Учебное пособие по ТВ и МС

M [ξ]=1 p + 0 (1− p) = p .

Пример 2.4. ξ – число очков, выпавших на игральной кости. Распределение этой случайной величины:

Пример 2.5. Пусть случайная величина Π имеет пуассоновское распределение с параметром λ > 0. Вычислим математическое ожидание

Упражнение 2.1. Найти математическое ожидание пуассоновской случайной величины Π.

2.5. Общие свойства математического ожидания

неотрицательно при условии, что оно существует.

Доказательство. Свойства 1) и 2) очевидны. Докажем 3).

M [ξ1 +K+ξn ]= ∑(ξ1 (ω) +K+ξn (ω))P(ω) =

31

Замечание 2.7. Обратим внимание на то, что в бесконечной сумме (2.4) при любом фиксированном ω только одно слагаемое отлично от нуля. Это вытекает из несовместности событий Di .

2.9. Независимость случайных величин

Определение 2.11. Дискретные случайные величины ξ1,K,ξn называются независимыми, если для всех x1,K, xn R

P{ξ1 = x1 ,K,ξn = xn }= P{ξ1 = x1}KP{ξn = xn }.

Другими словами, x1 ,K, xn R набор {ξ1 = x1},K,{ξn = xn } есть набор независимых событий.

Упражнение 2.7. Показать, что события A1,K, An независимы тогда и только тогда, когда случайные величины I A1 ,K, I An взаимно независимы.

Предложение 2.9. Предположим, что

1) ξ1,K,ξn − независимые дискретные случайные величины, 2) Существуют математические ожидания M[ξi ] .

Тогда M [ξ1 Kξn ]= M [ξ1 ]KM [ξn ].

Доказательство. Для простоты рассмотрим лишь случай n = 2 . Обозначим ξ1 = ξ, ξ2 =η . Пусть ξ и η имеют следующие распределения:

35

показатель того, насколько сильно зависят друг от друга случайные величины,

часто используют коэффициент корреляции:

хорошо известное в линейной алгебре неравенство Коши−Буняковского. Более того, из этого неравенства вытекает, что если ρ(ξ,η) =1, то случайные величины ξ и η линейно зависимы: c1,c2 R, c12 +c22 > 0 : c1ξ +c2η = 0 .

Замечание 2.9. Линейная зависимость случайных величин ξ и η является частным случаем их функциональной зависимости, то есть зависимости вида f (ξ(ω),η(ω)) = 0 , где f – некоторая (необязательно линейная) функция двух вещественных переменных. Из вышесказанного следует, что коэффициент корреляции хорошо отражает степень линейной зависимости между случайными величинами. Вместе с тем, позже будет показано, что коэффициент корреляции может быть совершенно «нечувствителен» к функциональной зависимости (см. замечание 4.2).

Замечание 2.10. Если ξ1,K,ξn независимы, то

D[ξ1 +K+ξn ] = D[ξ1 ] +K+ D[ξn ].

Вытекает из п. 3) предложения 2.6 и предложения 2.10.

Пример 2.7. Рассмотрим вероятностное пространство (Ω, P) , определенное

формулами (1.2) и (1.3), соответствующее последовательности из n независимых испытаний Бернулли. Введем случайные величины:

ξ1 (ω) =θ1 ,K,ξn (ω) =θn .

Можно проверить, что ξ1,K,ξn – независимы и имеют бернуллиевское распределение

Число успехов в последовательности n независимых испытаний можно записать в виде νn = ξ1 +K+ξn . Тогда

M[νn ] = M[ξ1 ] +K+ M[ξn ] = np , D[νn ] = D[ξ1 ] +K+ D[ξn ] = np(1− p) .

37

Пример 2.8. Случайные величины ξ и η независимы. Известны дисперсии этих величин: D[ξ] = 5; D[η] = 9 . Найти дисперсию случайной величины ϕ = 2ξ − η +5.

Решение. Используя свойства дисперсии (см. предложение 2.6), получим

D[ϕ] = D[2ξ −η + 5] = 22 D[ξ] + (−1)2 D[η] = 4 5 + 9 = 29 .

