Учебное пособие по ТВ и МС

1.0 ≤ Fξ1Kξn (x1 ,K, xn ) ≤1.

2.Монотонность по каждой переменной, например,

3. Пределы на «минус бесконечности». Если в совместной функции распределения зафиксировать все переменные, кроме одной, а оставшуюся переменную устремить к − ∞ , то этот предел равен нулю. Например, для

4. Пределы на «плюс бесконечности». Если все переменные устремить к + ∞ , в пределе получится единица:

lim Fξ Kξ (x1 ,K, xn ) =1.

x1→+∞ 1 n

L xn →+∞

5. Если зафиксируем все переменные, кроме одной, которую устремим к + ∞ , получим функцию распределения меньшего набора случайных величин.

Например, Fξ1Kξn −1 (x1 ,K, xn−1 ) = Fξ1Kξn (x1 ,K, xn−1 ,+∞) . #

Упражнение 4.1. Вывести из предложения 4.1, что

Наиболее удобный для теории и очень важный для практических приложений случай – это случай абсолютно непрерывных распределений.

Функция pξ1Kξn (x1 ,K, xn ) , обладающая вышеперечисленными свойствами,

называется совместной плотностью распределения набора случайных величин

ξ1,K,ξn .

Следствие 4.1. Если D Rn − некоторая область, то

61

Формула (4.2) называют формулой вероятности попадания в область. Она расширяет формулу (4.1) для областей вида

D = (− ∞, x1 ]×K×(− ∞, xn ] Rn .

∂x1 K∂xn

Упражнение 4.2. Показать, что pξ1Kξn−1 (x1 ,K, xn−1 ) = ∞∫pξ1Kξn (x1 ,K, xn )dxn .

−∞

4.2. Математическое ожидание функции от случайных величин

Следующее утверждение является аналогом предложения 3.2.

Предложение 4.2. Пусть g : Rn → R − некоторая функция, зависящая от n переменных. Тогда

M [g(ξ1 ,K,ξn )]= ∞∫L ∞∫g(x1 ,K, xn ) pξ1Kξn (x1 ,K, xn )dx1 Kdxn . #

−∞ −∞

Математическое ожидание существует тогда и только тогда, когда интеграл сходится абсолютно.

Из предложения 4.2 вытекает, в частности,

M [ξ1ξ2 ]= ∫∫x1x2 pξ1ξ2 (x1, x2 )dx1dx2 .

R2

Теперь ясно, как вычислять ковариацию:

Cov(ξ1 ,ξ2 ) = M [ξ1ξ2 ]− M[ξ1 ] M[ξ2 ] .

Упражнение 4.3. Показать, что для абсолютно непрерывных случайных величин верны:

- свойство линейности математического ожидания

62

∞ ∞

=∫L ∫ x1 Kxn pξ1 (x1 )Kpξn (xn )dx1 Kdxn =

D[ξ1 + K+ ξn ]= D[ξ1 ] + K+ D[ξn ] .

Доказательство. Достаточно показать, что i ≠ j Cov(ξi ,ξ j ) = 0 . Это, в свою очередь, следует из предложения 4.4.

4.4. О некоррелированных зависимых случайных величинах

Ниже рассмотрим пример, показывающий, что некоррелированность и независимость не являются эквивалентными понятиями. Логически этот параграф продолжает обсуждение, начатое в § 2.10.

64

Особо отметим, что мы показали статистическую зависимость случайных величин η1 и η2 , ту зависимость, которая интересна с точки зрения теории вероятностей и опирается на определение 4.3.

Замечание 4.2. Выше мы предъявили пример двух случайных величин, которые, очевидным образом, являются функционально зависимыми:

(η1 (ω))2 = 1− (η2 (ω))2 ,

но их коэффициент корреляции равен нулю: ρ(η1 ,η2 ) = 0 . Это резко контрастирует со случаем линейной зависимости между случайными величинами, которая имеет место тогда и только тогда, когда ρ(ξ,η) = 1

(см. § 2.10). Таким образом, можно сказать, что коэффициент корреляции отражает степень линейной зависимости между случайными величинами.

4.5.Преобразования случайных величин

4.5.1.Преобразования одной случайной величины

Пусть непрерывная случайная величина ξ имеет функцию Fξ (x) и плотность pξ (x) распределения. Построим с помощью функции g : R → R случайную величину η = g(ξ) . Требуется найти функцию распределения и, если существует, плотность распределения η.

Замечание 4.3. Плотность распределения случайной величины η = g(ξ) существует далеко не при любых функциях g. Так, если функция g кусочнопостоянна, то случайная величина η имеет дискретное распределение, и плотность ее распределения не существует.

Плотность распределения pη (x) заведомо существует, если, например, функция g монотонна («строго монотонна»).

65

Можно показать, что для нахождения числовых характеристик случайной величины η = g(ξ) не обязательно знать закон ее распределения, достаточно лишь знание закона распределения аргумента:

−∞

Решение. Согласно предложению 4.5 имеем:

66

4.5.2. Формула свертки. Композиция законов распределений

Многие важные случайные величины представляются в виде сумм независимых слагаемых. Нижеследующее утверждение устанавливает, как распределение суммы связано с распределениями слагаемых.

Вид закона распределения суммы случайных величин не совпадает с законами распределения слагаемых.

Определение 4.4. Композицией законов распределений называется преобразование, по которому можно получить закон распределения суммы случайных величин на основе совместного закона распределения случайных величин.

Предложение 4.6. Пусть случайные величины ξ1 и ξ2 независимы и

Так как это равенство выполнено при всех x, то из определения плотности распределения получаем формулу свертки (4.6).

Замечание 4.4. Если f и g − абсолютно интегрируемые функции на R, то определена операция свертки функций f и g:

def ∞

( f g )(x) = ∫ f ( y)g(x − y)dy .

−∞

Таким образом, доказанное выше предложение гласит, что если ξ1 и ξ2 независимые случайные величины, имеющие плотность, то

67

На рис. 4.1 изображен график получившейся трапециевидной плотности,

называемой законом распределения Симпсона.

Рис. 4.1.

При l1 = l2 = l получаем треугольную плотность (рис. 4.2).

Рис. 4.2.

Пример 4.4. (Композиция нормальных законов распределений). Применив аналогичные как в примере 4.3 рассуждения, получим, что плотность

69

т.е. композиция нормальных законов распределения снова приводит к нормальному закону распределения.

Пример 4.5. (Распределение χ2). Распределением χ2 (Пирсона) с n

степенями свободы называется распределение суммы квадратов n независимых стандартных нормальных случайных величин:

n

f (x) = χ2 (n) = ∑ξi2 , ξi N (0,1).

i=1

На рис. 4.3 показано семейство функций плотностей вероятности случайных величин χ 2 (n) при разных степенях свободы.

Рис. 4.3.

Плотности распределения случайных величин χ 2 (n) имеют вид:

Пример 4.6. (Распределение Стьюдента). Закону распределения Стьюдента с n степенями свободы удовлетворяет отношение

t(n) = ξ , χ 2 (n) / n

70