Учебное пособие по ТВ и МС

2) Показательное распределение с параметром λ > 0

Показательное распределение называют также экспоненциальным.

3) Нормальное (или гауссовское) распределение N (a,σ 2 ) , a R , σ > 0 :

Стандартное нормальное распределение − N (0,1) :

Пример 3.3. Случайная величина ξ задана плотностью распределения

Найти функцию распределения Fξ (x) .

Решение. Если x ≤ π / 4 , то pξ (x) = 0 , следовательно,

52

В результате получаем систему двух уравнений с неизвестными b и c:

b − π4 c = 0,

b + π c =1,4

решив которую, найдем b = 12 , c = π2 . Следовательно, случайная величина ξ характеризуется следующей функцией распределения

Плотность распределения вероятностей определим, используя следствие 3.2. При x < −a и x > a имеем pξ (x) = Fξ′(x) = 0 . При x [−a, a]

Итак, случайная величина ξ имеет следующую плотность распределения

Упражнение 3.3. Найти функцию распределения Fξ (x) и построить ее график для примеров 1) и 2).

Упражнение 3.4. Пусть η − N (0,1) и σ > 0 . Показать, что

ξ= ση + a − N(a,σ 2 ) .

3.5.Числовые характеристики абсолютно непрерывной случайной величины

Определение 3.8. Математическим ожиданием абсолютно непрерывной случайной величины ξ с плотностью pξ (x) назовем число

54

−∞

По определению, математическое ожидание существует тогда и только тогда, когда интеграл (3.3) сходится абсолютно.

Формула (3.3) аналогична формуле (2.2) для дискретных случайных величин.

Предложение 3.2. Пусть g : R → R − некоторая функция. Имеет место формула

∞

M [g(ξ)]= ∫ g(x) pξ (x)dx .

−∞

Математическое ожидание M [g(ξ)] существует тогда и только тогда, когда этот интеграл сходится абсолютно. #

Пример 3.5. Найти математическое ожидание случайной величины ξ с плотностью распределения

2

pξ (x) = 9 x, x (0,3) ,

0, x (0,3).

Решение. Используя формулы (3.3), (3.4), получим

55

Указание: при доказательстве целесообразно вначале воспользоваться результатом упражнения 3.4 и свести задачу к проверке того, что для

Математическое ожидание и дисперсия являются важнейшими числовыми характеристиками случайных величин. Однако эти две характеристики хотя и являются самыми важными, но далеко не исчерпывают всего набора употребимых числовых характеристик случайной величины. Рассмотрим некоторые из них.

Предположим, что строго возрастающая функция F(t) есть функция распределения некоторой непрерывной случайной величины ξ (см. рис. 3.3). В дальнейшем α − число между 0 и 1.

Рис. 3.3.

Определение 3.9. Квантилью уровня α для распределения, порождаемого функцией Fξ (t) , называется число kα , являющееся решением уравнения

Fξ (kα ) = P{ξ(ω) < kα }=α .

56

Другими словами, kα = F −1 (α) , где F −1 : (0,1) → R − функция, обратная к функции F.

Замечание 3.6. Квантили часто называют также процентными точками

распределения. Под 100α%−ной точкой подразумевается квантиль k1−α , т.е. такое значение случайной величины ξ, при котором P{ξ(ω) ≥ k1−α }=α .

Предложение 3.3. Предположим, что ξ − абсолютно непрерывная случайная величина с четной плотностью p(x) , то есть x R p(x) = p(−x) . Тогда

1)t R F (t) + F (−t) =1,

2)α (0,1) kα = −k1−α .

Доказательство. Для определенности считаем, что t ≥ 0 . Производя замену переменных в интеграле и пользуясь четностью плотности, получим цепочку равенств

симметричным.

Определение 3.10. Начальным моментом k−го порядка случайной величины ξ называется математическое ожидание k−й степени этой величины:

νk [ξ] =νk = M [ξ k ] .

Определение 3.11. Центральным моментом k−го порядка случайной величины ξ называется математическое ожидание k−й степени отклонения величины ξ от ее математического ожидания:

µk [ξ] = µk = M [(ξ − M[ξ])k ].

Формулы для вычисления моментов для дискретных случайных величин (принимающих значения xi с вероятностями pi) и непрерывных (с плотностью вероятности pξ (x) ) приведены в таблице 3.1.

57

второй центральный момент – дисперсия, т.е. µ2 = D[ξ] .

Центральные моменты µk выражаются через начальные моменты νk по формулам:

µ1 = 0 ,

µ2 =ν2 −ν12 ,

µ3 =ν3 −3ν1ν2 + 2ν13 ,

µ4 =ν4 −4ν1ν3 +6ν12ν2 −3ν14 и т.д.

3.6. Нормальное распределение

Функция распределения стандартного нормального закона N (0,1) , ввиду ее важности имеет специальное обозначение:

Ее график (см. рис. 3.4) называют нормальной кривой (кривой Гаусса).

Рис. 3.4.

Квантили этого распределения (см. рис. 3.5) будем обозначать как uα : F0 (uα ) = α .

58