![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1.Несобственные интегралы и их свойства.
- •3. Абсолютная сходимость несобственных интегралов. Признак сравнения сходимости ни.
- •4.Предельный признак сравнения
- •6.Признак Абеля
- •7. Метрическое пространство . Некоторые топологические понятия
- •8.Евклидово пространство .
- •9. Последовательности точек пространства .
- •10. Предел отображения.
- •11. Предел по направлению. Повторные пределы.
- •12.Локальные свойства непрерывных отображений.
- •13.Глобальные свойства непрерывных отображений.
- •14. Линейные отображения.
- •15. Дифференцируемые отображения.
- •16.Свойства дифференцируемых отображений.
- •17. Достаточное условие дифференцируемости функций многих переменных.
- •18.Производная по направлению. Градиент.
- •19. Частные производные высших порядков.
- •20.Формула Тейлора для функций многих переменных.
- •21. Необходимые условия экстремума.
- •22. Достаточные условия локального экстремума.
- •23. Неявные функции.
- •24. Обратное отображение.
- •25. Необходимые условия зависимости функций.
- •26. Достаточные условия зависимости функций.
- •27. Понятие условного экстремума.
- •28. Метод множителей Лагранжа.
- •29. Числовые ряды. Критерий Коши
- •30.Признаки сравнения сходимости числовых рядов.
- •31. Признаки Даламбера и Коши сходимости рядов.
- •32. Интегральный признак сходимости ряда.
- •33. Знакочередующиеся ряды.
- •34.Признак Абеля и Дирихле.
- •35. Абсолютно и условно сходящиеся числовые ряды
- •36. Перемножение абсолютно сходящихся числовых рядов.
- •37. Бесконечные произведения.
- •38. Равномерная сходимость функциональных рядов и последовательностей.
- •39.Признаки равномерной сходимости функц. Рядов.
- •41. Непрерывность суммы ряда.
- •42.Интегрирование равномерно сходящихся рядов и последовательностей
- •43. Дифференцирование равномерно сходящихся рядов.
- •44. Степенной ряд, радиус сходимости.
- •45. Формула Коши-Адамара
- •46.Почленное дифференцирование и интегрирование степенных рядов.
- •47. Аналитические функции. Ряд Тейлора.
- •48. Ряды Тейлора основных элементарных функций.
- •49.Ряды Фурье по ортонормированной системе функций.
- •50. Интеграл Дирихле.
- •51. Сходимость рядов Фурье в точке(лемма 1)
- •52. Признак Дини и следствия из него
- •53. Суммирование рядов Фурье методом средних арифметических.
- •54. Теорема Фейера.
- •55. Теорема Вейерштрасса.
- •56. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля.
- •57.Диф. Тригонометрических рядов Фурье.
- •58. Интегрирование рядов Фурье
- •59.Комплексная форма ряда Фурье.
9. Последовательности точек пространства .
Определение 1. Последовательностью точек пространства Rn называется функция f : N → Rn , которая каждому натуральному числу k ставит в соответствие точку x(k) =(x1(к), . . . , xn)ϵ Rn .
Теорема1.
Последовательность
=(
)
Rn,
к=1,2,… сходится к точке а=(а1,…,
аn)
Rn
тогда, и только тогда, когда
=
,
i=1,n.(2)
Доказательство
: Согласно |xi—
yi|≤p(x,y)≤max1≤k≤n|xk—
yk|,
i
= 1,…,n
можем
записать
|xi(k)-ai|
≤p(x(k),a)
≤max1≤k≤n|x(k)j—
aj|,
i=1,n (1)
Необходимость.
Если
=a,
то
для любого ε>0, ᴲNϵN→
p(x(k),a)<ε,
а значит, согласно (1) выполняются неравенства |xi(k)-ai|<ε, i=1,n. Откуда следует справедливость(2)
Достаточность Если имеет место (2), то для
Аε<0,
E NϵN
: A k>N→|xi(k)-ai|<ε/,
i=1,n
и,
следовательно, max1≤k≤n|x(k)j—
aj|<ε/
Тогда
в силу (1)
p(x(k),a)
<ε, а это означает,
=a.
Теорема 2. Из любой ограниченной последовательности {x(k)} точек пространства Rn можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
10. Предел отображения.
Определение
1.
Точка
b€Rmназывается
пределом отображения fв
точке a,
если для любого
>
0 существует
>
0 такое,
что для любого x€X
и
0
<pn(x,a)<
следует,
что pm
(f(x),b)<
.При
этом пишут lim
f(x)
= b.(x→a).
Определение 2.Точка bϵRmназывается пределом отображения fв точке a, если для любой окрестности U(b) существует V(a)такая, что если x€V(a)∩X, то f(x)€U(b).
Определение 3.Точка bϵRmназывается пределом отображения fв точке a, если для любой последовательности x(k)€X\{a},k = 1, 2,...сходящейся к точке a, последовательность {f (x(k))}сходится к точке b.
Теорема 3. Точка b = (b1,...,bm) является пределом отображения f : X — Rm, X €Rnпри x→a тогда и только тогда, когда lim fi(x)=bi, i=1,m.(x—>a)
Доказательство. Справедливость теоремы непосредственно следует
|fi(x)-bi|
≤p(f(x),
b)
≤max1≤k≤m
|f(x)j—
bj|,
i=1,m
и определения предела отображения.
Теорема 4.Отображение f : X →Rm, XСRnимеет предел в точке a тогда и только тогда, когда
>0
V(a)
:
х',
x"
€V(a)→
pm(f(x1),
f (x"))<
.
Теорема 5. Если отображение f :X — Rm, где X€Rnимеет предел в точке a, то:
предел единственный;
отображение fограниченно в некоторой проколотой окрестности V(a) точки aв множестве X.
Теорема 6.Пусть f : X →Rm, g : X →Rm, где X€Rn, и существуют пределы limf (x) = b(x→a), limg(x) = c(x→a). Тогдасуществуют пределы:
1) lim (f (x) ± g(x))= b ± c;(x→a)
2) lim f(x) . g(x) = b . c,(x→a)
где f± g, b± c— есть сумма и разность векторов; f • g, b • c— скалярное произведение векторов.
Теорема 7. Пусть f:X— R, g:X— R, X€Rn, и существуют пределы limf(x) = A(x→a), limg(x) = B.(x→a)Тогдасуществуют пределы:
1) lim(f(x) ± g(x))= A ± B,
x— a
2) limf(x)g(x) = A • B,
x— a
3) если
g(x)
≠0,x€V(a)
иB≠0,
то
.
Замечание 1 . Заметим, что вначале мы говорим, что существуют пределы отображений fи g, а только после этого можем говорить о существовании предела f ± gи f • g.
Замечание 2. Для пределов функций многих переменных справедливы и другие свойства аналогичные свойствам функций одной переменной, при этом формулировки теорем и их доказательства по существу остаются теме же самыми.