§9 Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства

Пусть Е не пустое множество, R- поле действительных чисел,V-трехмерное векторное пространство над полемR. Элементы множества Е будем называть точками. На этой тройке множеств заданы следующие отношения (в виде отображений):

s: Е×Е®V. Векторs(А,В) обозначим. Пусть дан набор отображений

G= {g}, где g:V×V®R. Множество Е называется трехмерным вещественным евклидовым пространством Е₃, если выполнены следующие аксиомы:

Аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства

W1 "AÎЕ, "ÎV существует одна и только одна точка Х, т.что =.

W2 "А, В, СÎЕ выполняется равенство+=.

W3 Множество G есть множество положительно определенных билинейных форм, таких, что, если g(,)ÎG, то G = {lg}, lÎR₊, т.е. в пространствеVзадано положительно определенная билинейная форма с точностью до положительного множителя.

Напомним: положительная определенность означает, что g(,)>0, если ¹(можно потребовать симметричность) и т.п.

W1,W2 определяют структуру трехмерного вещественного аффинного пространства.

Здесь мы исходим из того, что структура Vи структураRнам известны. Поэтому структура Е₃ (по Вейлю) определена лишь тремя аксиомами.

Имеет место

Теорема 1Система аксиом Вейля непротиворечива, если непротиворечива арифметика действительных чисел.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Построим интерпретацию. В качестве V возьмем множество столбцов вида, гдеа₁,а₂, а₃- произвольные действительные числа. Сумма векторов и умножение вектора на число определяются естественным образом

+=,α=,=

Мы знаем, что множество таких столбцов, образуют трехмерное векторное пространство. Множество Gопределяют так: Рассмотрим билинейную формуg₀(,) =x₁y₁+x₂y₂+x₃y₃и положимG={lg₀}, гдеl>0. Ясно, что для любых формg₁,g₂ÎGимеет местоW3:g₁=l₁g₀,g₂=l₂g₀ Þg₁=g₂

Т.е. они отличаются лишь постоянным множителем. Теперь самое главное - это множество Е. Точкой назовем любую строку вида (m₁,m₂,m₃),m_1,m₂,m₃ÎR.

1. s((m₁,m₂,m₃),(n₁,n_2,n₃))=

Проверим W1 Пусть А=(а₁,а₂, а₃) произвольная точка,=- вектор. Ясно, что$!Х=(x₁,x₂,x₃):x₁ - a₁ = p₁ , x₂ - a₂ = p₂, x₃ - a₃ = p₃.

W2. Пусть А=(а₁,а₂,а₃), В=(в₁,в₂,в₃) и С=(с₁,с₂,с₃) легко проверить, что +=, расписав все это по (1)в₁ - а₁+с₁ - в₁ = с₁ - а₁.

Мы построили интерпретацию. Значит система аксиом å_w- непротиворечива.

Имеет место

Теорема 2Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства - категорична.

( сказать идею)

СЛЕДСТВИЕ: Система аксиом Вейля- полна

§10 Эквивалентность аксиоматик åW и åH (Вейля и Гильберта)

В этом параграфе мы докажем эквивалентность аксиоматик Гильберта и Вейля. Сначала докажем, что в теории Á(W) можно получить все аксиомыå_Нкак теоремы. Но прежде, надо в теорииÁ(W) построить все основные понятия теорииÁ(Н). Вообще говоря, мы это уже делали на втором курсе.

Напомним:ПустьL_k,k=1, 2 одномерное или двумерное подпространство векторного пространстваV. Введем на множестве всех точек пространства Е₃ бинарное отношениеD. Пусть А, ВÎЕ, АDВÛÎL_k. Мы доказывали, чтоD- отношение эквивалентности элемент _,при к=1 называлипрямой,а при к=2 называли плоскостью.L_kназывали направляющим подпространством прямой или плоскости.

