![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1.Несобственные интегралы и их свойства.
- •3. Абсолютная сходимость несобственных интегралов. Признак сравнения сходимости ни.
- •4.Предельный признак сравнения
- •6.Признак Абеля
- •7. Метрическое пространство . Некоторые топологические понятия
- •8.Евклидово пространство .
- •9. Последовательности точек пространства .
- •10. Предел отображения.
- •11. Предел по направлению. Повторные пределы.
- •12.Локальные свойства непрерывных отображений.
- •13.Глобальные свойства непрерывных отображений.
- •14. Линейные отображения.
- •15. Дифференцируемые отображения.
- •16.Свойства дифференцируемых отображений.
- •17. Достаточное условие дифференцируемости функций многих переменных.
- •18.Производная по направлению. Градиент.
- •19. Частные производные высших порядков.
- •20.Формула Тейлора для функций многих переменных.
- •21. Необходимые условия экстремума.
- •22. Достаточные условия локального экстремума.
- •23. Неявные функции.
- •24. Обратное отображение.
- •25. Необходимые условия зависимости функций.
- •26. Достаточные условия зависимости функций.
- •27. Понятие условного экстремума.
- •28. Метод множителей Лагранжа.
- •29. Числовые ряды. Критерий Коши
- •30.Признаки сравнения сходимости числовых рядов.
- •31. Признаки Даламбера и Коши сходимости рядов.
- •32. Интегральный признак сходимости ряда.
- •33. Знакочередующиеся ряды.
- •34.Признак Абеля и Дирихле.
- •35. Абсолютно и условно сходящиеся числовые ряды
- •36. Перемножение абсолютно сходящихся числовых рядов.
- •37. Бесконечные произведения.
- •38. Равномерная сходимость функциональных рядов и последовательностей.
- •39.Признаки равномерной сходимости функц. Рядов.
- •41. Непрерывность суммы ряда.
- •42.Интегрирование равномерно сходящихся рядов и последовательностей
- •43. Дифференцирование равномерно сходящихся рядов.
- •44. Степенной ряд, радиус сходимости.
- •45. Формула Коши-Адамара
- •46.Почленное дифференцирование и интегрирование степенных рядов.
- •47. Аналитические функции. Ряд Тейлора.
- •48. Ряды Тейлора основных элементарных функций.
- •49.Ряды Фурье по ортонормированной системе функций.
- •50. Интеграл Дирихле.
- •51. Сходимость рядов Фурье в точке(лемма 1)
- •52. Признак Дини и следствия из него
- •53. Суммирование рядов Фурье методом средних арифметических.
- •54. Теорема Фейера.
- •55. Теорема Вейерштрасса.
- •56. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля.
- •57.Диф. Тригонометрических рядов Фурье.
- •58. Интегрирование рядов Фурье
- •59.Комплексная форма ряда Фурье.
4.Предельный признак сравнения
Следствие
2 (предельный признак сравнения). Пусть
функции f(x),g(x)
неотрицательны на полуинтервале
[a;w),g(x)
≠
0 для
любого x€[a;w)
и существует
(3.20)
Тогда:
а) если
интеграл
сходится
и0<=к
<+oo,
то
интеграл
также сходится;
б) если
интеграл
расходится
и0
<
к <=
+oo,
то
интеграл
также расходится.
В частности, если f(x)иg(x) эквивалентные при x→w функции, то интегралы (3) и (4) сходятся или расходятся одновременно.
Доказательство.
Из выполнения условия
для k, удовлетворяющего условию 0≤
k < +∞, следует, что существует такое η
∈
[a; ω), что если η < x < ω, то
<k+1,
т.е.
f(x)<(k+1)g(x),
а это значит, что f (x) = O (g(x)) , x → ω. Поэтому утверждение а) следствия непосредственно следует из утверждения а) теоремы 6.
Пусть теперь условие (3.20) выполнено при некотором k, удовлетворяющем условию 0 < k ≤ +∞. Тогда для любого
k1 ∈ (0; k) существует такое η ∈ [a; ω), что если η < x < ω, то
>k1
или g(x)<
).
Это и означает, что g(x) = O( f (x)) , x → ω . Поэтому утверждение б) следствия непосредственно следует из утверждения б) теоремы 6.
5. Достаточное условие сходимости.
Признак Дирихле.
Теорема: Пусть:
функция
непр. и имеет ограниченную первообразную
при
;
функция
непр. дифференцируема и убывает при
;
Тогда
сходится интеграл
(1)
Доказательство:
Заметим, что ф-ция
непрерывна,
а значит и интегрируема по Риману на
любом отрезке
и поэтому можно говорить о НИ(1)
Проинтегрировав
по частям произведение
на[a;b],
получим
(2)
Исследуем
правую часть при
.
В силу ограниченности функции
M=sup|F(x)|<
.
Из условий 2 и 3 следует, что функция
не отрицательна для всех
,
в частности
,
поэтому
,
кроме того в силу условия 3,
.
Далее из убывания ф-ции
следует, что
при
,
поэтому
Таким
образом, интегралы
ограничены в совокупности при всех
,
поэтому интеграл
сходится абсолютно, а значит и просто
сходится, т.е. существует конечный
предел
Итак, доказали, что в правой части рав-ва(2)
оба слагаемых при
имеют конечный предел, значит предел
левой части при
тоже конечен. Это и означает сход инт(1)
6.Признак Абеля
Теорма:
Если на полуоси
Ф-ция
непрерывна и сходится интеграл
функция
непрерывно дифференцируема, ограничена и монотонна, то интеграл
сходится.
Доказательство:
Отметим, что интегралы
и
сходятся и расходятся одновременно и
что в силу монотонности одна из функций
или
убывает.
Пусть
для определенности, убывает функция
.
В силу ее ограниченности и монотонности,
существует конечный предел
,
а т.к. ф-ция
убывает, то при
,
убывая стремится к нулю и разность
.Представим
произведение
в виде
В силу сходимости
,
интеграл
также сходится. Из этого условия следует,
что интегралы
,
ограничены. В самом деле, из существования
конечного предела
следует ограниченность ф-ции
в некот. окресности
.
На отр-ке
ф-ция
огр., т.к. она непрерывна. В рез-те
ограничена
на всей полупрямой
.
Ф-ция
явл. первообразной ф-ции
,
тем самым ф-ция
имеет первообразную при
Т.о.
для интеграла
выполнены
все условия признака Дирихле, поэтому
этот интеграл сходится. В силу доказанного,
из равенства
следует
сходимость интеграла.