§4 Система аксиом Гильберта

Излагаемая ниже система аксиом несколько отличается от предложенной Гильбертом, но так уже принято в учебной литературе. Пусть даны три различных множества. Элементы первого назовем точками и будем обозначатьA, В,С,…Элементы второго назовем прямыми и будем обозначать а, в, с,…Элементы третьего множества назовем плоскостями и обозначим a,b,g,…Элементы этих множеств находится в определенных отношениях, т.е. элементам одного из этих множеств поставлены в соответствие элементы других множеств. Эти отношения называют (по-привычке) “принадлежность”,”лежать на”,“проходитьчерез”,“лежать между”, ”конгружность”, “равенство”. Эти отношения должны удовлетворить определенным аксиомам. В данном случае аксиомам Гильберта. Список Гильберта содержит 20 аксиом, котрые разбиты на 5 групп:

1. (8 штук) Аксиомы инцидентности (принадлежности, связи).

2. (4 штуки) Аксиомы порядка

3. (5 штук) Аксиомы конгруэнтности

4. (2) Аксиомы непрерывности

5. (1) Аксиома параллельности

Геометрию построенную на аксиомах I-IVгрупп, называют абсолютной

геометрией.

ГРУППА I Аксиомы принадлежности (связи)

I1 Каковы бы ни были две точки а и в, существует прямая а, проходящая через эти точки. (им инцидентная)

I₂ Каковы бы ни были две точки А и В, существует не более одной прямой, проходящей через эти точки.

I₃ На каждой прямой лежат по крайней мере две точки. Существует по крайней мере три точки не лежащие на одной прямой.

I₄ Каковы бы ни были три точки А,В,С, не лежащих на одной прямой существует

плоскость a, проходящая через эти точки. На каждой плоскости лежит хотя бы одна точка.

I₅ Каковы бы ни были три точки, не лежащие на одной прямой, существует не более одной плоскости, проходящей через эти точки.

I₆ Если две точки А и В прямой лежат в плоскости a, то каждая точка прямой а лежит в плоскости a. (В этом случае будем говорить, прямая а лежит в плоскости a или что плоскостьa проходит через прямую а.

I₇ Если две плоскости a и b имеют общую точку А, то они имеют, по крайней мере, еще одну общую точку В.

I₈ Существует, по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости.

Уже из этих 8 аксиом можно вывести несколько теорем элементарной геометрий, которые наглядно очевидны и, поэтому, в школьном курсе геометрии не доказываются и даже иногда из логических соображений включаются в аксиомы того или иного школьного курса

Например:

1. Две прямые имеют не более одной общей точки.

2. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих двух плоскостей

Доказательство: (для понта):

По I₇$В, которая тоже принадлежитaиb,т.к. А,В'a, то поI₆ АВ'b. Значит прямая АВ является общий для двух плоскостей.

3. Через прямую и не лежащую на ней точку, так же как через две пересекающиеся прямые, проходит одна и только одна плоскость.

4. На каждой плоскости существует три точки, не лежащие на одной прямой.

ЗАМЕЧАНИЕ: С помощью этих аксиом можно доказать немного теорем и большинство из них вот такие простые. В частности из этих аксиом нельзя доказать, что множество геометрических элементов бесконечно.