебательные движения лежат в основе целого рода явлений: звука, света, возникновения и распространения радиоволн, сейсмических волн, вибраций разного происхождения и т. п. Общие для всех этих и многих других явлений закономерности изучает особый раздел физики — учение о колебаниях.

Среди множества различных незатухающих колебаний простейшими являются гармонические колебания, описываемые функцией синуса или косинуса

где х — колеблющаяся величина; t — время; А и ϕ0 — некоторые постоянные величины. Величина А называется амплитудой, аргумент синуса или косинуса (ωt + ϕ0 ) — фазой колебания, авеличина ϕ0 — начальной фазой.

Фаза колебания определяет значение колеблющейся величины

влюбой момент времени. Начальная фаза ϕ0 определяет значение

хв начальный момент времени t = 0.

Во всех случаях, когда изучается одно колебание, можно выбрать начало отсчёта времени так, чтобы ϕ0 = 0, однако при одновременном существовании нескольких колебаний начальные фазы каждого колебания могут отличаться друг от друга.

80

Для определения положения колеблющегося тела достаточно задать только расстояние х до тела от положения равновесия.

Для описания колебательного движения сплошного твёрдого тела удобнее измерять углы поворота α от равновесного состояния (рис. 52). Углы, отсчитываемые в одну сторону от положения равновесия,считаютсяположительными,а в другую —отрицательными.

Аналогичное правило знаков выбирается и для тел, совершающих так называемые крутильные колебания. Гармонические колебания для углов поворота имеют вид

Эта формула показывает, что скорость тела, так же как исмещение, изменяется со временем по гармоническому закону, но имеет фазу, отличающуюся от фазы смещения на π/2; в моменты времени, когда смещение х равно нулю, скорость тела приобретает наибольшее значение.

Так как скорость тела пригармоническом колебании непрерывно изменяется, то это движение является ускоренным:

a = dvdt = dtd (Aωcos ωt )= −Aω2 sin ωt = aA sin (ωt + π),

где a = Aω2 = vAω есть максимальное (амплитудное) значение ускорения. Фаза ускорения отличается от фазы смещения на π, а от фазы скорости — на π/2.

Заменяя в последней формуле Asin ωt = x, можно переписать формулу ускорения в виде a = −ω2 x, т. е. при гармоническом

81

колебании­ ускорение тела прямо пропорционально смещению от положения равновесия и имеет противоположный ему знак.

По аналогии угловое ускорение ε = −ω2α.

На рис. 53 показано графическое соотношение между x, v, a со временем.

Рис. 53. Графическое соотношение междуx,v,a современем

Периодом гармонического колебания называется наименьшее

время Т, по истечении которого все величины (x, v, a),характеризующиеэтодвижениев точностипринимаютпервоначальныезначения.

Для того чтобы все тригонометрические функцииx, v,a одновременно приняли первоначальное значение, их аргументы (т. е. фазы) должны измениться на 2πn , гдеn — целое число. Если вмомент времени t фаза колебаний какой-нибудь величины была равна ωt + ϕ0 , то через время Т фаза оказывается равной ω(t +T )+ ϕ0 . Приравняв изменение фазы 2π, получим

колебания ипоказывает, сколько раз вединицу времени повторяется одно и то же состояние колеблющегося тела.

Video

82

10.1. Простейшие механические колебательные системы

Всякое колебательное движение есть движение с ускорением, поэтому на колеблющиеся тела должны действовать силы, сообщающие им эти ускорения. В частности, если точечное тело, имеющее массу m, совершает гармонические колебания, то, согласно второму закону Ньютона, на него должна действовать сила

F = ma = −mω2 x = −kx, где k = mω2 .

Поэтому динамическое уравнение гармонических колебаний выглядит так:

mx + kx = 0.

Направление силы всегда совпадает свектором ускорения, авекторускоренияпригармоническихколебанияхвсегданаправленкположению равновесия.

Таким образом, для того чтобы тело совершало гармонические колебания, на него должна действовать сила, всегда направленная к положению равновесия, а по величине — прямо пропорциональная смещению от этого положения.

Силы, направленные к положению равновесия, называются воз-

вращающими.

Рассмотрим ряд примеров.

1. Пружинный маятник.

Пусть груз, имеющий массу m, подвешен напружине, жёсткость которой k. Колебания груза будут гармоническими, если на него действует только упругая сила со стороны пружины. Но ведь нагруз также действует и сила тяжести. Разберёмся, какова её роль.

По второму закону Ньютона mx = −kx + mg.

Пусть x0 — положение равновесия, тогда

0 = −kx0 + mg или mg = kx0 .

