Учебное пособие по ТВ и МС

Предложение 11.2. В случае парной линейной модели регрессии ϕ (x) индекс корреляции Ryx = r . #

Упражнение 11.1. Доказать предложение 11.2.

Пример 11.5. Для данных примера 11.2 получить оценку корреляционного отношения для пары компонентов (U,Z), между которыми из диаграммы рассеяния можно предположить наличие нелинейной статистической связи.

Решение. Получим оценки эмпирических корреляционных отношений ηzu ηuz. Рассмотрим два случая:

1)U – объясняющая переменная, Z – объясняемая переменная;

2)Z – объясняющая переменная, U – объясняемая переменная. Определим вначале по формуле (6.1) количество групп: L=5.

Случай 1. Сгруппируем данные относительно объясняющей переменной U:

Оценки z = 49,111 , sz2 = 356,432 . Вычислим δ2z по (11.6):

δ2z = 181 [(24,5 − 49,111)2 2 + (28,667 − 49,111)2 3 +K+ (67,375 − 49,111)2 8]=

=300,997.

171

Оценки u = 49,389 , su2 = 368,238 . Вычислим δu2 по (11.6):

δu2 = 181 [(22,4 − 49,389)2 5 + (48 − 49,389)2 4 +K+ (68 −49,389)2 4]=

=332,136.

Полученные результаты свидетельствуют о следующем:

1)ηzu ≠ ηuz, причем разница составляет по модулю 0,95−0,919 = 0,031 или 3,4%.

2)Оба эмпирических корреляционных отношения оказались существенно больше (в среднем более чем на 5%) коэффициента корреляции, равного 0,888. Это говорит о нелинейности статистической связи между переменными U и Z.

Проверка значимости эмпирического корреляционного отношения η основана на том, что распределение статистики

Индекс корреляции R двух переменных значим, если значение статистики

F = R2 (n − 2) 1 − R2

больше табличного Fα (k1 ,k2 ) , где k1 = 1 и k2 = n−2.

Пример 11.6. Для оценки ηuz = 0,950 , полученной в примере 11.5, проверить значимость нелинейной статистической связи между переменными U и Z для уровня значимости α = 0,01.

Решение. Определим по формуле (11.8) расчетное значение критической статистики:

Критическое значение равно: F0,01 (L −1, n − L) = F0,01 (4,13) = 5,205 .

172

Поскольку 30,083 > 5,205, то нелинейная корреляционная связь между переменными U и Z является значимой.

Расхождение между η2 и R2 (или r2 для парной линейной модели) может быть использовано для проверки линейности корреляционной зависимости.

Рассмотрим частный случай парной линейной модели.

Проверка значимости линейной корреляционной зависимости основана на том, что распределение статистики

подчиняется F−распределению Фишера с k1 = L−2 и k2 = n−L степеням свободы. Значимое значение F−отношения (11.9) соответствует значимому

отклонению от линейности.

Пример 11.7. Для оценок ηuz = 0,950 , ruz = 0,888, полученных для данных примера 11.2, проверить гипотезу о нелинейности связи между стоимостью квартир и общей площадью на уровне значимости α = 0,05.

Решение. Имеем n=18, L=5. По формуле (11.9) расчетное значение критической статистики равно:

Критическое значение составляет F0,05 (5 − 2,18 −5) = F0,05 (3,13) = 3,411. Т.к. 5.065 > 3.411, то отклонение от линейности значимо.

11.4. Анализ множественных количественных связей

Экономические явления чаще адекватно описываются многофакторными моделями. Поэтому обобщим рассмотренную выше двумерную корреляционную модель на случай нескольких переменных.

Определение 11.4. Пусть имеется совокупность случайных переменных X1, X2, … , Xm, имеющих совместное нормальное распределение. Матрицу

173

составленную из парных коэффициентов корреляции ρij = ρ(Xi,Xj), (i,j=1, …, m), определяемых по формуле (2.7), называют корреляционной матрицей.

Основная задача многомерного корреляционного анализа состоит в оценке корреляционной матрицы Qm по выборке.

Эта задача решается определением матрицы выборочных коэффициентов корреляции:

В многомерном корреляционном анализе рассматриваются две типовые задачи:

-определение тесноты связи одной из переменных с совокупностью остальных m−1 переменных;

-определение тесноты связи между переменными при фиксировании или исключении остальных переменных.

Эти задачи решаются с помощью множественных и частных коэффициентов корреляции.

11.4.1. Множественный коэффициент корреляции

Множественный (или совокупный) коэффициент корреляции ρi.12…m

является мерой тесноты линейной связи между одной случайной переменной Xi и совокупностью других m−1 переменных. Выборочный множественный

где Rm − определитель матрицы Rm, Rii − алгебраическое дополнение элемента rii матрицы Rm.

В частности, для трех переменных (m=3) формула (11.10) примет вид:

174

В качестве измерителя степени тесноты связи между переменными X и Y при фиксированных значениях других переменных используются частные коэффициенты корреляции.

Определение 11.5. Пусть имеется совокупность случайных переменных X1, X2, … , Xm, имеющих совместное нормальное распределение. Выборочным частным коэффициентом корреляции между переменными Xi и Xj при фиксированных значениях остальных m−2 переменных называется выражение

где Rij, Rjj − алгебраические дополнения элемента rij, rjj матрицы Rm.

В частности, для трех переменных (m=3) формула (11.13) примет вид:

корреляции rij, может принимать значения от −1 до 1. Кроме того, для исходной многомерной выборки объема n, он имеет такое же распределение, что и rij, вычисленный по n−m+2 наблюдениям. Поэтому значимость частного коэффициента корреляции rij\12Km оценивают так же, как и коэффициента

корреляции rij, полагая n` = n−m+2.