Пример 2.9. Доказать, что для независимых случайных величин ξ и η справедливо равенство: D[ξ −η] = D[ξ] + D[η] .

Решение. Воспользовавшись свойствами дисперсии, получим

D[ξ −η] = D[ξ + (−η)] = D[ξ] + D[(−1) η] = = D[ξ ] + (−1)2 D[η] = D[ξ ] + D[η] .

2.11. Предельные теоремы для схемы Бернулли

Выше приведено значительное число точных результатов, относящихся к последовательности независимых испытаний Бернулли и связанному с ней биномиальному распределению. Мы знаем, что число успехов νn в последовательности из n независимых испытаний Бернулли, можно представить в виде νn = ξ1 +K+ξn , где ξ1,K,ξn – независимые одинаково распределенные бернуллиевские случайные величины. Мы знаем в явном виде распределение νn , а именно,

Pn, p (k) =& P{νn = k} = Cnk pk (1 − p)n −k ,

где p – вероятность успеха в единичном испытании.

Вместе с тем, во многих задачах приходится находить вероятности Pn, p (k) при больших значениях n. Это может вызвать значительные вычислительные трудности ввиду громоздкости биномиальных коэффициентов Cnk и необходимости возводить числа p и (1−p) в высокие степени.

Пример 2.10. Определим вероятность получить не менее десяти успехов в 1000 испытаний схемы Бернулли с вероятностью успеха 0,003. Вероятность этого события равна любому из следующих выражений:

38

Вычисление даже одного слагаемого в каждом из этих выражений весьма проблематично.

Ниже мы рассмотрим две важные предельные ситуации, когда биномиальное распределение может быть приближено другими распределениями.

2.11.1. Пуассоновское приближение

Рассмотрим последовательность серий: {E11}; {E21 , E22 }; {En1 , En2 , K, Enn }; K,

в которой события одной серии взаимно независимы между собой и каждое из них имеет вероятность pn, зависящую только от номера серии n.

Предложение 2.11. (Предельная теорема Пуассона). Пусть pn → 0 при n → ∞ таким образом, что npn → λ , где λ > 0 – заданное число. Тогда для любого фиксированного k

Pn, p (k) − λk e−λ → 0 .

n k!

Другими словами, в описанном предельном переходе биномиальные вероятности Pn, p (k) аппроксимируются пуассоновским распределением.

Доказательство. Для краткости будем считать, что n → ∞, pn = λn . Тогда

поскольку выражение в квадратных скобках стремится к единице, если k фиксировано, а n → ∞ .

Пользуясь данной теоремой, можно приближенно посчитать вероятность получить не менее десяти успехов в 1000 испытаний схемы Бернулли с вероятностью успеха 0,003 из примера 2.10. Поскольку n = 1000 «велико», а p = 0,003 «мало», то, взяв λ = np = 3, можно написать

39

Замечание 2.11. Приведенная формулировка теоремы Пуассона ничего не говорит о скорости сходимости биномиального распределения к предельному пуассоновскому закону. Осталось решить, достаточно ли n = 103 «велико», а, p = 0,003 «мало», чтобы заменить точную вероятность P(vn = k) на

разницу между этими двумя вероятностями.

Ответ на этот вопрос можно дать, воспользовавшись следующей теоремой.

Предложение 2.12. (Теорема Пуассона с оценкой погрешности).

неотрицательных чисел, vn − число успехов в n испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха p, λ = np. Тогда

Таким образом, данная теорема предоставляет нам возможность самим решать, достаточно ли n «велико», а p «мало», руководствуясь полученной величиной погрешности. Какова же погрешность в (2.8)?

≤ np2 = 0,009.

Погрешность не более 0,009 (при вероятности около 0,001). Во всяком случае, можно утверждать, что искомая вероятность никак не больше, чем

0,01 = 0,001 + 0,009.

2.11.2. Нормальное приближение

Здесь мы рассмотрим случай, когда число испытаний в схеме Бернулли растет ( n → ∞), а вероятность успеха в единичном испытании p остается фиксированной.

Предложение 2.13. (Локальная теорема Муавра–Лапласа). Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна и

40