Учебное пособие по ТВ и МС

Упражнение 9.3. Исследование в течение 10 дней производительности двух предприятий, выпускающих холодильники, дало следующие результаты:

Таблица 9.10

Проверить гипотезу об однородности двух выборок по критерию Вилкоксона–Манна–Уитни при уровне значимости α = 0,1.

9.4.Гипотезы о числовых характеристиках случайных величин

Вобщем случае гипотезы о числовых характеристиках случайных величин

имеют вид: H0 : Θ ∆0 , где Θ = (θ1 ,K,θK ) − некоторый вектор параметров (но

может быть и скаляром, т.е. Θ =θ1 ), а ∆0 − область конкретных значений этих параметров, которая может состоять из точки.

Рассмотрим некоторые из критериев статистической проверки гипотез о числовых характеристиках случайных величин.

9.4.1. Проверка гипотез о равенстве дисперсий случайной величины при известных математических ожиданиях

Пусть имеются две выборки x1 ,K, xn1 , y1 ,K, yn2 случайных величин ξ и η

из нормальных генеральных совокупностей и пусть математические ожидания aξ и aη этих случайных величин известны. Необходимо проверить гипотезу о равенстве дисперсий случайных величин.

2-й шаг. Задание уровня значимости α.

3-й шаг. Формирование критической статистики. В качестве меры различия дисперсий σξ2 и σξ2 выбираем величину ψкр =σ~ξ2 /σ~η2 .

4-й шаг. Определение критических границ.

132

Верхняя критическая граница определяется как процентная точка

верна с ошибкой первого рода α, в противном случае H0 отвергается.

Пример 9.6. Для данных примера 9.4. можно ли на уровне значимости α = 0,01 считать одинаковыми отклонения от среднего времени обслуживания клиентов банка в первый и второй дни, если известно, что M [ξ] = mξ =17,8 ,

4-й шаг. Находим, используя таблицу процентных точек распределения Фишера, верхнюю и нижнюю критические границы: ψкр.в = F0,005 (55,55) = 2,024 ,

ψкр.н =1/ 2,024 = 0,494 .

5-й шаг. Определяем по (9.8) расчетное значение критической статистики:

ψ расч = 8,38 / 8,14 =1,03.

Поскольку условие ψкр.н ≤ψ расч ≤ψкр.в выполняется, то H0 верна.

133

9.4.2. Проверка гипотез о равенстве дисперсий случайной величины при неизвестных математических ожиданиях

Пусть имеются две выборки x1 ,K, xn1 , y1 ,K, yn2 случайных величин ξ и η

из нормальных генеральных совокупностей и пусть математические ожидания aξ и aη этих случайных величин неизвестны. Необходимо проверить гипотезу о равенстве дисперсий случайных величин.

1-й шаг. Формирование основной и альтернативной гипотез H0 : σξ2 = ση2 ,

5-й шаг. Расчетное значение критической статистики при неизвестных математических ожиданиях определяется из выражения

то H0 верна с ошибкой первого рода α, в противном случае H0 отвергается.

Пример 9.7. Для данных примера 9.4 проверить гипотезу о равенстве дисперсий при неизвестных математических ожиданиях aξ и aη для уровня значимости α = 0,1.

Решение. Поскольку aξ и aη неизвестны, то определим по исходным данным их оценки: a~ξ =17,84, a~η =17,65 . Далее, используя полученные

134

оценки математических ожиданий, вычислим несмещенные оценки: sξ2 = 8,55, sη2 = 8,30.

Находим, используя таблицу процентных точек распределения Фишера, верхнюю и нижнюю критические границы: ψкр.в = F0,05 (54,54) = 1,571,

ψкр.н =1/1,571 = 0,494 .

Определяем по (9.8) расчетное значение критической статистики:

ψ расч = 8,55 / 8,30 = 1,03.

Поскольку условие ψкр.н ≤ψ расч ≤ψкр.в выполняется, то H0 не отвергается.

9.4.3. Проверка гипотез о равенстве математических ожиданий случайных величин при известных дисперсиях

Пусть даны две выборки из нормальных генеральных совокупностей случайных величин ξ и η, и известны их дисперсии. Необходимо проверить гипотезу о равенстве математических ожиданий.

1-й шаг. Формирование основной и альтернативной гипотез H0 : aξ = aη ,

H1 : aξ ≠ aη .

Такая задача ставится обычно тогда, когда выборочные средние оказываются различными. Возникает вопрос: значимо ли это различие?

2-й шаг. Задание уровня значимости α.

3-й шаг. Формирование критической статистики и определение ее закона распределения при n1 → ∞, n2 → ∞ :

распределения уровня 1 −α / 2 .

5-й шаг. Определение расчетного значения критической статистики

135

и принятие решения. Если выполняется условие ψ кр.н ≤ψ расч ≤ψкр.в , то гипотеза H0 принимается. В противном случае H0 отвергается с ошибкой первого рода α.

Замечание 9.8. Данный алгоритм проверки гипотез о равенстве aξ и aη справедлив и при отклонении распределения случайных величин ξ и η от нормального, но при условии, что n1 и n2 больше 30.

Пример 9.8. Для данных примера 9.4 проверить для уровня значимости α = 0,05 гипотезу о равенстве математических ожиданиях aξ и aη при условии, что

Поскольку условие ψкр.н ≤ψ расч ≤ψкр.в выполняется, то H0 не отвергается.

