§6 Интерпретация системы аксиом

Не на всяком множестве Е можно определить структуру любого рода. Например, на конечном множестве Е можно определить структуру n-мерного векторного пространства над бесконечным полем. Но ту же структуру можно определить на множестве К×К×…×К=Кⁿ

Мы уже говорили о структурах и базах, и в определении структуры звучало: если Т¹Æ. Но когда же оно может быть пусто?

1. Данная база не допускает структуру требуемого рода. Тут простор для раздумий …$др. база.

2. Не существует базы, допускающей требуемую структуру (т.е. всегда Т=Æ)

Опр1Система аксиом å={A₁, …, At}, определяющая структуру рода Т называется содержательно не противоречивый, если существует база, допускающая требуемую структуру. Если такой базы не существует, то å называется противоречивой.

Опр2Если указано конкретное множество М, на котором можно придать конкретный смысл отношениям D_1, D₂, ..., D_к, так, что все аксиомы А₁, А₂, ..., А_t оказываются выполненными, то, говорят, что построена интерпретация системы аксиом å, а само множество М называют моделью структур рода Т.

ПРИМЕР: Проективное пространство. Аффинное пространство на множестве Е, множество матриц 1×n.

Следовательно, чтобы доказать непротиворечивость (содержательную) системы аксиом å={A₁,..., A_t}, достаточно построить хотя бы одну ее интерпретацию.

§7 Изоморфизм структур

Пусть система аксиом å={A₁, ...,A_t} содержательно непротиворечива и, следовательно, определяет структуры рода Т с основными отношениямиD₁,D₂, ...,D_к.

Пусть на множестве М^/опеделена структураs^/ÎТ, а на множестве М^//определена структураs^//ÎТ. Это означает, что мы придали конкретный смысл отношенияD_i, i=1,...,k, на множествах М^/ и М^//. Обозначим ихD_i^/иD_i^//соответственно.

Опр1Структуры s^/ и s^// называется изоморфными, если существует биекция f:M^/®M^//, такая, что элементы х^/,у^/, v^/ÎM^/ находятся в отношении D^/_i, тогда и только тогда, когда элементы f (х^/), f (у^/), f (v^/)ÎМ^// находится в отношении D_i^//.Само отображение f называется изоморфизмом структурs^/и s^//.

Опр2 Изоморфизм множества М со структуройsна себя называется автоморфизм множества М с данной структурой (автоморфизм группы, кольца и т.д.)

ЗАМЕЧАНИЕ:

Пример:f:R⁺®R:f(x)=lnx.

Какой должна быть система аксиом?

§8 Требования, предъявляемые к системам аксиом

Опр1Систему аксиом называют внутренне непротиворечивой, если из нее нельзя получить логическим путем два утверждения, из которых одно является отрицанием другого.

Вопрос о внутренней непротиворечивости данной системы аксиом, сводится к вопросу техники логических выводов из этих аксиом. Т.е. к правилам построения новых предложений из уже имеющихся. Этим как раз и занимается математическая логика. Заметим, однако, что если мы установили содержательную непротиворечивость системы аксиом å, т.е. построили ее интерпретацию, то ясно, что изåнельзя вывести АÙ. Т.к. этим свойствам должно удовлетворять некоторое отношениеD_iиз тех, которые определяют структуру Т, но никакое отношение, по определению, не может обладать свойствами А иодновременно. Значит, если построена интерпретация, то в теорииÁ(å) с логикой все в порядке и вопрос о внутренней непротиворечивости сводится к вопросу о внутренней непротиворечивости тех понятий, при помощи которых построена данная интерпретация. Если же эта система понятий внутренне непротиворечива, то доказав содержательную непротиворечивость системы аксиомå, мы тем самым докажем и ее внутреннюю непротиворечивость.

Значит, при построении интерпретации мы должны использовать достаточно надежные понятия, относительно которых у нас есть хоть какая-то уверенность, что их система внутренне непротиворечива.

Таким образом, оставаясь только в рамках геометрии, мы можем решать вопрос лишь о содержательной непротиворечивости данной системы аксиом, а не внутренней.

Как правило, при построении моделей систем аксиом, определяющих структуры, изучаемые в геометрии, мы используем различные числовые множества. Поэтому, в лучшем случае, мы можем получить высказывание типа: “Система аксиом åнепротиворечива, если непротиворечива вещ. (целая и т.д.) арифметика”

Непротиворечивость целой арифметики не доказана, вещественной тоже. С теорией множества есть свои сложности (континуум- гипотеза)…

Итак, первым важнейшим требованием к системе аксиом является ее непротиворечивость.

Второе требование независимость.Вот, что под этим подразумевается. Пустьåнепротиворечива и, значит, можно строить теориюÁ(å) структур рода Т. Возникает вопрос, тот который стоял перед геометрами, изучавшимиVпостулат Евклида. Все ли аксиомы системыåнеобходимы для определения данного рода структур, т.е. нельзя ли уменьшить число этих аксиом, не меняя Т?

