Группа III. Аксиомы конгруэнтности (равенства)

На множестве отрезков и углов вводится отношение конгруэнтности или равенства (обозначается “=”), удовлетворяющее аксиомам:

III₁ Если даны отрезок АВ и луч, исходящий из т. А^/, то $ т.В^/, принадлежащая данному лучу, т. что АВ=А^/В^/.

III₂ Если А^/В^/=АВ и А^//В^//=АВ, то А^/В^/=А^//В^//.

III₃ Пусть А-В-С, А^/-В^/-С^/, АВ=А^/В^/ и ВС=В^/С^/, тогда АС=А^/С^/

Опр3 Если О^/ - точка,.h^/-луч, исходящий из этой точки, а l^/-полуплоскость с границей , то тройка объектов О^/,h^/ и l^/ называется флагом (О^/,h^/,l^/ ).

III₄ Пусть даны Ðhk и флаг (О^/,h^/,l^/ ). Тогда в полуплоскости l^/ существует единственный луч k^/, исходящий из точки О^/, такой что Ðhk = Ðh^/k^/.

III₅ Пусть А,В и С - три точки, не лежащие на одной прямой. Если при этом АВ=А^/В^/, АС=А^/С^/, ÐВ^/А^/С^/ = ÐВАС, то ÐАВС = ÐА^/В^/С^/ .

1. Точка В^/ в III₁ единственная на данном луче (самост.)

2. Отношение конгруэнтности отрезков является отношением эквивалентности на множестве отрезков.

3. В равнобедренном треугольнике углы при оснований равны. (По III₅).

4. Признаки равенства треугольников.

5. Отношение конгруэнтности углов является отношением эквивалентности на множестве углов. (Доклад)

6. Внешний угол треугольника больше каждого угла треугольника, не смежного с ним.

7. В каждом треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

8. Любой отрезок имеет одну и только одну середину

9. Любой угол имеет одну и только одну биссектрису

Можно ввести следующие понятия:

Опр4 Угол равный своему смежному называется прямым.

Можно определить вертикальные углы, перпендикуляр и наклонные и т.д

Можно доказать единственность ^. Можно ввести понятия>и<для отрезков и углов:

Опр5Если даны отрезки АВ и А^/В^/ и $ т.С, т. что А^/-С-В^/ и А^/С=АВ, то А^/В^/>АВ.

Опр6 Если даны два угла Ðhk и Ðh^/k^/, и если через внутреннюю область Ðhk и его вершину можно провести луч l такой, что Ðh^/k^/ = Ðhl, то Ðhk > Ðh^/k^/.

И самое интересное, это, то что при помощи аксиом групп I-IIIможно ввести понятие движения(наложения).

Делается это примерно так:

Пусть даны два множества точек pиp^/.Предположим, что между точками этих множеств установлено взаимно однозначное соответствие. Каждая пара точек М иNмножестваpопределяет отрезок МN. Ппусть М^/иN^/точки множестваp^/, соответствующие точкам МN. Отрезок М^/N^/условимся называть соответствующим отрезку МN.

Опр7Если $ соответствие между p и p^/ такое, что соответствующие отрезки всегда оказывается взаимно конгруэнтными, то и множества p и p^/ называется конгруэнтными. При этом говорят также, что каждое из множеств p и p^/ получено движением из другого или, что одно из этих множеств может быть наложено на другое. Соответствующие точки множества p и p^/ называется совмещающимся при наложении.

Далее развивается теория наложений. Например, имеют место

Утв1:Точки лежащие на прямой, при движении переходят в точки, также лежащие на некоторой прямой.

Утв2Угол, между двумя отрезками, соединяющими какую-нибудь точку множества с двумя другими его точками, конгруэнтен углу между соответствующими отрезками конгруэнтного множества.

Можно ввести понятие вращения, сдвига , композиции движений и т.д

ГРУППА IV. Аксиомы непрерывности.