Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный машиностроительный университет "МАМИ"

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ЭВМ_Семестр3_МетодПособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

2.99 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 117 8 9 10 11 > Следующая >>>

Способы приведения исходной СЛАУ к сходящейся (по методу Зейделя)

(Способ 1) Получение диагонального преобладания:																								Сходящиеся системы
				перестановкой строк
(i)		2	4				1 x1						7		(iii)		7	4	2 x2		1

(ii)		1		3			5	x2					0	(ii)			1	3	5 x1			0
		7		4			2						1			(i)	2	4				7
(iii )		7		4			2	x2					1			(i)	2	4	1 x3			7
				перестановкой столбцов
(i)	2	4		1		x1				7				(i) 4			2	1	x1	7			(i) [ 4]		2	1	x1	7

(ii)	1		3	5		x2				0		(i)				3	1	5	x2	0			(ii)	3	[5]	1	x2	0
	7		4	2										(iii)		4	7	2						4	2
(iii)	7		4	2		x3				1				(iii)		4	7	2	x3	1			(iii )	4	2	[ 7] x3		1
( j)		( jj)		( jjj)											( jj)		( j) ( jjj)							( jj)	( jjj)	( j)
(Способ 2)
Преобладание нижней левой (ii ' ) (ii) 2 (iii)
треугольной части матрицы
(i) 5 1					3		x1				1						(i) (ii) (iii)
(ii)		4		3	2		x					3				(i ' )	(i) (ii) (iii)
									2			5
(iii)		3		1	5		x		3			5

Проверка необходимого и достаточного условия сходимости:

					( 4) ( 3) 5 60 ,								( 1) 2 3 6, 4 0 4 ( 1) 0
					1 0 ( 3) 3 0, 2 ( 4) 2 ( 1) 8, 3 ( 1) 4 5 20
							1 2			3 4					(0) 8 ( 20) 0 12
					Случай				4 2					4 60 ( 6)				(12)2 .
								При этом:					2 4 2			(12)2		4 602				-	верно !
	и	sign (α) (α γ) \|β \| знак(60) (60 ( 6)) \|12 \|														1 (54) 12						-	верно !
	Для случая 2			4 сходимость будет при										sign( ) ( ) 0 .
	(Способ 3) Умножение (слева) системы на транспонированную матрицу
		AT		A x				AT f										H		x f
	5	4 3	5	1 3	x1			5	4 3		1				50	20	8	x1			2
	1	3 1	4	3 2	x2			1	3 1			3			20 11		8 x					5
	3		3	1 5				3			5					8			2
	3	2 5	3	1 5	x3			3	2 5		5				8	8	38	x	3			22
50 ( 5) ( 5) 4 4 3 3 ;							20 1 ( 5) ( 3) 4 ( 1) 3 ;										8 3 ( 5) 2 4 5 3
11 1 1 ( 3) ( 3) ( 1) ( 1) ;								8 3 1 2 ( 3) 5 ( 1) ;										38 3 3 2 2 5 5
2 ( 5) 1 4 ( 3) 3 5						5 1 1 ( 3) ( 3) ( 1) 5										22 3 1 2 ( 3) 5 5

Поверим необходимое и достаточное условие для системы

A x b			H	x f , в которой просматривается доминирование ниж-
ней треугольной части матрицы.
	2x1	1x2	1x3	1	(I)		Таблица 3.1
	4x1	3x2	0x3	2	(II)
									H				H
							2		1	1	2		1		1
2x1		2x2 3x3 9			(III)
							4		3	0	4		3		0
По таблице 3.1					со сдвоенной
							-2		2	3	-2		2		3
матрицей H системы вычисля-

ем коэффициенты: 18; 1 6; 2 0; 3								12; 4		8; ( 6) 0 12 8 2 .
Поскольку 2				4 22		4 18 0 , то для этого случая проверяем усло-

вия: 2 4 2 22					4 182	и sign ( ) ( )				1 (18 0)		2		.
Оба условия выполняются, следовательно, система H x f														будет да-

вать сходящийся процесс, задаваемый итерационной формулой (см. пункт c.).