Опр. 2Пусть АÎå. Она называется зависимой от остальных аксиом системы å, если предложение А является логическим следствием из остальных аксиом системы å. Если в å такого предложения нет, то система аксиом å называется независимой.

Как же выяснить, является ли данная система аксиом независимой или нет?

Пусть А зависима от остальных аксиом системы å. Рассмотрим системуå^/=å\{A}. Ясно, чтоå^/определяет то же множество отношений, т.е. структуру того же рода что иå, и всякая интерпретацияåбудет являться интерпретацией системыå^/, т.к. вå^/меньше аксиом. Рассмотрим системуå^*=å^/È{}. Т.к.å^/Ìå^*, то всякая интерпретацияå^*есть интерпретацияå^/, а значит, если А зависима, то в ней должна выполнятся А., Но это означает, чтоå^*противоречива. Т.е. если мы построим интерпретациюå^*, то А не является зависимой от остальных. И если теперь для каждой аксиомы изåмы построим соответствующуюå^*и ее интерпретацию, тоå- независима.

ПРИМЕР1: Конечная проективная плоскость Р.

Р₁: Для любых двух различных точек А и В$и притом единственная прямая, инцидентная каждой из этих точек.

Р₂: Существует четыре точки, из которых никакие 3 не инцидентны одной прямой.

Р₃: Для любых двух прямых существует точка, инцидентная каждой из этих прямых.

1.Непротиворечивость. Е={A,B,C,M,N,P,O}.F-стороны, медианы и окружность.

В

М

MN

А

AC

P

2.Независимость. а)₁ÈR₂ÈR₃₁:$различные точки А и В, через которые не проходит прямая: Е^*=Е то же самое, Р^*=Р\СМ.

б)R₁È₂ÈР₃: Е^**={A,B,C,}F^**-стороны (точек всего 3)

B

C

B

А

D

A

C

в) Р₁ÈР₂È₃ : Е₁={A,B,C,D,F₁={стороны и диагонали}. НезависимостьР- доказана.

ПРИМЕР 2: Г и Л –( Vпостулат иV^*)

Трудно говорить о независимости. Иногда åбывает построена так, что вопрос о независимости ставить бессмысленно. Например, нельзя говорить о независимости аксиомы Паша, т.к. для формулировки аксиомы конгруэнтности мы должны иметь понятия луча и полуплоскости, а они вводятся на основании аксиомы Паша.

Следующее требование – полнота.Трудный вопрос. А, может, переставляя аксиомы, т.е. в терминах теорииÁ(å), мы сформулируем такое предложение, которое ни доказать, ни опровергнуть в данной теории нельзя? Рассмотрим непротиворечивую систему аксиомå.

Опр3Система аксиомам å называется дедуктивной неполной или просто неполной, если $ предложение А т. что

1. А сформулировано в терминах теорий Á(å) и, следовательно, не вводит новых отношений

2. А не зависит от аксиом системы å

3. Система аксиом åÈ{A} непротиворечива.

Если такого предложения в Á(S) нет, то å называется дедуктивно полной.

И снова проведем рассуждение, которое позволит нам получить некий план действий для проверки полноты.

Пусть å- неполная и, значит,$утверждение А, удовлетворяющееОпр3. Из с) следует, чтоå^/=åÈ{А}-непротиворечива, и А не зависит отå, следовательно, непротиворечива иå^*=åÈ{}. Пусть М^/и М^*- их соответствующие модели, ноåÌå^/иåÌå^*значит М^/и М^*есть моделиå. Но в М^/выполняется А, а в М^*- и, значит, М^/и М^*не изоморфны. Следовательно,если система аксиом å неполная, то существуют ее не изоморфные интерпретации.

Опр4Система аксиом называется категоричной, если все ее интерпретации изоморфны.

УТВЕРЖДЕНИЕ:Если система аксиом - неполная, то существуют ее неизоморфные интерпретации.

Т.е. из категоричности следует полнота.Но из полноты категоричность не следует и, значит из не категоричности, не следует неполнота.

Докажем, что Р не категорична. F={(1,2,3,11); (4,5,6,11); (7,8,9,11); (1,4,7,13); (2,5,8,13); (3,6,9,13); (1,5,9,12,); (3,4,8,12); (7,2,6,12); (7,5,3,10); (1,8,6,10); (9,4,2,12); (10,11,12,13)}.

E={1,2,3, …,13}. Р_1,Р_2,Р₃- выполняются, но интерпретации не изоморфны.

Опр5Пусть å непротиворечива и определяет структуру рода Т. Если все модели системы аксиом å изоморфны, то теория Á(å) называется однозначной. Если же å не категорична, то Á(å) называется многозначной. Например: теория групп.

Сказать об опровержимости и доказуемости.

И в заключение. Пусть даны две системы аксиом. Могут ли они порождать одну и ту же теорию?

Опр6Системы аксиом двух теорий называется эквивалентными, если в каждой из этих теорий можно построить основные понятия другой теорий так, что все аксиомы одной теории будут теоремами в другой теории.

На следующей лекции мы этим и займемся.