Следовательно, мы можем записать

83

ют свойством взаимности, т. е. если ось подвеса сделать проходящей через центр качаний, от точка О станет новым центром качаний и период колебаний маятника не изменится.

Это свойство взаимности используется в оборотных маятниках.

10.2. Энергия колебаний

Всякое колеблющееся тело, двигаясь с отличной от нуля скоростью, обладает запасом кинетической энергии. Кроме того, испытывая действие консервативной силы, оно будет обладать и потенциальной энергией.

Так, пусть тело, имеющее массу m и связанное с упругой пружиной, совершает гармонические колебания

x = Asin ωt.

Скорость v = dxdt = Aωcos ωt.

Кинетическая энергия тела определяется по формуле

Wкê = mv2 2 = 12 mA2ω2 cos2 ωt = = 14 mA2ω2 (1 +cos 2ωt ).

85

Wпï = 12 mA2ω2 sin2 ωt = 14 mA2ω2 (1 −cos 2ωt ).

Следовательно, Wк и Wп изменяются с течением времени периодически, по закону косинуса с частотой, в два раза большей частоты самих колебаний. При этом разность фаз колебаний W

иWп равна π/2. Когда Wк = max в положении равновесия, то Wп = 0к

инаоборот.

Полная механическая энергия колеблющегося тела находится по формуле

Полная механическая энергия незатухающих свободных колебаний не изменяется с течением времени и равна её запасу, сообщённому телу в начальный момент времени. В процессе колебаний происходит только переход Wк в Wп и наоборот, с частотой вдвое большей частоты колебаний. Величина полной механической энергии гармонических колебаний пропорциональна квадрату их амплитуды и квадрату частоты.

10.3. Затухающие колебания

Колебания в реальных механических системах всегда происходят при наличии трения, вследствие чего имеет место превращение механической энергии колебаний в теплоту. Если потери энергии на трение некомпенсировать, то колебания будут затухать, т.е. амп­ литуда колебаний будет постепенно уменьшаться до нуля.

Быстроту затухания принято оценивать по логарифму отношения двух соседних амплитуд одного знака

86

87

пусть маятник часов имеет время релаксации около десятка минут, значит ≈ 10–2.

Рассмотрим следующую колебательную систему (рис. 58). Если сосуд с жидкостью удалить, то тело будет совершать гармонические колебания с частотой, которую обозначим ω0 и назовём собственной частотой колебаний.

Так как

ω0 = mk ,

то собственная частота колебаний системы определяется массой тела и коэффициентом жёсткости пружины. Динамическое уравнение таких гармонических коле-

баний будет mx + kx = 0 .

При наличии трения движение тела несколько замедляется, вследствие чего период колебания увеличивается, а частота колебаний— уменьшается. В этом случае наколеблющееся тело действуют две силы: со стороны пружины (возвращающая) F = −kx = −mω02 x

и сила трения Fтр = –rv.

Согласно второму закону Ньютона

ma = −kx − rv или mx + rx + kx = 0.

Это динамическое уравнение затухающих колебаний. Можно показать, что решением этого уравнения будет

x = x0e−δt sin ωt.

Это кинематическое уравнение затухающих колебаний.

Найдём скорость v и ускорение а затухающих колебаний:

v = dxdt = x0e−δt (ωcos ωt −δsin ωt ),

a = dvdt = x0e−δt (−ω2 sin ωt − 2δωcos ωt + δ2 sin ωt ).

Подставим x, a, v в динамическое уравнение затухающих колебаний иприведём подобные члены относительно синуса икосинуса:

0 = (mω2 − mδ2 − k + rδ)sin ωt +(2mδω− rω)cos ωt .

88

Это уравнение должно выполняться в любой момент времени, что возможно, если коэффициенты перед синусом и косинусом равны нулю.

Приравняв нулю коэффициент перед косинусом, получим 2mδ = r или δ = 2rm .

Приравняв нулю коэффициент перед синусом, получим

−mδ2 + mω2 − k + 2mδ2 = 0 или m(ω2 + δ2 )= k = mω02 ,

откуда

ω= ω02 −δ2 .

Таким образом, для рассматриваемого затухающего колебания частота ипериод колебания зависят нетолько отупругости пружины и массы колеблющегося тела, но и от коэффициента трения r или коэффициента затухания δ.

Video

10.4. Векторная диаграмма

Решение ряда вопросов, в частности, сложение нескольких колебаний одинакового направления значительно облегчается и становится наглядным, если изображать колебания графически в виде векторов на плоскости. Полученная таким способом схема называ-

ется векторной диаграммой.

x = Acos (ωt + ϕ0 ). Если взять проекцию на ось y, то получим уравнение y = Asin (ωt + ϕ0 ).

