ЭВМ_Семестр3_МетодПособие

Задача 2. Записать зависимости 1 (x), 2 (x), 3 (x), 4 (x), интерполирующие точки данных, показанные соответственно на рисунках. 4.4 а), б). в), г). Решение вспомогательных задач:

Задача 3. Записать полином Лагранжа L(x) , интерполирующий точки данных, показанные на рис. 4.4 д).

Рис. 4.4.

Решение:

L(x) y1 1(x) y2 2 (x) y3 3 (x) y4 4 (x) . (4.12)

71

Пояснение. Ненулевые ординаты в узлах во вспомогательных задачах с учѐтом масштаба равны соответствующим ординатам полинома на

рис. 4.4 д, а сумма всех ординат в узах xi , i 1, ,4 даѐт все ординаты в узлах xi полинома с рис. 4.4 д. Поэтому сумма вспомогательных

Функция, которая вычисляет значение полинома Лагранжа от аргумента x, представлена следующим программным кодом:

Function PLagr( X() As Double, Y() As Double, ByVal N As Long, _ ByVal u As Double) As Double

' N - max индекс в массивах X( ), Y( ) с координатами узлов

Dim P As Double

PLagr = 0#

For i = LBound(X) To N ' ф-ия LBound определяет нижнюю границу индекса

P = Y(i)

For j = LBound(X) To N

If i <> j Then P = P* (u - X(j)) / (X(i) - X(j))

Next j

PLagr = PLagr + P

Next i

End Function

Замечание. Массивы, передаваемые в функции PLagr, могут начинаться как с индекса 1, так и с 0; (в случае нулевого начального индекса число узлов интерполяции равно N+1).

72

Решение примера 4.1 облегчается тем, что ординаты крайних точек равны нулю. С учѐтом этого можно записать:

L(x) 0 1 (x) y2 2 (x) y3 3 (x) 0 4 (x)

Подстановкой абсцисс заданных точек убеждаемся в выполнении интерполяционных условий.

Представленная выше функция PLagr будет использована в решении примера 4.3, а процедуру решения этого примера можно использовать для контроля только что полученной компактной форму-

лы L(x) x (x 3)2 2 .

4.1.4 Приближение сплайн-функциями

Для гладкой интерполяции часто применяют кубические сплайны. Сплайны второй степени при тех же вычислительных затратах не обеспечивают непрерывность кривизны (вторых производных).

Кубическая сплайн-функция S(x) (или кубический сплайн

S(x) ) на сетке узлов x0 xi 1 xi xn - непрерывная кусочная функция, задаваемая на интервалах [xi 1, xi ] между узлами кубическими полиномами si (x) a0i a1i x a2i x2 a3i x3 , которые гладко (с совпадением первой и вторых производных) стыкуются друг с другом в узловых точках. Такие кубические сплайны имеет разрывы третьей производной (сплайны дефекта 1 =3-2).

73

Сплайн-функции получили своѐ название от гибких деревянных или металлических реек, которые использовались чертѐжниками при проведении плавных линий через заданные точки при разработке (на плазе) чертежей обводов судов или автомобильных кузовов. В настоящее время используют несколько видов математического представления сплайнов. Впервые запись сплайна в «современном» виде

как уравнение упругой линии нагруженной балки (рис. 4.5) предло-

сил структура аналитической зависимости y(x) упругой линии такова:

Это и есть уравнение сплайна с прерывателями И.Г. Бубнова. В «современной» записи сплайна И.Г. Бубнова

ным знаком "+", который имеет точно такой же смысл, что и прерыватель: выражение (x xi ) действует, когда оно положительно, и не действует (равно нулю) при x xi . Это выражается и по другому

Кубический сплайн однозначно определяется заданием ординат yi в узловых точках xi и условиями на концах: заданием первых производных (как в задании к РГР) или вторых производных (нулевые вторые производные соответствуют распрямлению линии на концах,

74

как в случае реек чертѐжников). Часто используется условие «без узла», когда на двух крайних интервалах сплайн выражается одним полиномом. Это условие даѐт плавное изменение кривизны у краѐв сплайна. Условие периодического повторения обеспечивает в концевых узлах равенство до вторых производных включительно.

При вычислениях значений S(x) вместе с ординатами yi во всех n1=n+1 узлах удобно использовать первые производные pi в узловых точках, которые предварительно вычисляются решением СЛАУ с трѐхдиагональной матрицей:

Эти уравнения выражают условия равенства вторых производных во внутренних узлах сетки, то есть в местах стыковки сегментов сплайна.

Вычисление недостающих производных pi в узловых точках и расчѐт (по ним и yi ) ординат v S(u) сплайна в точках u выполняется обращением к функции HS (Эримитов сплайн) при Kod≤0, которая описана в пособии [5, библ. №2810]. В задании к данной РГР используют функцию HconS; при Kod=-1 она по заданным p0 , pn (а при иных значениях Kod≤0 по условиям «без узла») вычисляет остальные производные pi в узлах сплайна, заданного на равномерной сетке узлов. Затем она вычисляет ординату S(x) и устанавливается Kod=1 равным номеру очередного обращения для вычисления ординат.

Пример 4.2. Определить для заданных узлов (см. таблицу 4.1 вар. 30)

Решение. Сетка узлов равномерная, и все шаги hi xi xi 1 1. Поэтому уравнения для трѐх внутренних узлов имеют следующий вид:

75

Отметим, что известные концевые производные (даны жирным шрифтом) перенесены в правую часть (в первом и последнем уравнениях). Подстановка ординат и значений производных в эти уравнения

нии Kod>0, указывающего номер обращения к HconS, например, при

Kod=1.

