- •Глава 1.Основания геометрии
- •§1.Введение: геометрия – как физика и геометрия, как математика.
- •§2 “Начала” Евклида
- •§3. V Постулат Евклида
- •§4 Система аксиом Гильберта
- •I1 Каковы бы ни были две точки а и в, существует прямая а, проходящая через эти точки. (им инцидентная)
- •Группа II Аксиомы порядка.
- •Группа III. Аксиомы конгруэнтности (равенства)
- •Iv1 (Аксиома Архимеда). Пусть ав и сd какие-нибудь отрезки. Тогда на прямой ав существует конечное множество точек а1, а2, …, Аn, таких что выполняются условия:
- •§5 Понятие математической структуры
- •§6 Интерпретация системы аксиом
- •§7 Изоморфизм структур
- •§8 Требования, предъявляемые к системам аксиом
- •§9 Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства
- •Аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства
- •§10 Эквивалентность аксиоматик åW и åH (Вейля и Гильберта)
§3. V Постулат Евклида
Во-первых, сразу бросается в глаза его сложность. Это-то и послужило поводом для многочисленных попыток доказать его как теорему. Евклид, видимо, сам понимал необъяснимость V постулата и поэтому первые 28 предложений «Начал» доказаны без него. Без Vпостулата доказывается теорема о равенстве треугольников, в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Под параллельными прямыми Евклид понимает следующее: две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общей точки. Из этого сразу следует, что
если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые не пересекаются (от противного).
С ее помощью доказываются так же утверждения эквивалентные Vпостулату.
Через любую точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая \\ данной.
Две параллельные прямые при пересечений их третьей прямой образуют равные соответственные углы.
Сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым.
Точки, расположенные по одну сторону от данной прямой и на одном и том же расстоянии, образуют прямую.
Расстояния от точки одной из двух параллельных прямых до второй ограничены в своей совокупности.
Существует треугольники с произвольно большой площадью.
Существует подобные, но не равные треугольники.
Эквивалентность 1 и 3 Vпостулату доказана в книге Атанасяна и Базылева. Из многочисленных сочинений, посвященныхVпостулату, следует сказать о работах Саккери, Ламберта и Лежандра. Подробно об их работах написано в Ефимов Н.В. «Высшая геометрия». Все они пытались доказатьVпостулат. От этих работ остались две теоремы Саккери-Лежандра.
Тh.1.Сумма углов любого треугольника не больше 2d(доказательство самостоятельно).
Тh.2.Если в одном треугольнике сумма углов равна 2d, то сумма углов любого треугольника равна 2d.
ß
VÛ8. Существует хотя бы один треугольник, сумма углов которого равна 2d.
И лишь в начале XIXвека путь к решению этой проблемы был начат Николаем Ивановичем Лобачевским 20/II1826г. Он делал доклад на физико-математическом факультете Казанского университета. «Рассуждения о принципах геометрии». Здесь была попытка построить геометрию безVпостулата и Лобачевский не пришел ни к какому противоречию.
В Венгрии Янош Бояйи (1832) и знал Гаусс.
Если во времена Евклида уровня абстракции вполне хватало, для научных нужд того времени, то в связи с работами Гаусса, Лобачевского и Римана, такой уровень перестал устраивать математиков, да и физиков тоже. В конце 60-ых годов перед математиками возникла задача построить такую систему аксиом элементарной геометрии, на базе которой, опираясь лишь на законы логики, без ссылок на наглядность и очевидность можно было бы изложить всю геометрию.
Паш, Пеано, Пиери, Гильберт и Вейль.
О значений неевклидовой геометрии в вопросах обоснования геометрий:
Если геометрию брать, как учение о протяженности реального мира, то оказывается, что математика может предложить для нее на выбор разнообразные схемы. Выбор наилучшей из этих схем должен быть решен путем физического опыта, и в этом смысле геометрия становится подлинной частью физики.