89

Следовательно, проекция конца вектора на ось будет совершать гармонические колебания с амплитудой, равной скорости вращения вектора, и фазой, равной углу, образуемому вектором с осью в текущий момент времени.

Из сказанного следует, что гармоническое колебание может быть задано с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а направление вектора образует с осью угол, равный фазе колебания в данный момент времени.

10.5. Вынужденные колебания

Потери энергии в системе вследствие трения или излучения можно компенсировать при помощи внешнего воздействия на систему, и тогда колебания могут стать незатухающими. Сообщение энергии системе извне производится, например, путём прерывистых, периодически повторяющихся воздействий, при которых система сразу получает значительное количество энергии изатем постепенно расходует её на трение или излучение. Так поступают, ударяя молоточком по камертону или по струне.

Колебания при таких воздействиях носят сложный характер: при получении энергии амплитуда колебаний резко возрастает и затем, вследствие потерь, постепенно убывает до следующего удара.

Рассмотрим другой механизм компенсации потерь, когда энергия сообщается системе также непрерывно, как она расходуется на трение или излучение. Это можно осуществить, если к колеблющемуся телу приложить непрерывно действующую силу.

Пусть внешняя сила изменяется по закону

F = F0 cos ωt,

где F0 — амплитуда внешней силы, ω — угловая частота, которая может иметь произвольную величину.

Случай действия постоянной силы мы имеем при ω = 0. Кроме внешней периодической силы наточку m в любой момент

движения действует сила трения (–rv) и сила упругости (–kx). По второму закону Ньютона имеем

ma = F0 cos ωt − rv − kx, или ma + rv + kx = F0 cos ωt, или mx + rv + kx = F0 cos ωt.

90

Любое из этих равенств является динамическим уравнением выну-

жденных колебаний.

Начальная стадия колебательного движения после приложения внешней силы протекает подовольно сложным законам иносит название переходных колебаний. О них мы поговорим позже.

Сейчас остановимся на рассмотрении колебательного процесса, устанавливающегося через достаточно длительный промежуток времени после начала приложения внешней силы. Совершенно естественно ожидать, что при длительном действии периодической вынуждающей силы движение системы примет некоторый установившийся характер и будет совершаться периодически, с постоянной амплитудой и частотой действующей силы ω. Опыт это подтверждает.

Напишем уравнения зависимости от времени смещения, скорости и ускорения при таких установившихся вынужденных коле­ баниях:

+ kv0 cos ωt −ϕ0 − π = F0 cos ωt.

ω 2

kx

Все три члена левой части этого уравнения являются проекциями векторов a, v, x, характеризующих круговое движение. Применим метод векторных диаграмм для изображения этих колебательных движений.

91

Предположим, что вектор скорости v в данный момент времени t имеет направление от точки О к точке А, составляющей угол

AOX = ωt −ϕ0 с осью проекции ОХ (рис. 60). Отложим в этом же направлении вектор OA , абсолютная величина которого OA =

= rv0. Вектор ускорения опережает скорость на π2 ; смещение отстаёт от скорости на π2 . Следовательно, вектор OB , совпадающий по на-

правлениюс ускорениеми имеющийамплитуду mωv0 , мы должны провести под углом ωt −ϕ0 + π2 к оси ОХ, а вектор OC , совпадающий по направлению с вектором смещения и имеющий амплитуду

Рис. 60. Построение векторной диаграммы вынужденных колебаний

92

Уравнение движения говорит, что векторная сумма OE должна по модулю равняться F0 cos ωt, следовательно, OE = F0, направление его в данный момент времени t определяется углом ωt = EOX .

Последняя формула показывает, что при условии ω> ω0 разность фаз между действующей силой и скоростью положительна, т. е. сила опережает скорость.

93

Мы видим, что вынужденные колебания происходят с частотой вынуждающей силы ω.

Чтобы найти сдвиг фазы между силой исмещением, надо учесть,

где ψ0 = (F,^ x).

Зная v, легко найти а и х. Найдём, например, зависимость смещения х от времени t при вынужденных колебаниях.

По определению dx = vdt. Подставим в эту формулу выражение для скорости и проинтегрируем то, что получится.

Если ω = 0 (система неподвижна), то

94

т. к. в крайнем неподвижном положении тела (пружина растянута)

ϕ0 = − π2 .

Величина z имеет простой физический смысл.Чем большеz, тем меньше скорость и наоборот. Величина z характеризует сопротивление, которое встречает переменная сила F, приводящая систему в движение.

Поэтому z носит название полного механического сопротивле-

ния или импеданса колебательной системы. Величина r (коэффициент трения) носит название активного сопротивления, а величина

Величина k называется упругим сопротивлением, а величина mω, зависящаяωот инерционных свойств системы,— инерционным

сопротивлением.

