![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1.Несобственные интегралы и их свойства.
- •3. Абсолютная сходимость несобственных интегралов. Признак сравнения сходимости ни.
- •4.Предельный признак сравнения
- •6.Признак Абеля
- •7. Метрическое пространство . Некоторые топологические понятия
- •8.Евклидово пространство .
- •9. Последовательности точек пространства .
- •10. Предел отображения.
- •11. Предел по направлению. Повторные пределы.
- •12.Локальные свойства непрерывных отображений.
- •13.Глобальные свойства непрерывных отображений.
- •14. Линейные отображения.
- •15. Дифференцируемые отображения.
- •16.Свойства дифференцируемых отображений.
- •17. Достаточное условие дифференцируемости функций многих переменных.
- •18.Производная по направлению. Градиент.
- •19. Частные производные высших порядков.
- •20.Формула Тейлора для функций многих переменных.
- •21. Необходимые условия экстремума.
- •22. Достаточные условия локального экстремума.
- •23. Неявные функции.
- •24. Обратное отображение.
- •25. Необходимые условия зависимости функций.
- •26. Достаточные условия зависимости функций.
- •27. Понятие условного экстремума.
- •28. Метод множителей Лагранжа.
- •29. Числовые ряды. Критерий Коши
- •30.Признаки сравнения сходимости числовых рядов.
- •31. Признаки Даламбера и Коши сходимости рядов.
- •32. Интегральный признак сходимости ряда.
- •33. Знакочередующиеся ряды.
- •34.Признак Абеля и Дирихле.
- •35. Абсолютно и условно сходящиеся числовые ряды
- •36. Перемножение абсолютно сходящихся числовых рядов.
- •37. Бесконечные произведения.
- •38. Равномерная сходимость функциональных рядов и последовательностей.
- •39.Признаки равномерной сходимости функц. Рядов.
- •41. Непрерывность суммы ряда.
- •42.Интегрирование равномерно сходящихся рядов и последовательностей
- •43. Дифференцирование равномерно сходящихся рядов.
- •44. Степенной ряд, радиус сходимости.
- •45. Формула Коши-Адамара
- •46.Почленное дифференцирование и интегрирование степенных рядов.
- •47. Аналитические функции. Ряд Тейлора.
- •48. Ряды Тейлора основных элементарных функций.
- •49.Ряды Фурье по ортонормированной системе функций.
- •50. Интеграл Дирихле.
- •51. Сходимость рядов Фурье в точке(лемма 1)
- •52. Признак Дини и следствия из него
- •53. Суммирование рядов Фурье методом средних арифметических.
- •54. Теорема Фейера.
- •55. Теорема Вейерштрасса.
- •56. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля.
- •57.Диф. Тригонометрических рядов Фурье.
- •58. Интегрирование рядов Фурье
- •59.Комплексная форма ряда Фурье.
57.Диф. Тригонометрических рядов Фурье.
Теорема10.
Пусть
функция f
непрерывна на отрезке [-],f(-
)=f(
)
и пустьf(x)
+
Если
функция f
кусочно непрерывно дифференцируема на
отрезке [-],
тоf’(x)
Т.е
ряд Фурье производной получается из
ряда Фурье самой функции формальным
почленным дифференцированием (при этом
без каких-либо предположений о сходимости
ряда Фурье производной).
Доказательство.
Пусть f’(x)+
Тогда
замечаем, что f(-)=f(
)
и интегрируя по частям, получим
0=
(f(
)-
f(-
))=0,
n=
f(
)cosnt
+
f(
)sinntdt=nbn,
n=
f(
)sinnt
-
f(
)cosntdt=
= -nan, n=1,2,…
58. Интегрирование рядов Фурье
Теорема12.
Пусть
f
– непрерывная на отрезке [-]
функция и
+
(1)
ее ряд Фурье. Тогда
+
(2)
И ряд, стоящий справа, сходится равномерно.
Доказательство. Рассмотрим функцию
F(t)=
(3)
Она
непрерывна на отрезке [-
],
и более того. Имеет непрерывную производнуюF’(t)=
Причем
F()-F(-
)=
0.
Поэтому
в силу теоремы о сходимости ряда Фурье
функции к самой функции, ее ряд сходится
к ней, и притом равномерно. Обозначим
ее коэффициенты через А0,
An,
Bn,
n=1,2,..
тогда в силу сказанного
F(x)=+
(4)
найдем
коэффициенты этого ряда. Интегрируя по
частям, получим
n=
F(
)sinnt
-
-)sinntdt=
-bn/n
, n=1,2,…
Аналогично Bn=an/n, n=1,2,..
Чтобы
найти A0,
положим в (4) t=0.
Тогда F(0)=0
получим
+
=0,
откуда
=
Получаем
в итоге F(t)=
Так отсюда и из (3) следует формула(2), равномерная сходимость ряда (2) следует из равномерной сходимости ряда (4).
59.Комплексная форма ряда Фурье.
Пусть
f(x)+
(1)
Известно
cos
nx=1/2
*(+
),(2)
sin
nx=1/2i *(-
)=i/2**(
-
)(3)
Подставив (2) и (3) в (1) получим
f(x)+
+
Возьмем
c0=,cn=
,
c-n=
имеем
f(x)n
(4)
Поскольку
cos
𝜶isin𝜶=
,то
будем иметь
Cn=,
n
Z
(5)
Подставим (5) в (4) получим
f(x)