Учебное пособие по ТВ и МС

2.12. Неравенства Чебышева

Предложение 2.15. (Первое неравенство Чебышева). Если случайная величина ξ принимает только неотрицательные значения и имеет математическое ожидание, то для любого положительного числа ε:

основными свойствами математического ожидания (предложение 2.5), получим

M [ξ] = M [ξI{ξ≥ε}] + M [ξI{ξ <ε}] ≥ εM [I{ξ≥ε}] = εP{ξ ≥ ε}.

Пример 2.13. Сумма всех вкладов в банке составляет 2 млн. руб., а вероятность того, что случайно взятый вклад не превысит 10 тысяч руб., равна 0,6. Что можно сказать о числе вкладчиков?

Решение. Пусть ξ − размер случайно взятого вклада, а n − число всех вкладчиков. Тогда средний размер вклада равен: M [ξ] = 2000n (тыс. руб.).

Согласно неравенству (2.9): P(ξ ≤10) ≤ M10[ξ] или P(ξ ≤ 10) ≥ 1 − 200010n . Учитывая, что P(ξ ≤10) = 0,6 , получим 1 − 200n ≤ 0,6 , откуда n ≤ 500 .

Предложение 2.16. (Второе неравенство Чебышева). Для любой случайной величины, имеющей математическое ожидание и дисперсию, и произвольного ε > 0 справедливо неравенство:

Доказательство. Применим первое неравенство Чебышева (2.11) к случайной величине ξ′ = (ξ − M[ξ])2 , взяв в качестве положительного числа ε 2 :

следует доказываемое неравенство.

43

Учитывая, что события ξ − M [ξ] > ε и ξ − M [ξ] ≤ ε противоположны, неравенство Чебышева можно записать в другой форме:

Замечание 2.14. Неравенство Чебышева применимо для любых случайных величин. В форме (2.12) оно устанавливает верхнюю границу, а в форме (2.14) − нижнюю границу вероятности рассматриваемого события.

2.13. Теорема Чебышева

Предложение 2.17. (Теорема Чебышева). Пусть ξ1,K,ξn ,K – независимы и

i D[ξi ] ≤ C . Тогда

замечание 2.10, получим, что эта вероятность может быть оценена сверху следующим образом

распределение, теорема Чебышева обретает следующую форму.

Следствие 2.1. Пусть ξ1,K,ξn ,K – независимые одинаково распределенные

Выведем отсюда закон больших чисел для последовательности независимых испытаний Бернулли. Для этого вспомним, что число успехов νn может быть представлено в виде суммы независимых одинаково распределенных случайных величин с бернуллиевским распределением (см. пример 2.7). Непосредственно получаем следующее утверждение, которое известно как теорема Бернулли.

Следствие 2.2. (Теорема Бернулли). Пусть νn – число успехов в последовательности из n независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха в единичном испытании p. Тогда

Замечание 2.15. Теорема Бернулли имеет важное методологическое значение, связанное с возможностью «частотного определения». Допустим, нас интересует вероятность некоторого случайного события A, которое может произойти в результате проведения некоторого опыта. Предположим, что имеется принципиальная возможность воспроизводить неограниченное

количество раз условия опыта. Пусть νn − число появлений события A при n независимых повторениях опыта. Тогда по теореме Бернулли имеет место устойчивость частот, а именно при больших n значения νn / n будут

колебаться около некоторого числа, которое и есть P(A) .

Однако следует учесть, что свойство устойчивости частот (равная вероятность успеха в единичном испытании) не всегда может иметь место на практике. Наличие теоремы ничего не может диктовать природе – в природе может иметь место устойчивость частот, а может и не иметь. Такие величины называют неопределенными. Этот вопрос тесно примыкает к проблеме различных подходов к определению понятия вероятности и к проблеме границ применимости теории вероятностей.

Утверждения этого параграфа становятся более краткими, если ввести нижеследующее понятие.

Определение 2.13. Последовательность случайных величин {ξn }∞n=1 сходится по вероятности к случайной величине ξ, если

ε > 0 при n → ∞ P{ξn −ξ >ε}→0 .

P

Кратко это записывают следующим образом: ξn →ξ .

Таким образом, утверждения следствий 2.1 и 2.2 кратко записываются, как

45

Глава 3. Общие случайные величины

Дискретные вероятностные пространства, рассмотренные в предыдущей главе, обладают ограничением: определенные на них случайные величины могут принимать не более чем счетное число значений. Как с точки зрения развития теории, так и из потребностей практических приложений, часто необходимо рассматривать случайные величины с непрерывными значениями.

Теория, поставившая вероятность на строгий математический фундамент, и, в частности, позволившая строго изучать общие случайные величины была построена в 1933 году выдающимся отечественным математиком А.Н. Колмогоровым. Предложенный им подход получил название аксиоматики теории вероятностей Колмогорова. Он привлекает математический аппарат теории меры для задания вероятностей, и интегрирование по Лебегу для вычисления математических ожиданий. Эти вопросы лежат вне рамок данного курса, поэтому в следующем параграфе мы с целью общего ознакомления лишь коснемся вопросов, связанных с определением общего вероятностного пространства по Колмогорову.

3.1.Общее определение вероятностного пространства

Вотличие от рассматривавшейся нами ранее дискретной ситуации, где вероятностным пространством была названа пара (Ω, P) , под общим

вероятностным пространством согласно аксиоматике Колмогорова следует понимать тройку объектов (Ω, F, P) , смысл которых раскрывается следующими определениями.

Определение 3.1. Вероятностным пространством называется тройка

(Ω, F, P) , где

Ω – произвольное множество (элементарных исходов), F – σ−алгебра подмножеств множества Ω (события), P – вероятностная мера на (Ω, F) .

Определение 3.2. Система F подмножеств множества Ω называется

σ−алгеброй, если

1) Ω F (Ω – единица в σ−алгебре),

46

Пример 3.2. Дискретная случайная величина ξ – число выпавших очков на игральной кости:

Fξ(x)

1

2/3

1/3

Замечание 3.4. Каков вероятностный смысл точки разрыва функции распределения? Ответ на этот вопрос получится, если в (3.2) положить b = x , а a устремить к x слева:

P{ω : ξ(ω) = x}= Fξ (x) − Fξ (x − 0) .

Чтобы строго обосновать этот вывод, следует воспользоваться свойствами вероятностной меры из § 3.1.

Таким образом, функция распределения имеет разрыв в точке x тогда и только тогда, когда P{ω :ξ(ω) = x}> 0 . Более того, величина скачка в точке разрыва совпадает с этой вероятностью.

3.4.Непрерывные случайные величины

3.4.1.Понятие непрерывной случайной величины

Случайная величина, значения которой заполняют некоторый промежуток, называется непрерывной. В частных случаях это может быть не один промежуток, а объединение нескольких промежутков. Промежутки могут быть конечными, полубесконечнымиилибесконечными, например: (a;b] , (−∞;b) , [a;∞) , (−∞;∞) .

Вообще непрерывная случайная величина – это абстракция. Снаряд, выпущенный из пушки, может пролететь любое расстояние, скажем, от 7 до 7,3 км., но никому не придёт в голову измерять эту величину с точностью до 0,000001 км. (т.е. до миллиметра), не говоря уже об абсолютной точности. На практике такоерасстояние будет дискретной случайнойвеличиной, укоторойодно значениеотдругого отличается по крайней мерена1 метр.

49