![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Министерство образования и науки Украины
- •Содержание
- •Предисловие
- •Тема 1 введение в кинематику. Кинематика точки
- •1.1 Краткие исторические сведения о развитии кинематики
- •1.2 Введение в раздел «Кинематика»
- •1.3 Способы задания движения точки
- •1.4 Скорость и ускорение точки при векторном и координатном способах изучения движения точки
- •1.5 Скорость и ускорение точки при естественном способе изучения движения точки
- •1.6 Частные случаи движения точки
- •1.7 Методика решения задач на тему «Кинематика точки»
- •1.7.1 Координатный способ
- •1.7.2 Естественный способ
- •Тема 2 введение в кинематику твердого тела. Простейшие движения твердого тела
- •2.1 Виды движения тела
- •2.2 Поступательное движение тела. Основная теорема
- •2.3 Вращательное движение тела вокруг неподвижной оси. Скорость и ускорение тела
- •2.4 Скорости и ускорения точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
- •2.4.1 Скорости точек тела
- •2.4.2 Ускорения точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
- •2.4.3 Векторные формулы скорости и ускорения точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
- •2.5 Методические указания к решению задач на тему «Простейшие движения твердого тела»
- •Тема 3 плоско-параллельное движение тела
- •3.1 Способ изучения движения
- •3.2 Уравнения движения тела
- •3.3. Определение кинематических характеристик тела
- •3.4 Определение скоростей точек плоской фигуры. Основная теорема
- •3.5 Теорема о проекциях скоростей двух точек плоской фигуры на соединяющую их прямую (теорема Грасгофа))
- •3.6 План скоростей
- •3.7 Мгновенный центр скоростей. Определение скоростей точек с помощью мгновенного центра скоростей
- •3.8 Способы определения положения мгновенного центра скоростей
- •3.9 Определение ускорений точек плоской фигуры. Основная теорема
- •3.10 Мгновенный центр ускорений. Определение ускорений точек с помощью мгновенного центра ускорений
- •3.11 План ускорений
- •3.12 Методические указания к решению задач на тему «Плоское движение тела»
- •Тема 4 сложное движение точки
- •4.1 Основные понятия и определения
- •4.2 Способ наблюдения движений
- •4.3 Формулы для определения скоростей и ускорений точки
- •4.4 Теорема сложения скоростей
- •4.5 Теорема сложения ускорений
- •4.6 Ускорение Кориолиса и его физический смысл
- •4.7 Методические указания к решению задач на тему «Сложное движение точки»
- •Список рекомендованных источников
2.4.2 Ускорения точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
Для нахождения
ускорения точки А
(рис. 2.5) воспользуемся формулами ускорения
для естественного способа задания
движения точки (1.26).
,
где
,
. (2.9)
В
нашем случае берем производную по
времени от (2.7), чтобы найти
:
. (2.10)
Численное значение касательного ускорения точки (его еще называют вращательным) равно произведению модуля углового ускорения тела на расстояние от этой точки до оси вращения. |
.
(2.11)
Вектор
направлен по касательной к окружности,
которую описывает точка, в зависимости
от направления углового ускорения
(рис. 2.8, а,
2.8, б).
В формуле
нормального ускорения (2.9) радиус кривизны
траектории
,
т. е. равен расстоянию от точки до оси
вращения. Поэтому, с учетом (2.7), имеем:
. (2.12)
Нормальное ускорение точки (его еще называют центростремительным) равно произведению квадрата угловой скорости тела на расстояние от этой точки до оси вращения. |
Направлен
вектор
всегда по радиусу от точки А к центру
окружности О (поэтому это центростремительное
ускорение)
(рис. 2.8).
Полное ускорение
точки А,
согласно теореме Пифагора, равно
диагонали прямоугольника, построенного
на векторах
и
(рис. 2.8), т.е.
. (2.13)
Вектор полного ускорения составляет угол µ с радиусом АО, тангенс которого согласно (1.31) равен:
,
. (2.14)
Так
как в каждый момент времени
и
для всех точек имеют одно и то же значение
(ведь это кинематические характеристики
тела), имеем (рис. 2.8,в):
. (2.15)
Ускорения
точек вращающегося вокруг неподвижной
оси тела прямо пропорциональны их
расстояниям до оси вращения и образуют
один и
тот же угол
|
Самостоятельно.
Как
вращаются колеса, изображенные на рис.
2.9: ускоренно,
замедленно или равномерно?
2.4.3 Векторные формулы скорости и ускорения точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
Рассмотрим точку
М,
принадлежащую телу, вращающемуся вокруг
неподвижной оси, с угловой скоростью
и угловым ускорением
(покажем эти вектора на оси вращения)
(рис. 2.10).
Соединим точку М
радиусом-вектором с некоторой точкой
О
оси.
.
Рассмотрим векторное произведение
.
Вспомним, чему равен модуль векторного произведения:
,
но
,
т. е. модуль этого вектора равен модулю скорости точки М.
Как направлен вектор векторного произведения? Перпендикулярно плоскости, в которой расположены сомножители, т.е. перпендикулярно плоскости ОСМ; значит перпендикулярно СМ, т.е. по касательной к окружности, которую опишет точка М. Именно таким и будет вектор скорости точки М.
Вывод.
Вектор скорости точки равен векторному произведению вектора угловой скорости тела и радиуса-вектора этой точки, проведенного из любой точки О оси вращения:
|
Это формула Леонарда Эйлера (1707 – 1783 гг.).
Возьмем производную по времени от обеих частей формулы (2.16):
.
Рассмотрев
произведения
и
,
нетрудно убедиться в том, что это
известные нам составляющие ускорений
и
.
, (2.17)
где
– вектор касательного ускорения.
Действительно,
модуль
,
направлен вектор
перпендикулярно плоскостиОСМ,
т.е. по касательной к окружности в
зависимости от направления вектора
.
,
(2.18)
где
–
вектор нормального ускорения.
Действительно,
модуль
,
направлен этот вектор перпендикулярно
плоскости, в которой расположены вектора
и
,
т.е. по радиусуМС
от точки М
к точке С.
Формулы (2.16), (2.17), (2.18) являются более информативными, т.к. без каких-либо оговорок о величине и направлении скорости и ускорении точек позволяют их определять, зная ответ на вопрос: чему равно векторное произведение векторов.