b. В соответствии с рекомендацией x(0) 1 2 2 3 9 3 T 0.5 0.67					3 T .
c. Приводим систему H		x f к итерационной форме:
x(k 1)		0x(k )	1x(k )	1x(k ) 2 1 2
	1	1	2	3
		4x1(k 1) 0x3(k ) 0x3(k ) 3 2 3
x2(k 1)		4x1(k 1) 0x3(k ) 0x3(k ) 3 2 3
x(k 1)		2x(k 1) 2x(k 1)		0x(k ) 3 9 3
	3	1	2	3

Для вычисления приближений по методу Зейделя используем макрос:

Sub Пример_4_1()

k = 0: x1 = 1 / 2: x2 = 2 / 3: x3 = 9 / 3

Cells(k + 2, 1) = k: Cells(k + 2, 2) = x1: Cells(k + 2, 3) = x2: Cells(k + 2, 4) = x3

w = (1 - 1 * x2 - 1 * x3) / 2: Delta = Abs(w - x1): x1 = w

w = (2 - 4 * x1) / 3: v = Abs(w - x2): Delta = IIf(v > Delta, v, Delta): x2 = w w= (9+2 * x1 - 2 * x2) /3: v = Abs(w - x3): Delta = IIf(V > Delta, v, Delta): x3= w k = k + 1

Cells(k + 2, 1) = k: Cells(k + 2, 2) = x1: Cells(k + 2, 3) = x2: Cells(k + 2, 4) = x3 Loop While Abs(Delta) > 0.001

End Sub

Результаты решения представлены в таблице 3.2.

Таблица 3.2

	A	B	C	D
1	k	x1	x2	x3
2	0	0,5	0,666667	3
3	1	-1,33333	2,444444	0,481481
4	2	-0,96296	1,950617	1,057613
5	3	-1,00412	2,005487	0,993599
6	4	-0,99954	1,99939	1,000711
7	5	-1,00005	2,000068	0,999921


n o o 3 o o o o o o			n

o n o o 3 o o	o o o	5
o o n o o 3 o	o o o	5

2 o o n o o 3	o o o	5

1 4 o o n o o	3 o o	5
A		,b
o 1 2 o o n o	o 3 o	5

o o 1 4 o o n	o o 3	5
o o o 1 2 o o	n o o	5

o o o o 1 4 o	o n o	5
o o o o o 1 2o	o o n	n

Рисунок 3.1

3.2.3 Пример выполнения задания 2

Sub Пример_3_2() ʹ См. рисунок 3.1, n=9

Dim x(1 To 10) As Double, y(1 To 10) As Double Dim b(1 To 10) As Double, S As Double

n=9: For i = 1 To 10: b(i) = 5: x(i) = b(i) / n: Next i b(1) = n: b(10) = n: x(1) = 1: x(10) = 1

k = 0: Cells(k + 2, 1) = k

For i = 1 To 10: Cells(k + 2, i + 1) = x(i): Next i Do: k = k + 1

For i = 1 To 10 S = b(i):

j = i + 3: If j < 11 Then S = S - 3 * x(j)

j = i - 3: If 0 < j Then S = S - IIf(i Mod 2, 4, 2) * x(j) j = i - 4: If 0 < j Then S = S - 1 * x(j)

y(i) = S / 9

Next i

Cells(k + 2, i) = k: Delta = 0: For i = 1 To 10:

S = Abs(y(i) - x(i)): If S > Delta Then Delta = S x(i) = y(i): Cells(k + 2, i + 1) = x(i)

Next i

Loop While Delta > 0.0001

End Sub

Вектор решения, вычисленный по программе, приведѐн в таблице 3.3.

Таблица 3.3

k	X(1)	X(2)	X(3)	X4)	X(5)	X6)	X(7)	X(8)	X(9)	X(10)
16	0,8829	0,5391	0,4746	0,3513	0,0493	0,2428	0,0242	0,5056	0,4422	0,9677
	3.2.4 Варианты задания 1					(см. в разделе 2.3)