4.1.5 Примеры интерполяции полиномами и сплайнами

Пример 4.3. Интерполировать полиномом и кубическим сплайном n равномерно расположенные на отрезке [0; 3] узловые точки с ординатами, равными округлѐнным до десятых значениями функции

x (x 3)2 2 из предыдущего примера. Проследить на графиках поведение приближающих функций при различных n (3<n<16).

Текст программы решения примера 4.3 включает главную процедуру, функцию PnX для расчета ординат y x (x 3)2 2 и процедуру Graph для вывода на точечную диаграмму узлов интерполяции и приближающих полинома и кубического сплайна. Функция PLagr, представленная выше, вызывается из подключаемого модуля

Math.bas .

76

Dim Xgr(M) As Double, Ygr1(M) As Double, Ygr2(M) As Double Dim N As Long, Kod As Long, KodErr As Long

Dim N As Long

Dim X(0 To 15) As Double, Y(0 To 15) As Double Dim P(0 To 15) As Double

N = Val(InputBox("Введите N"))

For i = 0 To N

X(i) =0+ 3 * (i / N): Y(i) = Round(PnX(X(i)), 1) ' округление до десятых Cells(i + 2, 1) = X(i): Cells(i + 2, 2) = Y(i)

Sub Graph(Name1$, Adr1X$, Adr1Y$, Name2$, Adr2X$, Adr2Y$, _ Name3$, Adr3X$, Adr3Y$)

' Процедура вывода на диаграмму трѐх массивов точек (графиков)

77

ActiveChart.SeriesCollection(3).ChartType = xlXYScatter ActiveChart.SeriesCollection(3).Select

Selection.MarkerStyle = 1: Selection.MarkerSize = 6

End Sub

Замечания. В приведѐнной программе сплайн формируется и рассчитывается с помощью универсальной функции HS – она подробно описана в пособии [5, библ. №2810]. В примере задания (см. далее) использована аналогичная функция HconS, вычисляющая сплайн на равномерной сетке узлов.

Процедура Graph - это результат редактирования текста макроса, записанного при «ручном» построении соответствующей точечной диаграммы. Процедура входит в модуль Math.bas (или POL_SPL_mod.bas), который можно импортировать. Вообще говоря, процедуру Graph можно не вызывать, а строить диаграмму вручную.

Для запуска главной процедуры удобно назначить еѐ макрос INTERPOL какой-либо фигуре. После щелчка по этой фигуре в появив-

78

шемся окне указывается число N узлов на отрезке [0; 3], после чего выполняется расчѐт и построение диаграммы. На рисунках 4.7 и 4.8 представлены результаты расчѐта соответственно при N=4 и N=15, из которых видно, что при больших степенях интерполяционный полином имеет значительные осцилляции между узлами на концах отрезка, а сплайн не имеет таких всплесков и при большом числе узлов.

Рис. 4.7. Рис. 4.8.

На поведение участка сплайна существенно влияют лишь близлежащие узлы, а на поведение полинома (степени n) существенно влияет каждый из n+1 определяющих его узлов. (Уместно вспомнить математический анализ, где полином, являясь ограниченным рядом Тейлора, определяется своим значением и значениями своих производных в одной произвольной точке).

По высказанным причинам обычно не используют интерполяционные полиномы высоких степеней, либо у приближающего полинома не используют области вблизи граничных узлов, либо специальным образом выбирают расположение узлов интерполяции, что является сложной задачей.

4.2Задание к расчетно-графической работе №4

4.2.1Пример программы для варианта №30

Вприведѐнной ниже процедуре InterPOL_SPLn для вычисления недостающих производных и ординаты S(u) кубического сплайна на

равномерной сетке с числом N+1 узлов используется импортируе-

мая с модулем Math.bas (или с POL_SPL_mod.bas) функция HconS:

Function HconS(ByVal u As Double, ByVal N1 As Long, _

x() As Double, y() As Double, p() As Double, ByRef Kod As Long) As Double

79

Перед первым обращением к функции следует задать Kod≤0, и также задать: ординату u, число узлов N1=N+1, их абсциссы x и ординаты y; а при Kod=–1 значения производных p(0), p(N) для крайних точек x(0), x(N). Для иных неположительных значений Kod задавать p(0), p(N) не требуется – на краях будут реализованы условие «без узла».

'Предварительно импортируют модуль POL_SPL_mod.bas

Sub InterPOL_SPLn()

Const M As Integer = 31 ' число сегментов, рисуемых на кривых ' Массивы для графиков:

Dim Xgr(0 To M) As Double, Ygr1(0 To M) As Double, Ygr2(0 To M) As Double

x(i) = -2 + 4 * (i / N): y(i) = Round(POL(x(i)), 1) Cells(i + 2, 1) = x(i): Cells(i + 2, 2) = y(i)

Next i

' Назначение параметров сплайна с производными на краях:

Kod = -1: p(0) = -14 / 3: p(N) = 14 / 3

' Назначение сплайна с условиями «без узла» по краям:

' Kod = -2 ' задать для N>4

' Вычисление параметров сплайна и полинома

For i = 0 To M

Xgr(i) = x(0) + (x(N) - x(0)) * (i / M) Cells(i + 2, 3) = Xgr(i)

Cells(i + 2, 4) = HconS(Xgr(i), N+1, x, y, p, Kod) Ygr2(i) = PLagr(x, y, N, Xgr(i))

Cells(i + 2, 5) = Xgr(i): Cells(i + 2, 6) = Ygr2(i)

Next i

Call Graph("СПЛАЙН", "Лист1!$C$" & 2 & ":$C$" & (M + 2), _

"Лист1!$D$" & 2 & ":$D$" & (M + 2), _

80