2.5 Методические указания к решению задач на тему «Простейшие движения твердого тела»

Задачи о поступательном движении не рассматриваем, поскольку они сводятся к задачам кинематики точки. Будем рассматривать задачи двух типов:

– 1-й тип (2.5.1) – задачи, связанные с рассмотрением вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси;

– 2-й тип (2.5.2) – задачи о преобразовании простейших движений твердого тела.

2.5.1 Задачи, связанные с рассмотрением вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси:

1. Задачи, в которых дано уравнение вращательного движения . Используются формулы (2.5) – (2.15).

Определяем:

– угловую скорость: ;

– угловое ускорение: ;

– линейную скорость точки: (h – расстояние от точки до оси);

– вращательное (касательное) ускорение: ;

– центростремительное (нормальное) ускорение: ;

– полное ускорение: ;

2. Задачи, в которых задано угловое ускорение тела. Следует найти: уравнение вращательного движения тела, скорость и ускорение конкретной точки тела.

Определяем:

– угловую скорость, интегрируя уравнение :;

– уравнение вращательного движения, интегрируя уравнение :. Постоянные интегрирования С₁ и С₂ определяем из начальных условий: ,;

– скорость и ускорение точки по формулам: , ,,.

2. Задачи о преобразовании простейших движений твердого тела

Механизмы для преобразования простейших движений тел служат для: – преобразования поступательного движения во вращательное и обратно (рис. 2.11); – преобразования вращательного движения во вращательное (рис. 2.13–2.17).

Рисунок 2.11

Для передачи вращательного движения от одного тела к другому (первое тело называется ведущим, второе – ведомым) используются передаточные механизмы.

Назначением передаточных механизмов является изменение скорости ведущего звена, изменяя либо не изменяя направление его вращения.

По способу преобразования вращательных движений различают три вида передач (рис. 2.12).

Во фрикционных передачах вращение передается при наличии сил сцепления на поверхности соприкасающихся тел (рис. 2.13).

В ременных передачах вращение передается при помощи натянутого ремня или цепи (рис. 2.14, 2.15).

Рисунок 2.14

Рисунок 2.15

В зубчатых передачах вращение передается с помощью зацепления зубьев, нарезанных на поверхностях цилиндрических колес (рис. 2.16) или на поверхностях конических колес (рис. 2.17).

Рисунок 2.16

Рисунок 2.17

При внутреннем зацеплении (рис. 2.16) и нескрещивающейся ременной (цепной) передаче (рис. 2.14) направления вращения колес совпадают.

При внешнем зацеплении (рис. 2.13) и скрещивающейся ременной (цепной) передаче (рис. 2.15) направления вращения колес противоположны.

Отношение угловой скорости ведущего колеса (колесо 1) к угловой скорости ведомого колеса (колесо 2) называется передаточным числом . (2.19)

Чтобы найти передаточное число, необходимо найти скорости точек касания колес К_{1, 2} или точек К₁ и К₂. Учитывая, что эти точки принадлежат колесам 1 и 2, получим

, откуда

. (2.20)

Угловые скорости контактирующих колес обратно пропорциональны радиусам (числу зубьев) этих колес.

Рекомендуется следующая последовательность действий.

1. По заданным уравнениям движения тела определяем скорость и ускорение этого тела.

Пример. Известен закон движения тела 1: (рис. 2.11) или(рис. 2.13–2.17).Скорость и ускорение тела 1 равны:

– для рис. 2.11: ;

– для рис. 2.13 - 2.17: .

2. Находим точки контакта тел 1 и 2 с той целью, чтобы записать скорости этих точек, а затем их приравнять:

– для рис. 2.11: , поэтому;

, поэтому

– для рис. 2.13 - 2.17: , поэтому.

3. Используя формулы кинематики точки и тела, вращающегося вокруг неподвижной оси (2.5) – (2.13), находим: уравнение движения тела, которому передается движение, а также скорость и ускорение точек этого тела.

Вопросы для самоконтроля

1. Почему кинематика поступательного движения тела сводится к кинематике точки?

2. Как определить скорость и ускорение поступательно движущегося тела?

3. Какой вид имеют траектории точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси?

4. Записать кинематическое уравнение вращения тела вокруг неподвижной оси и формулы для определения скорости и ускорения тела.

5. Чему равна скорость точки, принадлежащей телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси? Как направлен вектор этой скорости (Точка не лежит на оси).

6. Чему равен тангенс угла, который составляет вектор ускорения точки с радиусом окружности, описываемой точкой? Изменится ли этот угол для другой точки? (Точка принадлежит телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси).

7. Записать формулы для касательного, нормального и полного ускорений точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

8. Получите формулы для определения угла поворота тела при равномерном и равнопеременном вращении.

9. Где расположены и куда направлены векторы угловой скорости и углового ускорения тела, вращающегося вокруг неподвижной оси?

10. Маховик вращается с постоянной скоростью, делает 2 оборота за минуту. За какое время маховик повернется на угол 16π рад?