ЭВМ_Семестр3_МетодПособие

Rem Ньютон fi = x - (Sin(x) - Cos(x) - x / 3)/(Cos(x)+Sin(x) 1/3)

End Function

Sub iter_1(eps As Single, limit As Integer, x As Single, n As Integer) n = 0

Debug.Print " Метод итераций x= "; x

Do

x1 = fi(x)

Debug.Print "n="; n," x1="; x1, "Delta=";Abs(x-x1)

If Abs(x - x1) < eps Then Exit Sub x = x1

n = n + 1

If n >= limit Then

Debug.Print "Превышено предельное число итераций"

Exit Sub End If

Loop End Sub

Результаты расчета макроса:

32

Вычисление наименьшего корня методом деления отрезка пополам с относительной погрешностью, не превышающей Eps=0.0005, и с включѐнной вспомогательной печатью (KP=1):

Sub MainDOP() ' с хранением x, f в ячейках A1, B1 с именами "x", "f" ActiveWorkbook.Names.Add Name:="x", RefersToR1C1:="=Лист1!R1C1" ActiveWorkbook.Names.Add Name:="f", RefersToR1C1:="=Лист1!R1C2" Range("f") = "=SIN(x)-COS(x)-x/3" ' формулу  в ячейку с именем «f» Debug.Print DOP("f", "x", -3, -1, Eps:=0.0005, KP:=1) , Range("x")

End Sub

True -1,8935546875

Интерфейс функции DOP (см. литературу [5]) представлен ниже:

Function DOP(Fch As String, Xch As String, a As Double, b As Double, _ Optional Eps As Double = 0.0001, Optional KP As Integer = -1, _

Optional Iter As Integer) As Boolean

' Fch, Xch - имена ячеек с функцией и аргументом,

'a, b - левая и правая границы отрезка, содержащего корень,

'Eps - относительная погрешность корня |X* - X|/max(|a|,|b|)<Eps,

'KP - код вспомогательной печати: KP<0 - нет вывода,

33

Пример 1.4

Используя электронные таблицы Excel, найти корень уравнения sin x cos x 3x 0 с точностью =0.0001 методом простых итераций и методом касательных.

Решение данной задачи средствами Excel может быть выполнено:

с использованием циклических ссылок;

­с помощью специальных средств Excel – «подбор параметра», либо «поиск решения»;

­с использованием стандартных возможностей Excel.

Использование в Excel циклических ссылок для решения нелинейных уравнений является достаточно экзотической возможностью и, при желании, можно найти соответствующую статью в Интернет. Работа по подбору параметра и поиску решения описано в справке Excel, поэтому рассматривать этот способ не будем.

Вариант решения выше приведенного уравнения методом итераций представлен на рисунке 1.15. Значение параметра λ задается в ячейке D1 и используется в формуле ячейки В3 в абсолютной адресации. Диапазон ячеек A3:C3, с помощью маркера «Автозаполнения», затем «протягивается» вниз до тех пор, пока число с столбце «С» не станет меньше 0.0001.

Рисунок 1.15 – Фрагмент таблицы Excel реализующий метод простой итерации для решения уравнения sin x cos x 3x 0

На рисунках 1.16 и 1.17, в режиме отображения значений, представлены фрагменты таблицы Excel для нахождения двух корней

уравнения sin x cos x 3x 0 .

34

го две итерации, а методу простых итераций необходимо было сделать семь итераций.

Рисунок 1.18 - Фрагмент таблицы Exсel для вычисления корня уравнения на отрезке [0,5 ; 1,5] методом касательных

Рисунок 1.19 - Фрагмент таблицы Exсel для вычисления корня уравнения методом Ньютона в интервале [0,5 ; 1,5]

Пример 1.5

Используя встроенную функцию roots пакета MATLAB, найти корни алгебраического уравнения x3-7x+6 = 0. В квадратных скобках задаются коэффициенты многочлена, в порядке убывания степеней х.

f=inline('x^3-7*x+6') figure;

fplot(f,[-3 3]); grid;

x=roots([1 0 -7 6])

Корни уравнения

x = -3.0000

2.0000

1.0000

36

1.2 Задание к расчетно-графической работе №1

Вычислить минимальный положительный корень уравнения f(x)=0 своего варианта, представленного в таблице 1.1. Вычисления выполнить:

­средствами электронной таблицы Excel;

­с использованием макроса на языке VBA;

­средствами пакета MatLab.

Точность вычисления δ= 0.0001. Метод вычисления корня указан в таблице 1.1.

Таблица 1.1 Варианты заданий для РГР №1

37

Продолжение Таблицы 1.1

38

2 РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА №2 Решение систем линейных алгебраических уравнений

методом (прямые методы)

2.1 Краткие теоретические сведения

2.1.1 Формулировка задачи

Во многих инженерных и научных расчетах приходится решать системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

где A - (n n) - матрица коэффициентов,

b - n-компонентный вектор правых частей уравнений (столбец свободных членов),

x - искомый n-компонентный вектор неизвестных, выражающиеся через свои компоненты:

Из курса линейной алгебры известно, что система (2.1) имеет единственное решение (единственный набор значений x1, x2 , , xn , обращающий уравнения в тождества), если определительdet(A) матрицы A не равен нулю. Этот случай иллюстрируется рисунком 2.1 для системы двух линейных уравнений (i)-(ii).

39