10. Интегральные коэффициенты Эйнштейна.

=

Вероятность поглощения:

dp погл =b 21 ^w

Интегрируя получаем:

Р погл =

Квантовая механика для решения уравнения дает формулу:

Р погл =

D(m,n)- матричный элемент дипольного момента

b(m,n)= -вероятность перехода в единицу времени

-угол между направлением дипольного момента и направлением сильного поля

-направление пучка

=-(m,n)

Для случая α=1 вероятность перехода:

b(m,n)=

Для α=2

Перпендикул.

Вероятность спонтанного испускания:

d pсп =(D(m,n))

Интегрируя по dΩ:

d pсп=А21 dΩ

В общем случае A(m,n)=

B(m,n)=

B(n,m)=B(m,n)

A(m,n)=B(n,m)

11. Форма и ширина спектральной линии.

До сих пор, рассматривая оптические квантовые переходы, мы говорим о двух энергетических уровнях Еi и Ек, изображая их в виде тонких горизонтальных линий и приписывая им строго определенные значения энергий. Переходы между такими уровнями приводят к излучению бесконечно узкой спектральной линии. В действительности подобная ситуация невозможна хотя бы по той причине, что время жизни микрочастиц t в возбужденном состоянии конечно. Неопределенность энергии состояния в соответствии с соотношением неопределенностей ΔΕΔτ≥ћ (1.5) Рисунок 1.5 - Уширение спектральных линий. приводит к неопределенности частоты перехода, равной

Постоянная времени τ является мерой времени, необходимой для того, чтобы возбужденная система отдала свою энергию. Значения τ определяется скоростями спонтанного излучения и безизлучательных релаксационных переходов. Наблюдается уширение соответствующего энергетического уровня на величину ΔΕ (см. рис. 1.5). Спектральная линия излучения в этом случае характеризуется шириной( или полушириной) линии Dn, т.е интервалом частот, в пределах которого интенсивность излучения уменьшается вдвое относительно максимальной величины на частоте n0.

Распределение интенсивности излучения по частоте в пределах данной линии описывается нормированной функцией g(n), которая называется формфактором спектральной линии или просто формой (контуром) линии. Функция g(n) нормируется таким образом, что . Минимально возможная ширина спектральной линии называется естественной шириной линии излучения, наблюдается для системы неподвижных, не взаимодействующих друг с другом микрочастиц, время жизни которых в возбужденном состоянии обусловленно процессами спонтанных переходов. Поэтому естественная ширина линии Dnест определяется вероятностью спонтанных переходов Aik.

Рисунок 1.6 – Гауссова (1) и Лоренцева (2) формы линий. Так как Aik~n3и в видимой области спектра составляет величину около 108с-1 [3] для разрешенных переходов, типичное значение Dnест @ 10-20 МГц. Для переходов с метастабильных уровней естественная ширина линий не превышает нескольких сотен герц. Контур линии спонтанного излучения (рис.1.6) описывается функцией Лоренца и имеет вид резонансной кривой с максимумом на частоте n0, спадающей до половины пиковой величины при частотах . n=n0 ± Dnест/2. Ширина такой линии равна [2]. Спектральные линии, наблюдаемые в реальных условиях, значительно шире естественных, поскольку в системах с дискретными уровнями энергии, кроме спонтанных и вынужденных переходов, существенную роль играют релаксационные безизлучательные процессы. В зависимости от конкретной ситуации механизм таких процессов может быть связан с соударениями между молекулами газа или жидкости, бесстолкновительным взаимодействием между ионами и кристаллической решеткой и др. В конечном итоге происходит увеличение скорости обмена энергией между частицами, что эквивалентно уменьшению времени их жизни в возбужденном состоянии и, следовательно, дополнительному уширению линии излучения. Форма спектральной линии, уширенной за счет столкновений, описывается функцией Лоренца, как и при естественном уширении, только вместо t необходимо использовать время релаксации tр, определяемое процессами столкновений.

Все виды уширения спектральной линии, обусловленные конечностью времени жизни возбужденных состояний, относятся к однородному уширению. При однородном уширении спектральная зависимость g(ν) характеризует как отдельно взятую микрочастицу, так и всю их совокупность. Другими словами, линии каждой микрочастицы и всей среды в целом уширяются одинаково. Однородно уширенные линии имеют лоренцеву форму. Уширение называют неоднородным, если резонансные частоты νoi отдельных частиц не совпадают и распределены в некотором частотном интервале, что приводит к уширению линий системы частиц в целом при значительно меньшем уширении линий отдельных частиц. Следовательно, неоднородное уширение присуще не каждой отдельно взятой частице, а проявляется как коллективное свойство, обусловленное независимым поведением частиц, находящихся в неодинаковых условиях. Классическим примером неоднородного уширения является доплеровское уширение, характерное для газов при невысоких давлениях. Как известно, суть эффекта Доплера [6] заключается в том, что частота излучения, воспринимаемая неподвижным приемником, зависит от скорости и направления движения излучателя. Если частица, излучающая на частоте ν0, движется относительно приемника со скоростью ν , то приемник в зависимости от направления движения частицы воспринимает частоты в диапазоне от до V(min)=V0(1*V/c) где V - частота излучателя, с - скорость света, v – скорость движения излучателя относительно приемника. Хаотичность теплового движения частиц газа приводит к тому, что вместо одной уширенной линии с резонансной частотой ν0 приемник воспринимает совокупность таких плотно расположенных линий, огибающая которых дает контур доплеровски уширенной линии газа. Естественно, ее форма будет определятся распределением частиц газа по скоростям . При максвеловском распределении по скоростям форма линии описывается функцией Гаусса (рисунок 1.6 [3])Ширина спектральной линии при доплеровском механизме уширения равна [1]: , где М- масса атома (молекулы газа)

νg- доплеровская частота.Роль доплеровского уширения особенно значительна в оптическом диапазоне при повышенных температурах. В реальных условиях, как правило, действует одновременно несколько механизмов уширения. При преобладании одного из них наблюдаемая спектральная линия уширена однородно или неоднородно и имеет лоренцеву или гауссову форму. После установления формы спектральной линии g(ν) можно определить в явном виде спектральную зависимость коэффициентов Эйнштейна [1]. Форм фактор определяет связь между дифференциальными и интегральными коэффициентами Эйнштейна.

aik(ν) = Aik*g(ν),

bik(ν)= Bik*g (ν),

bki(ν)= Bki*g(ν),

где aik(ν), bik(ν), bki(ν) - дифференциальные коэффициенты,

Aik*, Bik* , Bki* - интегральные коэффициенты.

Введенные ранее коэффициенты Эйнштейна носят интегральный характер, поскольку связаны лишь с фактом испускания или поглощения фотонов в результате соответствующих квантовых переходов. На самом деле эти коэффициенты частотно зависимы. В связи с этим пользуются дифференциальными коэффициентами, обозначенными малыми буквами aik(ν), bik(ν), bki(ν). Все ранее выведенные соотношения справедливы и для них.