3.2.5 Варианты задания 2

Вар. n=1-5

ooo1

A o

oooo

Варианты задания 2

o o 1

o o o o

2n o

o o 1

o o o

2n o o o 1

o o

2n o o o 1

o o

2n o

o o 1

o o

2n o o o 1

o 1

o o

2n o o o

o o 1

o o

2n o o

o o o 1

o o

2n o

o o o o 1

o o o

Вар. n=6-10

oo21

A o

oooo

Варианты задания 2

o o 2 1 o o o o		o		n
n o o 2 1 o	o o	o
n o o 2 1 o	o o	o		n
o n o o 2 1 o o		o		n

o o n o o 2 1 o		o		n

2 o o n o o 2 1		o		2
			,	b
1 2 o o n o o 2 1				2

o 1 2 o o n o o 2				n
o o 1 2 o o n o		o		n

o o o 1 2 o o n		o		n

o o o o 1 2 o o n				6

Вар. n=11-15	Варианты задания 2

n o o 2 1 o o o o		o			n

o	n o o 4 1 o o o	o		8
o	o n o o 2 1 o o	o		8

o	o o n o o 4 1 o	o		8

1	o o o n o o 2 1	o		8
A			,	b
o	1 o o o n o o 4 1			8

o	o 1 o o o n o o 2			8
o	o o 1 o o o n o	o		8

o	o o o 1 o o o n	o		8
o	o o o o 1 o o o n			n

Вар. n=16-20

n	6	o	o	1

6	n	6	o	o

o	6	n	6	o
o	o	6	n	6

1	o	o	6	n
A
o	1	o	o	6

o	o	1	o	o
o	o	o	1	o

o	o	o	o	1
o	o	o	o	o

Варианты задания 2

o	o	o	o	o		6
1	o	o	o	o
1	o	o	o	o		n
o	1	o	o	o		n

o	o	1	o	o		n

6	o	o	1	o		n
					,	b
n	6	o	o	1		n

6	n	6	o	o		n
o	6	n	6	o		n

o	o	6	n	6		n

1	o	o	6	n		6

Вар. n=21-25

n	5	o	1	o

5	n	5	o	o

o	5	n	5	o
1	o	5	n	5

o	o	o	5	n
A
o	o	1	o	5

o	o	o	o	o
o	o	o	o	1

o	o	o	o	o

o	o	o	o	o

Варианты задания 2

o	o	o	o	o		n
o	o	o	o	o
o	o	o	o	o			4
1	o	o	o	o			4

o	o	o	o	o			4

5	o	1	o	o			4
					,	b
n	5	o	o	o			4

5	n	5	o	1			4
o	5	n	5	o			4

o	o	5	n	5			4

o	1	o	5	n		n

Вар. n=26-30

Варианты задания 2


n o o 2 1 o o o o		o			n

8	n o o 2 1 o o o	o		8

o	8 n o o 2 1 o o	o		8
o	o 8 n o o 2 1 o	o		8

1	o o 8 n o o 2 1	o		8
A			,	b
o	1 o o 8 n o o 2 1			8

o	o 1 o o 8 n o o 2			8
o	o o 1 o o 8 n o	o		8

o	o o o 1 o o 8 n	o		8
o	o o o o 1 o o 8 n			n

4 РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА №4 Интерполяция полиномами и сплайнами

4.1 Краткие теоретические сведения

4.1.1 Формулировка задачи

Восстановление зависимости, заданной своими значениями (или вообще параметрами, например, значениями и производными) в отдельных точках (узлах) называют интерполяцией. В задаче 4.1. будет выполнено восстановление (интерполяция) конкретной гладкой функции по заданным узловым значениям. В общем виде такая задача интерполяции формулируется следующим образом.

ДАНО: таблично заданная функция

y(x)
y(x)	x1	x2	. . .	xn
	x1	x2	. . .	xn
	y1	y2	. . .	yn

НАЙТИ: на	[x1, xn ] функцию f (x)		Рис. 4.1.
НАЙТИ: на	[x1, xn ] функцию f (x)
f (x) c1 f1 (x) c2 f2 (x) cn fn (x) ,			c1 ,c2 , ,cn ?	(4.1)
заданного класса, совпадающую в узлах с исходной, то есть для				при-
ближающей	(интерполирующей) функции должны выполняться
интерполяционные условия:
	f ( xi ) yi ,	i 1, , n .		(4.2)

4.1.2 Линейные и кусочно-линейные приближающие функции

Простейшей функцией (4.1) является линейная зависимость

f (x) c0 1 c1 x	(4.3)
с базисными функциями f0 (x) 1, f1(x) x . Два	еѐ коэффициента

c0 , c1 можно найти из условий (4.2) прохождения прямой через две точки (два узла). Заметим, что выбрав базисные функции в виде

g1(x) (x2 x) (x2	x1),	g2 (x) (x x1)	(x2 x1) , то есть,	записав
функцию в виде
		g2 (x) y1 g1 (x) y2 g2 (x) ,
f (x) c1 g1 (x) c2		g2 (x) y1 g1 (x) y2 g2 (x) ,		(4.4)

можно сразу получить коэффициенты: c1			y1, c2 y2 .