Таким образом, прямая однозначно определяется заданием одной точки и подпространства L₁или, что то же самое, одного вектораизL₁. Плоскость однозначно определяется заданием точки иL₂(или его базиса, состоящего из двух линейно независимых векторов, ÎL₂). Прямую или плоскость с направляющим подпространствомLбудем обозначать (А,L).

Вспомним, как в Е₃, вводится система координат: выберем т. ОÎЕ и базис вV ,,; упорядоченная тройка объектов (О) – система координат.

По W1$А, В, и С: =, =, =. Ясно, что т О, А и В не лежат на одной прямой, т. к. векторы и линейно независимы и не принадлежат одному и тому же одномерному направляющему подпространству. А точки О, А, В и С не лежат в одной плоскости (самостоятельно). ЗначитI₃ и I₈выполняется.

I₁ и I₂:Через любые две точки А и В проходит единственная прямая.

Док-во.Рассмотрим прямуюd: (А,). Вектор и будет определятьL₁($доказаноI₁)

Пусть $d^/: (А,L^/₁) или (В,L^/₁), но это означает, что ÎL^/₁ÞL₁=L₁^/и, значит,dиd^/ совпадают.

I₄ и I₅:Через любые три строчки А,В, и С, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.

Идея: плоскость sопределяется т. А и подпространствомLнатянутым на и . Пустьs^/проходит через эти же три точки. Но пара точек поW1 определяет единственный вектор вV, т.е. снова приходим к векторам и , аÞLиL^/совпадаютÞs=s^/.

I₆: Если точки А и В прямой d лежат в плоскости s, то и все точки прямой d лежат в s(самостоятельно).

I₇ (более сильное докажем):Если две плоскости s и s^/ имеют общую точку А, то они имеют общую прямую, которой принадлежат все общие точки плоскостей s и s^/.

Идея: пусть s= (А,L₂),s^/ = (А,L^/₂), ноL₂иL₂^/- различны.DimL₂+dimL₂^/= 4>3, значит не пересекаться они не могут значит dim(L₁ÇL₂)=1, причем L1ÇL₂ÌL₁иL₁ÇL₂ÌL₂.

Все с H_I!

У нас уже промелькнули слова о пересечении подпространств. Поэтому докажем в Á(W)H_V . Чтобы ввести понятия, участвующие вH_Vпридется потрудиться.

Лемма: Если две прямые лежат в одной плоскости и их направляющие подпространства не совпадают, то эти прямые пересекаются.

Доказательство:Пусть (А,) и (В,) прямые лежащие в данной плоскостиs. Векторыи- линейно независимы по условию. Значит, образуют базис напр. подпространстваL₂плоскостиs.Следовательно, =a+b. ПоW1$М и М^/, т. что =aÎL₁()ÞMÎ(А,); =(-b)ÎL₁()ÞM^/Î(В,). Тогда имеем =-Þ=+=^/. ПоW1 М=М^/. Значит прямые пересекаются.

Ч.т.д.

ЗАМЕЧАНИЕ:Кстати только по одной точке, учитываяH_I1,2 .

Опр. 1Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Пусть две различные прямые (А, L₁) и (В,L₁) имеют одно и то же направляющее подпространствоL_1. Поdfпрямой это элементы фактор множества , гдеDопределяется подпространствомL_1. А классы эквивалентности, как известно, не пересекаются.

Кроме того, они, очевидно, лежат в одной плоскости определяемой т. А и векторами иÎL. Учитывая лемму, получили следующий признак // прямых.

Теорема1.Две различные прямые параллельны тогда и только тогда, когда они имеют общее направляющее подпространство и не имеют общих точек.

H_V: Через данную т. А, не лежащую на данной прямой d, проходит одна и только одна прямая, // прямой d .

Доказательство. Существование очевидно, т.к.L- направляющее подпространствоd, то прямая (A, L) //dпо теореме 1. Единственность: пусть существует еще одна прямая (A, L^/) //d. Но тогда по той же теореме1L=L^/. Значит прямые (A,L) и (A,L^/) – совпадают, по определению прямой.

