3.3. Определение кинематических характеристик тела

Учитывая, чтоплоское движение есть синтез двух движений (рис. 3.6), имеем четыре кинематических характеристики плоского движения тела: вектор скорости полюса, вектор ускорения полюса, и алгебраические величины – угловая скорость и угловое ускорение.

Рисунок 3.6

Отметим, что векторы угловой скорости и углового ускоренияне изменяются при перемене полюса (так уголα₁ равен углу α₂ (рис. 3.4)), и угол φ от выбора полюса не зависит. и – свободные век­тора, которые всегда направлены перпендикулярно плоскости движения (Оxy). Алгебраические величины угловой скорости и углового ускоренияизображают дуговыми стрелками.

3.4 Определение скоростей точек плоской фигуры. Основная теорема

Имеем задачу: по данным уравнениям движения плоской фигуры S (3.1) определить скорости всех ее точек (рис. 3.7). Дано:

.

Определить: скорость произ­вольной точки В.

Впредыдущем параграфе по данным уравнениям (3.1) мы опреде­лили вектор скорости точкиА, , и угловую скоростьвсего тела. Покажем их на рис. 3.7.

Имеет место векторная формула, связывающая радиусы – векторы точек А и В:

. (3.4)

Возьмем производную по времени от левой и от правой частей формулы (3.4):

.

Известно, что ,. Выясним смысл производной по времени от вектора,модуль которого есть постоянная величина (т.к. тело абсолютно твердое), а меняется только направление вектора. Если в данный миг считать точку А неподвижной, то точка В опишет окружность радиусом АВ с угловой скоростью . Поэтому есть смысл назвать производнуюскоростью точки В при вращении радиуса вокруг точки А, обозначим ее.

Поэтому имеем

, (3.5)

причем вращательная скорость точки В вокруг точки А, , согласно формуле Эйлера (2.16), равна

, (3.6)

т. е. скорость равна по величине инаправлена пер­пендикулярно к АВ в сторону вращения фигуры (рис. 3.7).

Скорость произвольной точки плоской фигуры равна геометриче­ской сумме двух скоростей: – скорости полюса (за полюс можно взять любую точку); – вращательной скорости этой точки вокруг полюса.

Это основная теорема для определения скоростей точек плоской фигуры.

Формулу (3.5) можно переписать, учитывая формулу (3.6) так:

(3.7)

3.5 Теорема о проекциях скоростей двух точек плоской фигуры на соединяющую их прямую (теорема Грасгофа))

Рассмотрим две произвольные точки А и В плоской фигуры, которая движется в плоскости рисунка. Будем считать, что векторы скоростей этих точек инаправ­лены под угламиα и β к прямой АВ (рис. 3.8) соответственно.

Проектируя обе части равенства (3.5) на ось Ах, проходящую через точки А и В, получим

.

При этом известно, что вектор перпендикулярный кАВ, поэтому его проекция на ось х равна нулю

.

Получим следующее равенство:

. (3.8)

Теорема. Проекции скоростей концов отрезка на направление этого отрезка равны между собой.

Рисунок 3.9

Самостоятельно Механизм состоит из двух ползунов А и В и линейки АВ. Зная скорость точки А, найти скорость точки В в заданном положении механизма. VA = 20 м/с, VB = ?