Если же число улов больше двух, то вместо линейной зависимости можно использовать кусочно-линейную зависимость (см. ломаную линию на рис. 4.2), которую можно представить в следующем виде:

f (x) c c x x				c x x				(4.5)
	1	2	1		n	n	,	(4.5)
где выражение	x x		max( 0, x x )		с подстрочным знаком «+»
где выражение	i			i	с подстрочным знаком «+»
действует (не равно нулю) лишь, когда оно положительно,								то есть
				x xi 0 .		Кусочно-линейную		функ-
				цию (4.5) называют сплайном первой
				степени. Она непрерывна, но еѐ пер-
				вая производная имеет в узлах раз-
				рывы, где производная слева обычно
				не равна производной справа. Отме-
Рис. 4.2.				тим, что функцию (4.5) можно запи-
Рис. 4.2.				сать с помощью локального базиса –
				сать с помощью локального базиса –
функций Mi (x)	(см. треугольную эпюру на рис. 4.5), заданных на

двух смежных участках между узлами. Такие функции для среднего узла xi записываются в виде:

		(x xi )		1
M i	(x)
M i	(x)	h
		h	h
		i		i

1	x xi	x x
		i 1	,	(4.6)
			,	(4.6)
		hi 1
hi 1		hi 1

где hi	xi xi 1 .	Для крайних узлов можно		принять h1 hn 1 , а
дроби, содержащие эти величины, считать равными нулю.
Запись	сплайна	(4.5)	первой степени через локальные функции:
			(x) cn Mn (x) y1M1 (x)	y2 M2 (x) yn Mn (x) , (4.7)
f (x) s(x) c1M1 (x) c2 M2

содержит коэффициенты, равные ординатам узлов интерполяции. Важно заметить, что при вычислении ординаты сплайна для абсциссы x [x1, xn ] сначала определяется отрезок [xi 1, xi ] , содержащий эту абсциссу, а затем используются лишь две не равные нулю на этом от-

резке базисные функции. Результат их использования будет равносилен применению формулы (4.4), то есть равен:

f (x) yi

xi 1 x

yi 1

x xi

(4.8)

Полезно отметить, что

x x

i 1

f (x) s (x)

(x)

x x

(4.9)

i 1

откуда получаем

для

x [x1, xn ]

следующую

интерполяционную

формулу

y y

n y

i 1

f (x)

x x

(4.10)

2 i 1

hi 1

Например, кусочно-линейная функция

f (x) 0.5 0.5 2

x 1

x 3

x 4

интерполирует заданные в таблице узлы.

Вне отрезка x [x1, xn ]

функция сохраняет крайние значения.

4.1.3

Полиномиальные приближающие функции

Для гладкой интерполяции часто в (4.1) выбирают полиномиаль-

ный базис

f0 (x) 1, f1(x) x, , fn (x) xn ,

то есть используют поли-

ном вида:

f (x) c

1 c

x c

x2 c

xn ,

(4.11)

а его коэффициенты подбирают из условий (4.2) прохождения f (x) через заданные точки.

Задача 4.1. Дана таблица значений функции

y(x) :
	xi	0	1	2
	yi	0	1	0
					Рис. 4.3.
					Рис. 4.3.
Найти приближающую функцию вида:
f (x) c0 1 c1 x c2 x2 ,				( c0 , c1, c2 ? ), приближающую узлы, пока-
занные на рис. 4.3.

Способ 1 решения задачи 4.1. Запишем интерполяционные условия:

f (x1 ) y1 : f (x2 ) y2 : f (x3 ) y3

c0c0c0

c1 0 c2 02 0

c1 1 c2 12 1

c1 2 c2 22 0

	0 и	c 1 c		1	1
Из этой системы уравнений получаем c0	0 и	1	2			.
		c1 2 c2 4 0
Решив эту систему уравнений, получаем	c1 2	и c2 1, то есть

f (x) 0 1 2 x 1 x2 x (x 2) .