Аналогично можно ввести понятие и доказать соответствующие свойства для // плоскостей.

Перейдем к доказательству H_II. Для этого нам понадобится построить вÁ(W) отношение лежать между, и убедиться, что оно обладает свойствамиH_II. Построим так: сначала введем понятие луча, заодно и угла. А потом докажем всеH_IIи введем понятие отрезка.

Поехали:Пустьd- прямая,L₁- ее направляющее подпространство. Рассмотрим множествоW=L₁\{} и на этом множестве введем отношение сонаправленности­­:­­Û$>0:=l

Нетрудно доказать, что это отношение является отношением эквивалентности (сами). Заметим, что состоит из двух элементов. Для доказательства возьмем векторÎWи= -. Ки Кне совпадают. Любой векторÎWможно представить виде=m,m¹0. Еслиm>0, тоÎК,а еслиm<0,то =½m½ÞÎК_.

Опр 3Каждый из элементов фактор множества будем называть направлением на прямой d.Если векторы ипринадлежит противоположным направлениям данной прямой, то будем говорить, что они противоположно направлены:­¯ .

Таким образом, на каждой прямой имеется только два направления.

ЛЕММА: Если­­ , то+­­ и+­­ .

Доказательство: =lÞl+=(l+1)­­­­.

Опр 4.Пусть d произвольная прямая, О- некоторая ее точка, а W₀- одно из направлений на этой прямой. Множество h всех точек М, т. что ÎW_0, называется лучом, исходящим из т.О. Направление W₀ называется направлением этого луча.

Поскольку на прямой имеются только два направления, то существует два и только два луча прямой d, исходящие из произвольной точки прямой. Эти лучи называютсядополнительными.Ясно, что еслиhиh^/. Дополнительные лучи прямойd, то множество точек прямой {M÷MÎd}=hÈh^/ÈО.

Опр 5.Углом называется фигура, состоящая из т. О и двух лучей h и k , исходящих из этой точки. Угол называется развернутым , если h и k- дополнительные лучи.

Опр 6.Будем говорить, что точка М лежит между точкой А и точкой В, если ­­ .

А теперь несложно будет доказать II₁,II₂иII₃. И даже более сильное утверждение, что из трех точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

Теперь докажем аксиому Паша. Но для этого нам понадобятся координаты на плоскости. Ее направляющее подпространствоL₂. Если,его базис, то О- система координат на плоскости. М (х, у)Û= х+у. Далее, если А (х₁,у₁) и В (х₂,у₂), то= (х₂-х₁,у₂-у₁). Имеет место хорошо известное вам утверждение.

Утверждение 1 .т. М (х, у) лежит между двумя точками А (х₁,у₁) и В (х₂,у₂) тогда и только тогда, когда$l>0, так что

x=,y=

Следствие: $бесконечное множество точек, лежащих между т. А и В. Т.к. теперь при фикс. х₁и х₂и любомl>0, х и у определены. И только теперь:

Опр 7.Множество, состоящее из двух точек А и В и всех точек, лежащих между ними, называется отрезком и обозначается АВ или ВА.

Докажем аксиому Паша.

Теорема Паша.Пусть А, В и С- три точки, а d – прямая, лежащая с данными точками в одной плоскости и не проходящая через них. Если прямая d пересекает отрезок АВ, то она пересекает, в точности один из отрезков ВС или АС.

Доказательство: Выберем систему координат Отак, чтобы ОÎdиÎL_d1, т. е.//d_1.

Пусть в этой системе координат А (х₁,у₁), В (х₂,у₂), С (х₃,у₃). Эти точки не лежат наd,Þу₁¹0, у₂¹0, у₃¹0. Пусть М (х, у) =dÇAB.

