- •1.Несобственные интегралы и их свойства.
- •3. Абсолютная сходимость несобственных интегралов. Признак сравнения сходимости ни.
- •4.Предельный признак сравнения
- •6.Признак Абеля
- •7. Метрическое пространство . Некоторые топологические понятия
- •8.Евклидово пространство .
- •9. Последовательности точек пространства .
- •10. Предел отображения.
- •11. Предел по направлению. Повторные пределы.
- •12.Локальные свойства непрерывных отображений.
- •13.Глобальные свойства непрерывных отображений.
- •14. Линейные отображения.
- •15. Дифференцируемые отображения.
- •16.Свойства дифференцируемых отображений.
- •17. Достаточное условие дифференцируемости функций многих переменных.
- •18.Производная по направлению. Градиент.
- •19. Частные производные высших порядков.
- •20.Формула Тейлора для функций многих переменных.
- •21. Необходимые условия экстремума.
- •22. Достаточные условия локального экстремума.
- •23. Неявные функции.
- •24. Обратное отображение.
- •25. Необходимые условия зависимости функций.
- •26. Достаточные условия зависимости функций.
- •27. Понятие условного экстремума.
- •28. Метод множителей Лагранжа.
- •29. Числовые ряды. Критерий Коши
- •30.Признаки сравнения сходимости числовых рядов.
- •31. Признаки Даламбера и Коши сходимости рядов.
- •32. Интегральный признак сходимости ряда.
- •33. Знакочередующиеся ряды.
- •34.Признак Абеля и Дирихле.
- •35. Абсолютно и условно сходящиеся числовые ряды
- •36. Перемножение абсолютно сходящихся числовых рядов.
- •37. Бесконечные произведения.
- •38. Равномерная сходимость функциональных рядов и последовательностей.
- •39.Признаки равномерной сходимости функц. Рядов.
- •41. Непрерывность суммы ряда.
- •42.Интегрирование равномерно сходящихся рядов и последовательностей
- •43. Дифференцирование равномерно сходящихся рядов.
- •44. Степенной ряд, радиус сходимости.
- •45. Формула Коши-Адамара
- •46.Почленное дифференцирование и интегрирование степенных рядов.
- •47. Аналитические функции. Ряд Тейлора.
- •48. Ряды Тейлора основных элементарных функций.
- •49.Ряды Фурье по ортонормированной системе функций.
- •50. Интеграл Дирихле.
- •51. Сходимость рядов Фурье в точке(лемма 1)
- •52. Признак Дини и следствия из него
- •53. Суммирование рядов Фурье методом средних арифметических.
- •54. Теорема Фейера.
- •55. Теорема Вейерштрасса.
- •56. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля.
- •57.Диф. Тригонометрических рядов Фурье.
- •58. Интегрирование рядов Фурье
- •59.Комплексная форма ряда Фурье.
20.Формула Тейлора для функций многих переменных.
Теорема 9. Пусть функция f: V(,)→R, V(,)Rn определена и непрерывна вместе со всеми частными производными до порядка m+1 включительно в -окрестности точки а, и х=a+h ϵ V(,). Тогда справедлива формула
f(x)=f(a)+(h1+…+ hn)kf(a)+rm(a,h), (1)
где rm(a,h)=(h1+…+ hn)m+1f(ah), 0<<1.(2)
Доказательство. Рассмотрим функцию = f(a+ht), tϵ[0;1]. Эта функция, согласно условию, имеет непрерывные производные до порядка m+1 включительно. По формуле Тейлора для функции одной переменной имеем
=+(k)(0)tk+rm(t),
gde rm(t)= (m+1)()tm+1,ϵ(0;1).Поскольку =f(a), =f(a+h), и =+(к)(0) +rm(1), (3)
где rm= (m+1)(),ϵ(0;1), то из (3) и
(к)(t)= (h1+…+ hn)kf(xht) следует (1) с остаточным членом, определенным формулой (2).
21. Необходимые условия экстремума.
Определение 1. Пусть функция f(x)определена на множестве XСRn. Точка a€ Xназывается точкой локального максимума (минимума) функции f, если существует окрестность V(a)такая, что для всех x€ V(a)выполняется неравенство f(x)≤f(a) (f(x)≥ f(a)).
Если для x€V(a)имеет место неравенство f(x)<f(a) (f(x)>f(a)), то точка a называется точкой строгого локального максимума (минимума) функции f.
Определение 2. Точки локального максимума и минимума функции fназываются точками локального экстремума функции f,а значения функции в этих точках называются локальными экстремума функции.
Теорема 10. Пусть функция f определена в окрестности V(a)С Rnточки a, имеет в точке a частные производные по каждой из переменных x1, . . . , xn. Тогда для того, чтобы функция f имела в точке a локальный экстремум, необходимо, чтобы в этой точке были выполнены равенства .(1)
Док-во: Рассм. ф-цию одной переменной, опред., в силу условий теоремы, в некоторой окрестности точки a1 вещественной оси. В точке a1 ф-ция φ(x1) имеет локальный экстремум, и поскольку , то=0. Аналогично док-тся и остальные равенства системы(1).
Точки, в которых выполнены условия (1), называются стационарными точками функции f.
Следовательно, если функция fимеет в точке aлокальный экстремум, то точка aявляется стационарной точкой функции fили функция fв этой точке не дифференцируема.
22. Достаточные условия локального экстремума.
Пусть функция f : V(a)→R имеет все непрерывные частные производные до второго порядка включительно в окрестности V(a)ʗRn точки а, а – стационарная точка функ. f.
Если квадратичная форма hihj (1)
1) положительно (отрицательно) определена, то а явл.точкой строго лок.мин(макс) функции f;
2) неопределенна, то в точке а функция не имеет лок.экстр.
Док-во. Пусть h≠0, a+hϵV(a). Поскольку а стц.точка функции, то разложение f по формуле Тейлора при m=2
f(a+h)-f(a)=hihj+o(2)=
2(+o(1))(2)
где o(1) – бесконечно малая при h0
Из (2) видно, что знак разности f(a+h)-f(a) полностью определяется знаком величины, стоящей в правой части.
Вектор е=() имеет единичную норму. Квадр.форма (1) непрер.как функцияh в Rn, поэтому ее ограничение на единичную сферу S(0;1)={xϵRn | =1} также непрерывно наS(0;1). Но сфера S есть замкнутое огран.подмножество в Rn, т.е. компакт. Следовательно, форма (1) имеет на S как тчоку минимума, так и точку максимума, в которых она принимает соответственно значения m и M.
Если форма (1) пол.опр., то 0<mM и, поэтому найдется число >0 такое, что при<будет<m. Тогда при <выражение в правой части равенства (2)окажется положительным иf(a+h)-f(a) >0 при 0<<. Т.о. точка а – точка строгого лок.мин. рассматриваемой функции. Аналогично проверяется, что в случае отр.опр формы (1) функция имеет в а строгий локальный максимум.
Если квадратичная форма (1) на единичной сфере или, что равносильно, в Rn принимает значения разных знаков. То в любой окрестности точки а найдутся как точки, в которых значение функции больше f(a), так и точки, в которых она меньше f(a). Следовательно, в этом случае а не явл.точкой локального экстремума рассматриваемой функции.