Пример 11.9. Для данных примера 11.2 определить степень тесноты частной связи между стоимостью квартиры и удаленностью ее от областного центра при фиксированном значении площади квартир.

Решение. Воспользуемся выражением (11.14):

Зависимость стоимости квартиры от ее удаленности от областного центра без учета площади квартиры оказалась ниже (ryz = −0,988). Это можно объяснить тем, что площадь квартиры весьма существенно влияет на ее цену.

11.5. Ранговая корреляция

Ранговые коэффициенты корреляции могут использоваться для измерения связи как порядковых, так и количественных признаков. При этом анализ

176

конкретных значений признаков не проводится, используется лишь информация об их взаимной упорядоченности типа «больше−меньше», которая не меняется при замене единиц измерений.

Примерами таких признаков являются: структура бюджета семьи, качество жилищных условий, экзаменационные оценки и т.д.

Исходный статистический материал представляется упорядочениями (ранжировками) n объектов (выборок) по некоторым свойствам.

Ранги – это порядковые номера значений признака, расположенных в порядке возрастания или убывания их величин. Если значения признака имеют одинаковую количественную оценку, то ранги называют связными, а их значение считаем равным средней арифметической по всей данной группе.

Отсутствие каких-либо исходных предпосылок о законе распределения генеральной совокупности позволяет отнести ранговые коэффициенты корреляции к непараметрическим мерам оценки зависимости.

Ранговая корреляция отражает статистическую связь между порядковыми переменными.

11.5.1. Коэффициент ранговой корреляции Спирмена

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена между переменными X и Y

находится по формуле:

где ri и si − ранги i-го объекта по переменным X и Y, n − число пар наблюдений.

Формула (11.15) справедлива при отсутствии в ранжировках связных рангов. Если они имеются, то коэффициент Спирмена определяют в виде:

mr, ms − число групп одинаковых рангов у переменных X и Y,

tri, tsi − число рангов, входящих в i-ю группу неразличимых рангов переменных X и Y.

177

ранговой связи ранги объектов расположены в обратном порядке. Во всех остальных случаях −1 < ρx / y <1.

При проверке значимости ρx / y исходят из того, что в случае

справедливости гипотезы H0 об отсутствии корреляционной связи между переменными (при n>10) статистика

имеет t−распределение Стьюдента с k = n−2 степенями свободы.

Поэтому ρx / y значим на доверительном уровне α, если расчетное значение

tрасч > tα (n − 2) .

2

Пример 11.10. Для данных примера 11.2 определить с помощью коэффициента Спирмена зависимость между стоимостью квартиры и ее удаленностью от областного центра. Проверить значимость найденного коэффициента с α = 0,05.

Решение. Составим таблицу:

Таблица 11.5

учтены связные ранги.

По переменной Y имеем mr = 1 – одну группу неразличимых рангов с tr1 = 2 рангами. По переменной Z имеем ms = 2 – две группы неразличимых рангов с ts1 = 2 ранга и ts2 = 3 ранга. Поэтому по формуле (11.17):

178

Для проверки значимости ρy/z на основе (11.18) вычислим

= − 0,977 18 − 2 = −

tрасч 1 − 0,9772 18,327 .

Далее найдем tα (18 − 2) = t0,025 (16) = 2,473. Поскольку tрасч > t0,025 (16) , то

2

коэффициент ρy/z для данных переменных значим на 5%-ном уровне.

11.5.2. Коэффициент ранговой корреляции Кендалла

Коэффициент ранговой корреляции Кендалла между переменными X и Y

находится по формуле:

где K – статистика Кендалла, представляющая собой минимальное число обменов между элементами последовательности s, необходимое для приведения ее к упорядочиванию, аналогичному последовательности r.

Для определения статистики K необходимо ранжировать объекты по одной переменной (пусть, для определенности по X) в порядке возрастания (при этом

ее ранги будут упорядочены ( r1 ≤ r2 ≤K≤ rn ) и определить соответствующие

им ранги si, i = 1, … , n, переменной Y. Статистика K равна общему числу инверсий (нарушений порядка, когда большее число стоит слева от меньшего),

в ранговой последовательности s1 , s2 ,K, sn .

Формула (11.19) справедлива при отсутствии в ранжировках связных рангов. Если они имеются, то коэффициент Кендалла определяют в виде:

my, ms, tri, tsi − те же, что и при расчете коэффициента Спирмена.

Отметим, что в данном случае группы связных рангов не требуется приравнивать их средней арифметической по всей данной группе.

Свойства коэффициента Кендалла аналогичны свойствам коэффициента Спирмена.

179

При проверке значимости τx/y исходят из того, что в случае справедливости гипотезы H0 об отсутствии корреляционной связи между переменными (при n>10) статистика

имеет стандартное нормальное распределение N(0,1).

Поэтому τx/y значим на доверительном уровне α, если расчетное значение

uрасч > u1−α2 .

Пример 11.11. Для данных примера 11.2 определить с помощью коэффициента Кендалла зависимость между стоимостью квартиры и ее удаленностью от областного центра. Проверить значимость найденного коэффициента с α = 0,05.

Решение. Составим таблицу, предварительно выполнив упорядочение всех пар (yi, zi) по возрастанию значений yi:

Таблица 11.6

Поскольку имеются связные ранги, то определим из (11.21) поправочные коэффициенты:

Vr = 12 (22 − 2) =1, Vs = 12 [(32 − 3) + (22 − 2)]= 4 .

Получим из (11.20):

Оценим значимость τx / y . Расчетное значение статистики согласно (11.22)

180