$l>0: х =, у =, т.к.MÎdÞy=0Þy₁+ly₂=0, понятно, что у₁и у₂имеют разные знаки, а значит либо у₁у₃<0, либо у₂у₃<0. Нетрудно доказать, что в первом случаеdпересекает АС, а во втором - ВС (сами), что согласуется с имеющимся у нас понятиями о знаках координат и четвертях.

CH_IIпокончено.

Перейдем к доказательству H_{III .}Мы введем основные понятия и наброски некоторых доказательств.

Опр 7.Отрезки АВ и СД называется равными (АВ=СД), если для любой билинейной формыgÎGвыполняется равенство

(*) g(,)=g(,).

Замечание 1.Поскольку вGформы связаны соотношениемg₁=lg_2,то если найдется хотя бы одна удовлетворяющая (*), то (*) будет верна и для всех форм изG, т.е. АВ=СД

Замечание2. Т.к. =-, =-, а форма билинейна и положительно определена, то понятия равенства отрезков АВ и СД не зависит от порядка, в котором заданы их концы:g(,)=g(-,-)=-g(,-)=g(,)

Нетрудно проверить выполнениеIII₁,III₂,III₃.

III₂очевидна (АВ=А^/В^/ÙАВ=А^//ÞА^/В^/=А^//В^//)

III₁ Пусть АВ-некоторый отрезок, а h^/– произвольный луч, с началом А^/. Тогда существует одна и только одна т В^/Îh^/ , т. что АВ=А^/В^/

Доказательство: Пусть один из векторов, определяющих направление лучаh^/, тогда"M^/Îh^/$x>0: =x,x>0. Нo=ABÛg(,) = =g(,)>0 =x²g(,)>0Þсуществует единственноеx>0. ПоW1Þ$! В^/: АВ=А^/В.

III₃. Если А-В-С, А^/-В^/-С^/, АВ=А^/В^/и В^/С^/, то АС=А^/С^/.Доказывается, используя отношения «лежать между» и положительную определенность формыgÎG.

Опр 8.Ненулевые векторыиназываются ортогональными, если они сопряжены относительно любой билинейной формыgÎG, т.е."gÎGg(,)=0.

Т.к. любые две формы из Gсвязаны соотношениемg₁=lg₂,l>0, то еслиисопряжены относительно хотя бы одной формы изG, то они сопряжены относительно любой формы изGи, значит, ортогональны.

Опр 9.Две прямые называется^, если их подпространства ортогональны. Аналогично прямаяd^a:L_dортогональноL_a. И можно ввести понятия^плоскостей. (Через двугранный угол или через нормали). Заметим, что подпространства двух^плоскостей не ортогональны!

Условие аксиомы W₃, может показаться странным, там ведь множительl, что означает выборl?

Оказывается выбор единичного отрезка, соответствует выбору той или иной формы из G. А введение понятия единичного отрезка уже позволяет вÁ(W) построить теорию измерений. Выберем произвольный отрезок АВ и назовем егоединичным.

Лемма (важная):Если выбран отрезок АВ, то в множестве G $! ,билинейная форма gÎG: g(,)=1.(Этот отрезок и назовем единичным).

Доказательство.Очевидно: еслиg^/ÎGиg^/(,)=m, то формаg= g^/ искомая, если же$еще одна такая форма, тоg₁=lg=lg^/ (,)=1Þl=1Þg₁=g/.

Ч.т.д.

Опр 10.Если АВ - единичный отрезок, то билинейную форму gÎG, т.что g(,)=1 будем называть соответствующей единичному отрезку АВ.

Таким образом, если в Е₃мы выберем единичный отрезок, то векторное пространствоVстанет евклидовым векторным пространством (одна форма) и в нем вводится скалярное произведение векторов, и норма вектора:÷÷=. Теперь легко вVввести понятия единичного вектора, ортонормированного базиса, а в Е₃понятие длины.

Опр 11.Длиной отрезка РQ при выбранном единичном отрезке АВ называется норма вектора :÷PQ÷= (2).