9.4.4. Проверка гипотез о равенстве математических ожиданий случайных величин при неизвестных дисперсиях

Пусть имеются две выборки из нормальных генеральных совокупностей случайных величин ξ и η. Требуется проверить гипотезу о равенстве aξ и aη.

1-й шаг. Формирование основной и альтернативной гипотез H0 : aξ = aη ,

H1 : aξ ≠ aη .

2-й шаг. Задание уровня значимости α.

3-й шаг. Формирование критической статистики

n1 + n2 − 2

136

Предложение 9.6. Предельное распределение статистики ψкр стремится к

t−распределение Стьюдента симметрично, то нижняя и верхняя критические точки симметричны относительно 0.

5-й шаг. Определение расчетного значения критической статистики

В противном случае H0 отвергается с ошибкой первого рода α.

Замечание 9.9. Данный алгоритм проверки гипотез о равенстве aξ и aη справедлив и при отклонении распределения случайных величин ξ и η от нормального, но при условии, что n1 и n2 больше 30.

Пример 9.9. Для данных примера 9.4 проверить для уровня значимости α = 0,01 гипотезу о равенстве математических ожиданиях aξ и aη при условии, что дисперсии неизвестны.

Решение. Оценки математических ожиданий и несмещенные оценки дисперсий определим по исходным выборкам: a~ξ = 17,84 , a~η = 17,65 , sξ2 =8,55,

Определяем по (9.10) расчетное значение критической статистики:

137

можно ли для уровня значимости α = 0,1 считать, что отклонения в длительности оборота оборотных средств групп предприятий одинаковы.

Упражнение 9.5. Исследование в течение месяца (25 рабочих дней) ежедневных простоев двух строительных бригад из-за отсутствия материалов

значимости α = 0,01 считать среднее время простоя бригад одинаковым.

9.5. Проверка гипотез о стохастической независимости элементов выборки

Прежде чем приступить к статистической обработке результатов наблюдений, необходимо убедиться в том, что элементы выборки образуют случайную последовательность (являются случайными и независимыми).

9.5.1.Критерий «восходящих» и «нисходящих» серий

Вранговом критерии «восходящих» и «нисходящих» серий предварительно формируется последовательность серий «+» и «−». Для этого в исходной

выборке x1 ,K, xn на месте i-го элемента ставят «+», если xi+1 > xi , и «−», если xi+1 < xi . Если xi+1 = xi , то в серии ничего не проставляется. Полученная

последовательность «+» и «−» может характеризоваться количеством серий v(n) и длиной самой длинной серии τ(n) . При этом под серией понимается

последовательность подряд идущих «+» или «−». Длина серии − количество подряд идущих «+» или «−».

1-й шаг. Формулирование основной и альтернативной гипотез:

H0: элементы выборки x1 ,K, xn являются стохастически независимыми, Н1: элементы выборки x1 ,K, xn не являются стохастически независимыми. 2-й шаг. Задание уровня значимости α.

138

5-й шаг. Определение расчетных значений критической статистик v расч (n) , которая равна количеству серий в последовательности «+» и «−», и τ расч (n) − длина самой длинной очереди. Если одновременно выполняются условия

то H0 принимается с ошибкой первого рода α. В противном случае элементы выборки нельзя считать стохастически независимыми.

Замечание 9.10. Критерий «восходящих» и «нисходящих» серий улавливает смещение оценки математического ожидания монотонного и периодического характера. Данный критерий является ранговым и применим для выборки с любым законом распределения.

Пример 9.10. Для выборки xi , i = 1,27 из примера 9.5 проверить гипотезу о

стохастической независимости элементов выборки для уровня значимости α = 0,05 с помощью критерия «восходящих» и «нисходящих» серий.

Решение. Построим последовательность серий

− + − + − + − + − + + − + − + − − − − + − + − − +.

Поскольку условия (9.13) выполняются, то H0 не отвергается и элементы выборки можно считать случайными и независимыми.

139

9.5.2. Критерий стохастической независимости Аббе

Если выборка x1 ,K, xn принадлежит нормальной генеральной

совокупности, то для выяснения вопроса о ее случайности предпочтительнее воспользоваться критерием Аббе. Критерий Аббе позволяет обнаружить систематическое смещение среднего в ходе выборочного обследования.

1-й шаг. Формулирование основной и альтернативной гипотез:

H0: элементы выборки x1 ,K, xn являются стохастически независимыми, Н1: элементы выборки x1 ,K, xn не являются стохастически независимыми. 2-й шаг. Задание уровня значимости α.

затабулировано и представлено в статистических таблицах для различных значений α.

4-й шаг. Определение нижней критической точки осуществляется двумя способами. Если n > 60, то

При n ≤ 60 ψкр.н =γα(n) находится по статистическим таблицам.

5-й шаг. Определение расчетного значения критической статистики

независимости элементов выборки принимается с ошибкой первого рода α. В противном случае элементы выборки нельзя считать случайными и независимыми.

Пример 9.11. Для выборки xi , i = 1,27 из примера 9.5 проверить гипотезу о

стохастической независимости элементов выборки для уровня значимости α = 0,05 с помощью критерия Аббе.

Решение. Поскольку n ≤ 60, то с помощью таблицы для α = 0,05 получим

ψкр.н = γ0(,2705) = 0,69 .

140