Учебное пособие по ТВ и МС

В частном случае из системы (12.19) с учетом (12.20), (12.21) для одной объясняющей переменной (p=1) нетрудно получить уже рассматривавшуюся систему нормальных уравнений (12.4) в матричном виде:

Для решения системы (12.19) необходимо ввести еще одну предпосылку 6 для множественного регрессионного анализа: определитель матрицы XTX не должен равняться нулю, т.е. матрица является невырожденной.

Решением системы (12.19) является вектор

b = (XT X)−1(XT Y) ,

где (XT X)−1 − матрица, обратная матрице коэффициентов системы (12.19), а (XT Y) − вектор-столбец ее свободных членов.

Значимость множественной регрессии проверяется аналогично критерию (12.13) для одномерного случая. Отличие заключается в том, что число связей множественной регрессии l=p+1>2.

Коэффициент детерминации (или множественный коэффициент детерминации) вычисляется по формуле

201

Если известен множественный коэффициент детерминации, то критерий значимости множественного уравнения регрессии (или самого коэффициента R2) может быть записан в виде:

12.3.2. Нелинейные модели регрессии

Многие экономические процессы не являются линейными по сути. Их моделирование линейными уравнениями не даст положительного результата. Так, например, нелинейными оказываются производственные функции (зависимости между объемом произведенной продукции и основными факторами производства), функции спроса (зависимость между спросом на товары или услуги и их ценами или доходом) и т.д. Примером нелинейной модели является производственная функция Кобба–Дугласа Y = AKαLβ, где Y – объем выпуска; K, L – затраты капитала и труда; α, β – параметры модели.

Различают два класса нелинейных регрессий:

1.Регрессии, нелинейные относительно объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам.

2.Регрессии, нелинейные относительно оцениваемых параметров.

Для оценки параметров нелинейных моделей используются два подхода. Первый подход основан на линеаризации модели. Он заключается в том, что с помощью подходящих преобразований зависимой и объясняющих переменных исследуемую зависимость представляют в виде линейного соотношения между преобразованными переменными.

Второй подход применяется, если не удается подобрать соответствующее линеаризующее преобразование.

Нелинейные регрессионные модели и другие аспекты регрессионного анализа подробно рассматриваются в курсе «Эконометрика».

Библиографический список

1.Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Исследование зависимостей. – М. Финансы и статистика, 1985.

2.Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Основы моделирования и первичная обработка данных. – М. Финансы и статистика, 1983.

202

3.Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. – М.: ЮНИТИ, 1998.

4.Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. – М.:

Наука, 1983.

5.Венецкий И.Г. Вариационные ряды и их характеристики. М.: Статистика, 1970.

6.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1997.

7.Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. – М.: Едиториал УРСС, 2002.

8.Закс Л. Статистическое оценивание. – М.: Статистика, 1976.

9.Золотаревская Д.И. Теория вероятностей: Задачи с решениями. – М.: Едиториал УРСС, 2003.

10.Ивченко Г.И., Медведев Ю.И., Чистяков А.В. Сборник задач по математической статистике. – М.: Высшая школа, 1989.

11.Кендалл М., Стьюарт А. Теория распределений. – М.: Наука, 1966.

12.Кендалл М., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. – М.: Наука, 1973.

13.Кендэл М. Ранговые корреляции. – М.: Статистика, 1975.

14.Колемаев В.А., Калинина В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: ИНФРА-М, 1999.

15.Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей, М.: Физматгиз, 1974.

16.Краснов М.Л. и др. Вся высшая математика: Учебник. Т. 5. – М.: Едиториал УРСС, 2001.

17.Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2000.

18.Манита А.Д. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие. – М.: Издат. отдел УНЦ ДО МГУ, 2001.

19.Математика в экономике (Теория вероятностей): Учебное пособие/Авторысост. В.И. Забейворота, К.И. Волохова; УрСЭИ АТиСО, Челябинск, 2001.

20.Математика в экономике (Элементы математической статистики): Учебное пособие/Авторы-сост. В.И. Забейворота, К.И. Волохова; УрСЭИ АТиСО, Челябинск, 2001.

21.Никитина Н.Ш. Математическая статистика для экономистов. – М.:

ИНФРА-М., 2001.

22.Практикум по теории вероятностей/Автор-сост. В.Н. Иванова; УрСЭИ АТиСО, Челябинск, 2002.

23.Пуанкаре А. Теория вероятностей. – Ижевск, Ижевская республиканская типография, 1999.

24.Справочник по теории вероятностей и математической статистике/ Королюк В.С. и др. – М.: Наука, 1985.

25.Тутубалин В.Н. Теория вероятностей и случайных процессов. Основы математического аппарата и прикладные аспекты. – М.: Изд-во МГУ, 1992.

26.Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Анализ данных на компьютере. – М.: Инфра-М и Финансы и статистика, 1995.

27.Ширяев А.Н. Вероятность. – М.: Наука, 1989.

203