Имеют место следующие свойства длин отрезков

Свойство 1.Если два отрезка равны, то их длины равны (по формуле (2)).

Свойство 2.Если А-В-С, тоêАВê+êВСê=êАСê.

Доказательство.=l, тоêАВê=lêВСê,l>0, т. к.=+, то= (1+l)ÞêАСê=(1+l)êВСêêАСê=êВСê+lêВСê=êВСê+êАВê.

Свойство 3.Длина единичного отрезка равна 1.

Свойство 4."А,В и СÎЕ₃÷АС÷£÷АВ÷+÷ВС÷, причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда А-В-С.

Опр 12.Расстоянием между точками А и В называется длина отрезка АВ. Для доказательстваIII₄иIII₅ вводится понятие движения.

Опр 13.Преобразование Е₃ называется движением, если оно сохраняет расстояния между точками.

И тут уже вступает в силу обычная теория движения евклидовых пространств по схеме Вейля, т. Е. Через параллельные переносны и ортогональные матрицы х^/=А+, где А - ортогональная матрица (А^тА=1).

Имеет место

Теорема (о флагах).Пусть (О,h,a) и (О^/,h^/,a^/)- произвольные флаги . Тогда $! Движение, которое флаг (О,h,a) переводит в (О^/, h^/,a^/).

Опр 14.Две фигуры F и F^/ называются равными, если $ движение, которое одну фигуру переводит в другую.

Ясно теперь, как ввести равенство углов, это соответствует и равенству отрезков веденному ранее. III₄ иIII₅понятно ( т.к. полуплоскость в полуплоскости, флаг в флаге ч.т.д.)I

Опр 15.hk=h^/k^/, если существует движение, которое hk переводит в h^/k^/.

III₄.Пусть hk- неразвернутый угол, а (О^/,h^/,a^/)- некоторый флаг. Тогда в полуплоскости a^/ $! луч k^/, исходящая из т.О^/, такой, что hk=h^/k^/.

Доказательство. Пусть О - вершина углаhk, и (O,h,a)-флаг в котором лежит лучk.$! движениеf: (О,h,a)®(О^/,h^/,a^/) иk^/=f(k).k^/ - искомый.

!: Пусть k^//:hk=h^/k^//Þ$движениеf^/,такое чтоf^/(h)=h^/иf^/(k)=k^// , но тогдаf^/:(O,h,a)®(O^/,h^/,a^/)Þk^/=k^//.

Вместо III₅докажем более сильное утверждение .

Теорема (Iпризнак равенства треугольников).Если в DАВС и DА^/В^/С^/ АВ=А^/В^/, АС=А^/С^/ и ÐА=ÐА^/, то DАВС=DА^/В^/С^/.

Доказательство.Т.к.ÐА=ÐА^/, то$движение¦, т. что[АВ)®[А^/В^/), а луч АС в луч А^/С^/. Пустьf(B)=B^//,f(C)=C^//, тогда АВ=А^/В^//и по условию АВ=А^/В^/. В силуIII₁и транзитивности В^/=В^//. Аналогично С^/=С^//. СледовательноDАВС®DА^/В^/С^/ÞDАВС=DА^/В^/С^/.

H_IV.Ведем единичный отрезок и понятие числовой оси и т.п. Так какVнадR, то можно установить взаимно - однозначное соответствие междуRи точками прямой поW1.

А значит будут выполнены аксиомы Архимеда и Кантора.

Таким образом, в теорий Á(W) выполняет всеå_H

Обратное:Мы говорили о том, что вÁ(H) можно ввести координаты,^, направление, луч, вектор, а, следовательно, будут иметь место всеå_W.

Итак, мы доказали две важные теоремы:

Теорема I.Системы аксиом å_H и å_W эквивалентны.

Теорема II.Система аксиом å_H непротиворечива, если непротиворечива арифметика действительных чисел.

P.S. В Ефимове прямо построена аналитическая модель дляå_H.

20