Вообще полином n-ой степени, и этот в частности, можно за-

дать как коэффициентами, так и несовпадающими узловыми точками – их число должно равняться (n+1).

Способ решения 2 (Способ Лагранжа). Для интерполяции точек

x1 0; x2 1;

x3 2

y1 0; y2 1;

приближающую функцию можно записать в

виде f (x)

(x x1) (x x3 )

, так как.

x 0 , x3

- корни уравнения f (x) 0.

При x x2 1 числитель функции равен

(x2

x1) (x2 x3 ) , поэтому если

принять знаменатель равным этому значению A (x2 x1) (x2

x3 ) , то

функция f (x)

при

x x2

1 будет равна 1, а нули функции

останут-

ся на месте. Итак,

f (x)

(x x1 ) (x x3 )

(x 0) (x 2)

x (x 2)

x ) (x

)

(1 0) (1 2)

Для применения способа Лагранжа к общему случаю (см. формулировку задачи и рис. 4.1) представим точки, задающие полином с рис. 4.1 как сумму (суперпозицию) узлов, вспомогательных полиномов с рисунка 4.4а–4.4г. Заметим, что на рисунках их масштабы выбраны так, что ненулевые ординаты узлов равна единице.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 117 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
18.11.2019109.99 Кб8Шпоры по экономике.docx
#
17.12.201864.13 Кб34шпоры с 23 по 27.docx
#
17.12.2018128.51 Кб5шпоры стройиндустрия 1-10.doc
#
17.12.2018328.19 Кб17шпоры стройиндустрия.doc
#
02.08.2019982.02 Кб12шпоры.rtf
#
05.06.20152.99 Mб24ЭВМ_Семестр3_МетодПособие.pdf
#
05.06.20152.99 Mб13ЭВМ_Семестр3_МетодПособие.pdf
#
05.06.2015939.74 Кб16ЭВМ_Семестр4_Лаба9.pdf
#
05.06.20152.47 Mб25ЭВМ_Семестр4_МетодПособие.pdf
#
20.12.201833.3 Кб5эК. ТЕОРИЯ.docx
#
22.08.201927.11 Кб8Экз-вопросы-2012.docx

o	o	o	o	o		6
1	o	o	o	o
1	o	o	o	o		n
o	1	o	o	o		n

o	o	1	o	o		n

6	o	o	1	o		n
					,	b
n	6	o	o	1		n

6	n	6	o	o		n
o	6	n	6	o		n

o	o	6	n	6		n

1	o	o	6	n		6

o	o	o	o	o		n
o	o	o	o	o
o	o	o	o	o			4
1	o	o	o	o			4

o	o	o	o	o			4

5	o	1	o	o			4
					,	b
n	5	o	o	o			4

5	n	5	o	1			4
o	5	n	5	o			4

o	o	5	n	5			4

o	1	o	5	n		n

o	o	o	o	o		6
1	o	o	o	o
1	o	o	o	o		n
o	1	o	o	o		n

o	o	1	o	o		n

6	o	o	1	o		n
					,	b
n	6	o	o	1		n

6	n	6	o	o		n
o	6	n	6	o		n

o	o	6	n	6		n

1	o	o	6	n		6

o	o	o	o	o		n
o	o	o	o	o
o	o	o	o	o			4
1	o	o	o	o			4

o	o	o	o	o			4

5	o	1	o	o			4
					,	b
n	5	o	o	o			4

5	n	5	o	1			4
o	5	n	5	o			4

o	o	5	n	5			4

o	1	o	5	n		n

o	o	o	o	o		6
1	o	o	o	o
1	o	o	o	o		n
o	1	o	o	o		n

o	o	1	o	o		n

6	o	o	1	o		n
					,	b
n	6	o	o	1		n

6	n	6	o	o		n
o	6	n	6	o		n

o	o	6	n	6		n

1	o	o	6	n		6

o	o	o	o	o		n
o	o	o	o	o
o	o	o	o	o			4
1	o	o	o	o			4

o	o	o	o	o			4

5	o	1	o	o			4
					,	b
n	5	o	o	o			4

5	n	5	o	1			4
o	5	n	5	o			4

o	o	5	n	5			4

o	1	o	5	n		n