Iv1 (Аксиома Архимеда). Пусть ав и сd какие-нибудь отрезки. Тогда на прямой ав существует конечное множество точек а1, а2, …, Аn, таких что выполняются условия:

1. А-А₁-А₂, А₁-А₂-А₃, …, A_n-2-A_n-1-A_n

1. AA₁ = A₁A₂ = … = A_n-1A_n = CD

2. A-B-A_n

IV₂ (Аксиома Кантора) Пусть на произвольной прямой а дана бесконечная последовательность отрезков А₁В₁, А₂В₂,… из которых каждый последующий лежит внутри предыдущего и, кроме того, для любого отрезка СD найдется натуральное число n, такое, что А_nВ_n < СD. Тогда на прямой а существует т.М, принадлежащая каждому из отрезков данной последовательности.

Из условия аксиомы Кантора сразу следует, что такая т.Mединственная, т. к. если это не так, и сущ. еще одна т.N,то отрезок МN<A_nB_n "n, что противоречит условию аксиомы.

Можно доказать, что аксиомы I-IIIиIV₁,IV₂эквивалентны следущему предложению Дедекинда.

Теорема ДедекиндаПусть дано разбиение точек отрезка [АВ] на два класса К₁ и К₂, те К₁ È К₂ = [АВ], К₁ÇК₂=Æ, удовлетворяющее двум условиям:

1. АÎК₁, ВÎК₂ и классы К₁ и К₂ содержат точки, отличные от точек А и В.

2. Любая точка класса К₁, отличная от А, лежит между точкой А и любой точкой класса К₂

Тогда $ т.М₀ отрезка [АВ],такая, что любая точка, лежащая между А и М₀, принадлежит классу К₁, а любая точка между М₀ и В- классу К₂.

Разбиение отрезка [АВ]на классы К₁, К₂удовлетворяющее условиям а)-в), называетсядедекиндовым сечением. Можно доказать, что точка М₀, производящая сечение единственна.

На основании аксиом I-IVгрупп можно построить теорию измерения отрезков и углов. Даже можно доказать, что$биекция. множества точек прямой на множествоRвещественных чисел, сохраняется порядок. А вот теорию площадей и объемов построить нельзя, т.к. понадобился Аксиома параллельности.

ГРУППА V. Аксиома параллельности .

V. Пусть а - произвольная прямая, а А- точка, не лежащая на этой прямой. Тогда в плоскости, определенной точкой А и прямой а, существует не более одной прямой, проходящей через А и не пересекающей а.

На основании I-Vможно построить теорию параллельности, подобия и т.д. обосновать тригонометрию, ввести координаты, показать, что прямая на плоскости (определение уравнение первой степени и т.д.)

ЗАМЕЧАНИЕ:V^* Пусть а- произвольная прямая, А- точка не лежащая на одной прямой.Тогда в плоскости, определенной т.А и прямой а, существует не менее двух прямых, проходящих через А и не пересекающих а.

Группа I-IVÈV^*-строится геометрия Лобачевского.

Как же так получается, что, заменив лишь одну аксиому, мы получили совсем другую геометрию? Здесь придется затронуть сами основы математики и правила построения математических теорий.

§5 Понятие математической структуры

Опр1Пусть даны некоторые множества М₁,…,М_n. Всякое подмножествоDÌМ₁×…×М_nназывается отношением определенным на множествах М₁,…,М_n, при этом говорят, что (m₁,m₂,…,m_n ),m_iÎМ_iнаходится в отношенииD, если (m₁,…,m_n)ÎD.

В курсе алгебры вы изучали Бинарные, n-арные, унарныеoтношения, операции, если М₁=…=М_n, отображения их вы определили через отношения.

Ясно, что если на множествах М₁,…, М_n рассмотрим два разных подмножестваD₁иD₂,то свойства отношений будут чем-то отличаться и мощность множества всех отношений равнаР(М₁× …×М_n)

Ясно, что если хотя бы одно из множеств М_iбесконечно, то и множество отношений будет бесконечным. Поэтому бессмысленно изучать все отношения существующие на данной системе множеств. Здесь математика идет другим путем, а именно сначала выделяют отношения с наперед заданными свойствами, а за тем изучают множества, на которых они заданы или ищут те множества, на которых эти отношения выполняются.

Возьмем конечную систему различных множеств.E_,FиGпусть их три. ПустьD₁,…,D_к- некоторые отношения на системе множеств Е,F,G. Причем мы их не будем явно фиксировать, а лишь потребуем, чтобы они обладали заданными свойствами.

1. А₁,…,А_t.

Эту совокупность отношений обозначимs={D₁,…,D_k}. Может случиться, что таких систем будет не одна, а несколько

ПРИМЕР: D(а,в)=D(в,а) наR, по “*”,”+”.

Обозначим через Т множество всех систем отношений sобладающих свойствами (1).

Опр2Если Т¹Æ, то говорят, что элемент sÎТ определяет на множествах E, F, G математическую структуру рода Т. Ясно сформулированные свойства А₁,…,А_t, определяющие множество Т называется аксиомами структур рода Т, а множества E,F,G- базой структур рода Т.

ЗАМЕЧАНИЕ 1:Всем структурам одного и того же рода дается специальное название: структура группы, структура векторного пространства, структура евклидова пространства, структура кольца.

ЗАМЕЧАНИЕ 2: Если база состоит из нескольких множеств, то иногда одно из них играет основную роль, а остальные вспомогательную в определенных структурах, тогда говорят, что эти структуры определены на множестве Е., Например: Е, V_n+1, полеK- модель проективной плоскости над полем К или векторное пространство над полем К (о векторном пространстве).

ПРИМЕР 1: Структура группы: База 1- множество, 1-отношение, уд-ее 4 аксиомам.

ПРИМЕР 2: Структура евклидова пространства по Гильберту (отношения: инцидентность, порядок, равенства,……….).

ПРИМЕР 3: Структура Афф. Пространства по Вейлю.

ПРИМЕР 4: Евклидово пространство над векторным пространством V.

Систему аксиом будем обозначать å

Опр3Теория структур рода Т-это множество(å) предложений (теорем), каждое из которых выводимо из аксиом системыå, определяющих структуру рода Т.

Математика занимается построением теорий структур заданного рода Т. Метод - аксиоматический.