- •1.Несобственные интегралы и их свойства.
- •3. Абсолютная сходимость несобственных интегралов. Признак сравнения сходимости ни.
- •4.Предельный признак сравнения
- •6.Признак Абеля
- •7. Метрическое пространство . Некоторые топологические понятия
- •8.Евклидово пространство .
- •9. Последовательности точек пространства .
- •10. Предел отображения.
- •11. Предел по направлению. Повторные пределы.
- •12.Локальные свойства непрерывных отображений.
- •13.Глобальные свойства непрерывных отображений.
- •14. Линейные отображения.
- •15. Дифференцируемые отображения.
- •16.Свойства дифференцируемых отображений.
- •17. Достаточное условие дифференцируемости функций многих переменных.
- •18.Производная по направлению. Градиент.
- •19. Частные производные высших порядков.
- •20.Формула Тейлора для функций многих переменных.
- •21. Необходимые условия экстремума.
- •22. Достаточные условия локального экстремума.
- •23. Неявные функции.
- •24. Обратное отображение.
- •25. Необходимые условия зависимости функций.
- •26. Достаточные условия зависимости функций.
- •27. Понятие условного экстремума.
- •28. Метод множителей Лагранжа.
- •29. Числовые ряды. Критерий Коши
- •30.Признаки сравнения сходимости числовых рядов.
- •31. Признаки Даламбера и Коши сходимости рядов.
- •32. Интегральный признак сходимости ряда.
- •33. Знакочередующиеся ряды.
- •34.Признак Абеля и Дирихле.
- •35. Абсолютно и условно сходящиеся числовые ряды
- •36. Перемножение абсолютно сходящихся числовых рядов.
- •37. Бесконечные произведения.
- •38. Равномерная сходимость функциональных рядов и последовательностей.
- •39.Признаки равномерной сходимости функц. Рядов.
- •41. Непрерывность суммы ряда.
- •42.Интегрирование равномерно сходящихся рядов и последовательностей
- •43. Дифференцирование равномерно сходящихся рядов.
- •44. Степенной ряд, радиус сходимости.
- •45. Формула Коши-Адамара
- •46.Почленное дифференцирование и интегрирование степенных рядов.
- •47. Аналитические функции. Ряд Тейлора.
- •48. Ряды Тейлора основных элементарных функций.
- •49.Ряды Фурье по ортонормированной системе функций.
- •50. Интеграл Дирихле.
- •51. Сходимость рядов Фурье в точке(лемма 1)
- •52. Признак Дини и следствия из него
- •53. Суммирование рядов Фурье методом средних арифметических.
- •54. Теорема Фейера.
- •55. Теорема Вейерштрасса.
- •56. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля.
- •57.Диф. Тригонометрических рядов Фурье.
- •58. Интегрирование рядов Фурье
- •59.Комплексная форма ряда Фурье.
26. Достаточные условия зависимости функций.
Теорема 15. Пусть все миноры s+ 1 порядка матрицы Якоби (3)системы функций
yi=fi(x),x € G, i = 1,m.(1) равны 0 в каждой точке открытого множества G и хотя бы один из миноров порядка s(s<m<= n) не равен 0 в некоторой точке a€G, тогда функции, содержащиеся в этом миноре независимы на множестве G, и существует некоторая окрестность точки a такая, что остальные m—s функций системы (1) зависят на этой окрестности от s указанных функций.
Доказательство. Не нарушая общности рассуждений, можем считать, что неравный нулю в точке aминор s-го порядка расположен в левом верхнем углу матрицы (3). Следовательно(4) в точке a. В силу теоремы о неявной функции и условия (4) из первых уравнений системы (1) найдем x1=1()xs=s(),где i, i=1,s непрерывно дифференцируемые функции в некоторой окрестности Uточки (b1,...,bs,as+1,...,an), Ьi= fi(a),i= 1, s. Подставим xi, i= 1, sв последниеm— sуравнений (1). Имеем yl=Fl(1,…,s;xs+1,…,xn), l=s+1,m
Поскольку имеет место условие (4), то из следствия 2 следует, что функции yi= fi(x), i=1,s независимы на множестве G. Покажем, что остальные m-s функций системы (1) зависят от указанных sфункций в окрестности U. Для этого достаточно убедиться в том, что непрерывно дифференцируемые функции Fl(l>s) не зависят от переменных xs+1,..., xn. СледовательноВ итоге (5)=0,k=s+1,n
27. Понятие условного экстремума.
Определение1. Точка aϵE называется точкой условного экстремума функции f относительно уравнений связи
Fi(x)=0, i=1,m (1), если она является точкой локального экстремума функции E.
Возьмем, что функции f:G→R, Fi: G→R, i=1,m, GʗRn непрерывно дифференцируемы на открытом множестве G, и ранг матрицы ( ),i=1,m, j=1,n, aϵE равен m. Это означает, что функция Fi, i=1,m независимы на множестве G. Для определенности положим, что ≠0 в точке а. Тогда из (1) по теореме о неявной функции найдем
x1=1() …xm=m(),(2)
где i, i=1,m непрерывно дифференцируемые функции в некоторой окрестности точки a=(am+1,…,an). Подставим x1,..,xm из (2) в f(), получим
g()= f()
непрерывно дифференцируемые функции в некоторой окрестности точки а. Т.к. условия (1) и (2) равносильны, то имеет место утверждение:
Точка aϵE является точкой условного экстремума функции f относительно уравнений связи (1)тогда и только тогда, когда a является точкой локального экстремума функции .
Это метод – метод исключения части переменных.
28. Метод множителей Лагранжа.
Рассмотрим функцию
L(x)=f(x)+(1)
Функция L(x)=L(x;⋋) называется функцией Лагранжа, а числа ⋋1,…,⋋m называются множителями Лагранжа. Из
= следует dL(a)=0, которое означает, что если а точка условного экстремума функции f относительно уравнений связи Fi(x)=0, i=1,m , то она является стационарной точкой функции Лагранжа L(x). Таким образом, для нахождения точки а, подозрительной на экстремум, необходимо построить функцию Лагранжа (1) с неопределенными коэффициентами ⋋1,…,⋋m. Из системы
=0, ,=0,j=1,m (2) найти решение (a1,..,an, ⋋1,…,⋋m). Тем самым будет найдена точка (a1,..,an). Если при этом окажется, что система (2) дает возможность непосредственно найти а, не вычисляя ⋋j, j=1,m , то с точки зрения исходной задачи это и надо делать.