Заметим, что для системы, способной совершать крутильные колебания, все наши выводы справедливы, разница будет в том, что вместо m в формулы войдёт момент инерции I, а вместо силы F появится момент силы М.

Закон суперпозиции. Предположим, что на нашу систему действуют две периодические силы с различными частотами ω1 и ω2,

F1 = F01 cos ω1t и F2 = F02 cos ω2t.

95

Решения уравнения движения для вынужденных колебаний при действии каждой изэтих сил поотдельности мы найдём поформуле v = v0 cos (ωt −ϕ0 ) и получим две скорости v1 и v 2 с частотами

ω1 и ω2.

Нетрудно показать подстановкой, что выражение v = v1 + v2 также будет решением уравнения движения и, таким образом, придействиидвухсилс различнымичастотамирешениеуравнениядвижения получается сложением илисуперпозицией отдельных решений. Полученный вывод верен для любого количества сил.

Закон суперпозиции соблюдаетсялишь длятаких колебательных систем, длякоторых зависимость между перемещениемх, скоростью v иускорением а выражается линейным уравнением, вкоторое х, v, а входят в первой степени, т. е. для линейных колебательных систем.

Для колебательных систем, для которых зависимость между х, v, а выражается уравнением более высокой степени, т. е. для нели-

нейных систем, закон суперпозиции не соблюдается.

Приведём пример нелинейного уравнения движения колебательной системы: mx + rx + kx2 = 0.

10.6. Резонанс

Проанализируем зависимость полного механического сопротивления от частоты вынуждающей силы

в нуль; при этом полное сопротивление z = r. Вдали от ω0 абсолют-

ная величина реактивного сопротивления, а значит и z, сильно возрастает как при очень малых, так и при очень больших частотах.

Проследим, как изменяется амплитуда (рис. 61) скорости вынужденных колебаний при изменении частоты внешней силы. При очень малых частотах z, очевидно, будет чрезвычайно велико, т. к.

велик член ωk , и поэтому амплитуда скорости близка к нулю.

96

Рис. 61. Резонансная кривая дляскорости

С увеличением частоты упругое сопротивление ωk уменьшается,

инерциальное же сопротивление mω увеличивается; полное сопротивление уменьшается, и амплитуда скорости растёт.

С дальнейшим повышением частоты инерциальное сопротивление делается больше упругого, полное сопротивление растёт, и амплитуда скорости начинает уменьшаться. При увеличении частоты значительно больше резонансной (ω → ∞) полное сопротивление z → ∞, т. е. колеблющаяся система остаётся почти неподвижной, не успевая следовать за силой.

97

Острота максимумов существенно зависит от r. Большому трению r2 соответствует пологая кривая со слабо выраженным максимумом, малому трениюr1 — острая кривая свысоким максимумом. При r = 0 максимум кривой уходит в бесконечность.

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к частоте соб-

будет иметь импеданс, близкий к величине r. Её колебания будут определяться только трением, поэтому в этом случае говорят о си-

стеме, управляемой трением.

Резонансные кривые дляамплитуды смещения (рис. 62) подобны аналогичным кривым для амплитуды скорости в том отношении, что вблизи резонансной частоты амплитуда смещения также достигает значительных величин, причём максимум тем выше и острей, чем меньше затухание (трение).

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы приводит к тому, что при некоторой опреде-

Рис. 62. Резонансные кривые длясмещения

98

лённой для данной системы частоте амплитуда колебаний достигает максимума. Это явление резонанса.

Чтобы найти ωрез, нужно найти максимум функции

F0

или минимум знаменателя.

Продифференцировав это выражение по ω и приравняв нулю,

получим −4(ω02 −ω2 )ω+8δ2ω= 0.

Решив это уравнение третьей степени относительно ω, получаем

не имеющее физического смысла (частота не может быть отрицательной), имеем

ωрез = ω02 − 2δ2 .

На рис. 62 проиллюстрирована зависимость резонансной частоты смещения оттрения — при возрастании трения (r3 > r2 > r1 ) всистеме, резонансная частота смещается влево, вобласть более низких

частот (ω3 < ω2 < ω1 ).

Подставив это значение резонансной частоты в формулу максимума функции, получим выражение зависимости резонансной амплитуды смещения от трения для данной колеблющейся системы

10.7. Добротность колебательной системы

Важной характеристикой колебательной системы является рост амплитуды её колебаний в резонансе в сравнении со статическим её значением, т. е. со смещением под действием постоянной силы. Эта величина называется добротностью Q:

99

Q = Aрезðåç .

Àñòст

Определим выражение для Q: