- •1.Несобственные интегралы и их свойства.
- •3. Абсолютная сходимость несобственных интегралов. Признак сравнения сходимости ни.
- •4.Предельный признак сравнения
- •6.Признак Абеля
- •7. Метрическое пространство . Некоторые топологические понятия
- •8.Евклидово пространство .
- •9. Последовательности точек пространства .
- •10. Предел отображения.
- •11. Предел по направлению. Повторные пределы.
- •12.Локальные свойства непрерывных отображений.
- •13.Глобальные свойства непрерывных отображений.
- •14. Линейные отображения.
- •15. Дифференцируемые отображения.
- •16.Свойства дифференцируемых отображений.
- •17. Достаточное условие дифференцируемости функций многих переменных.
- •18.Производная по направлению. Градиент.
- •19. Частные производные высших порядков.
- •20.Формула Тейлора для функций многих переменных.
- •21. Необходимые условия экстремума.
- •22. Достаточные условия локального экстремума.
- •23. Неявные функции.
- •24. Обратное отображение.
- •25. Необходимые условия зависимости функций.
- •26. Достаточные условия зависимости функций.
- •27. Понятие условного экстремума.
- •28. Метод множителей Лагранжа.
- •29. Числовые ряды. Критерий Коши
- •30.Признаки сравнения сходимости числовых рядов.
- •31. Признаки Даламбера и Коши сходимости рядов.
- •32. Интегральный признак сходимости ряда.
- •33. Знакочередующиеся ряды.
- •34.Признак Абеля и Дирихле.
- •35. Абсолютно и условно сходящиеся числовые ряды
- •36. Перемножение абсолютно сходящихся числовых рядов.
- •37. Бесконечные произведения.
- •38. Равномерная сходимость функциональных рядов и последовательностей.
- •39.Признаки равномерной сходимости функц. Рядов.
- •41. Непрерывность суммы ряда.
- •42.Интегрирование равномерно сходящихся рядов и последовательностей
- •43. Дифференцирование равномерно сходящихся рядов.
- •44. Степенной ряд, радиус сходимости.
- •45. Формула Коши-Адамара
- •46.Почленное дифференцирование и интегрирование степенных рядов.
- •47. Аналитические функции. Ряд Тейлора.
- •48. Ряды Тейлора основных элементарных функций.
- •49.Ряды Фурье по ортонормированной системе функций.
- •50. Интеграл Дирихле.
- •51. Сходимость рядов Фурье в точке(лемма 1)
- •52. Признак Дини и следствия из него
- •53. Суммирование рядов Фурье методом средних арифметических.
- •54. Теорема Фейера.
- •55. Теорема Вейерштрасса.
- •56. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля.
- •57.Диф. Тригонометрических рядов Фурье.
- •58. Интегрирование рядов Фурье
- •59.Комплексная форма ряда Фурье.
42.Интегрирование равномерно сходящихся рядов и последовательностей
Теорема8. Пусть ф-ции ,n=1,2,…непрерывны на Е и функциональный ряд равном.сход. к суммеS(x) на Е. Тогда этот ряд можно почленно интегрировать по любому отр-ку , причем имеет место рав-во
(1)
Доказательство. Имеем , где. ФункцияS(x) – непрерывна на Е. Т.к. , непр. на Е, тонепрер. на Е, откуда следует непрер.на Е и
или
(2)
где . Посколькуна Е, тона Е. Это озн., что∃ℕ:n>N,вып. нерав.
Тогда
т.е. Поэтому, переходя в (2) к пределу при, получим (1)
43. Дифференцирование равномерно сходящихся рядов.
Теорема9.Пусть функции непр. дифференцируемы на пром-ке Е и ряд, составленный из производных
равномерно сходится на Е. тогда, если функц. ряд сх. к суммеS(x), то ф-я S(x)непр. дифференцируема на Е и
(1)
т.е. ряд можно почленно дифференцировать.
Док-во. В силу усл-я теоремы, ф-я непрерывна на Е, а сам рядможно почленно интегрировать:
, где , т.е.(2)
Дифференцируя (2), получим ,. Подставляя значениеполучим (1).
44. Степенной ряд, радиус сходимости.
Опред: Ряд вида , где, наз степенным рядом, а числаназ коофициентами степенного ряда. Приполучим(1)
Теорема 10(Первая теорема Абеля): Если степенной ряд
(1) Сходится при , то он сходится и притом абсолютно, при любом, для которого.Доказательство.Пусть ряд сходится. Тогда егоn-й член стремится к нулю при. Поэтому последовательность {} ограничена, т.е. сущ. такая пост. М>0, что ||М. В силу этого, дляn-го члена ряда (1) имеет местоЕсли, то ряд, являясь суммой геом. прогр. со знаменателем , сходится. Поэтому согласно призн. сравн., сх. и ряд, а это озн. абс. сходимость ряда (1)
Опр.: Пусть дан степенной ряд ЕслиR – неотрицательное число или обладает тем свойством, что при всехz, для которых ряд сходится, а при всехz, для которых , ряд расходится, то рядR называется радиусом сходимости степенного ряда.
Теорема 11.У всякого степенного ряда существует радиус сходимостиR. Внутри круга сходим., т.е. при любом , для которого, рядсход.абсолютно. На любом круге, гдеr<R, ряд сх. равномерно.
Док-во. Обозначим ч-з А мн-во всех неотр. чисел, при которых ряд сх. Приz=0 этот ряд сх., поэтому мн-во А не пусто и, след-но, имеет конечную или бесконечную верхнюю грань. Покажем, что supA=R.
Действительно, пусть Cи . Существует такое. В силу определения мн-ва А, дляуказ.xряд сход., след-но, согласно первой т-м Абеля, в выбр. точкесх. абс. ряд.
Если |z|<R, то выберем такое действит. число х, что R<x<|z|; тогда снова, в силу опр. мн-ва А, ряд в такой точке х расх. Поэтому для выбранногоzрасх. и ряд .
Итак, R является радиусом сходимости.
44. Если теперь 0<r<R, то , по доказанному, ряд приz=r абс. сх., т.е. сх. числ. ряд . А т.к. для любой точки zкруга |z|r имеем , то согласно призн. Вейерштрасса, на этом круге рядсх. равномерно.
Т3(Вторая теорема Абеля): Если ряд (1) сход при z=R, то он сход равномерно на отр [0,R].
45. Формула Коши-Адамара
Теорема: Пусть R – радиус сходимости степенного ряда . тогда
(1)
Формула (1) называется формулой Коши-Адамара.
Доказательство: Положим . Рассмотрим сначала случай. Покажем, что в этом случае ряд сходится при любом. Возьмем к.-л.и такое, чтоТогда, что, отсюда по призн. сравнения следует, что рядсходится абсолютно, а значит, и просто сходится при данномz, а т.к. z было произвольно, то это означает, что R=. Возьмем случай. Покажем, что в этом случаеряд расходится при любом. Действительно, если, то существует подпоследовательность, такая, что. Поэтому каково бы ни было, существует такой номер, что приk>имеем. Таким обр., не выполняется необх. усл-е сходимости ряда – стремление к нулюn-го, поэтому при данном ряд расх., а т.к.- произвольно, то это означает, чтоR=0.
Пусть . Покажем, что при всякомz таком, что ряд сходится. Выберемтак, чтобы. Тогда число, определяемое равенством, будет удовлетворять неравенству. Согласно свойству верхнего предела, что прибудет, и поэтому. След-но и в этом случае не выполняетя необх. усл-е сходимости ряда, и поэтому для рассматриваемогоz ряд расх.
Таким обр. ряд сходится, если, а это и означает, что