ЭВМ_Семестр3_МетодПособие

2.Проверка полученного решения

а) Отсылаем по частям записанную в ячейках листа Excel расширенную матрицу в MatLab. Для этого сначала выделяем ячейки с матрицей и потом копируем матрицу в буфер обмена. Затем, переходим в окно рабочего пространства и вставляем из буфера обмена содержащиеся в нѐм данные. В окне Import Wizard MATLAB просматриваем данные. Если данные скопированы правильно, нажимаем кнопку Next. Затем, встав указателей мышки в поле с именем переменной и кликнув правой кнопкой мыши, задаѐм нужное имя (A) вставляемой матрицы. Таким же образом копируем в MATLAB вектор правой части b. (кнопкой связи или из контекстного меню), выбираем «Send data to MATLAB» и указываем имя матрицы для MatLab, например, «A» (латинское) и щѐлкаем по «OK». Потом таким же образом отсылаем в MatLab вектор правых частей, в переменную «b».

Затем набиваем в поле окна ввода команду x=A\b (или x=linsolve(A, b) ) и даѐм Enter.

б) Для проверки в Excel можно написать обычный макрос, который прочитает расширенную матрицу с листа и обратится к процедуре KGAUSS. А можно использовать функцию, определѐнную пользователем, xCdGauss, как это описано в разделе «Программное обеспечение».

Варианты СЛАУ

51

52

3РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА №3 Решение СЛАУ итерационными методами

3.1Краткие теоретические сведения

3.1.1Об итерационных методах

Вряде случаев для решения СЛАУ удобно использовать итерационные методы (или методы последовательного приближения). В них вектор x0 начального приближения корректируется на после-

дующих k шагах приближения (до xk ) и в случае сходимости позволяет приблизиться к точному решению x* , к которому стремится xk при бесконечном увеличении числа k точно выполненных шагов. Реально вычисления прекращают при достижении требуемой точности; из-за этого в решение и при абсолютно точных вычислениях образуется погрешность метода. Этой погрешности нет в прямых методах (поэтому их также называют точными), но в результатах присутствует накопленные ошибки округлений.

Для решения СЛАУ Ax=b методом последовательных приближений сначала необходимо представить систему в подходящей для итераций форме. Общий вид преобразованной системы

позволяет получить итерационную формулу, например, для разбираемого далее метода простых итераций:

где надстрочные (k+1) и (k) здесь - номера приближений (итераций). Преобразование к виду (3.1) можно выполнить по разным схемам; здесь будет рассмотрена одна часто встречаемая схема.

3.1.2 Метод простых итераций

Для получения итерационной формулы используем специальную схему преобразования системы: выразим неизвестные, расположенные на главной диагонали, следующей системы:

53

Выберем какой-то вектор x(0) начального приближения, например, x(0) 36 11 5 104 T 0.5 2.2 2.5 T , и найдѐм последующие приближения x(1) ,…, x(15) :

В этом методе, называемом методом простых итераций или мето-

дом Якоби, на каждом шаге все компоненты вектора x(k ) использовались для вычисления вектора нового приближения x(k 1) . Можно заметить, что значения компонент вектора x(k ) постепенно приближаются к решению x* 1 2 1 T системы уравнений (с номерами I, II, III) из раздела 2, в которой здесь предварительно было выполнено преобразование, обозначенное в нумерации уравнений. Это предварительное преобразование исходной системы из раздела 2 выполнено с целью обеспечить сходимость итерационного процесса. Рассмотрим этот важный для итерационных методов вопрос.

Условия сходимости метода

Усматривая аналогию в решении СЛАУ Ax=b, x=? с методом простой итерации для одного скалярного уравнения a·x=b, x=?, запишем для них итерационные формулы:

c 1 является достаточным условием сходимость к корню при любом начальном x(0) . Если ввести скалярную меру x , называемую нормой вектора, характеризующую размер вектора, применить

54

нение в (3.4) приобретѐт скалярный вид и сходство в строке (3.3) усилится.

Обобщая длину вектора как меру сразу всех его компонент, записы-

Рассматривая вместо Cx вектор Ce с произвольным единичным вектором e , вводят матричную норму C , подчинѐнную соответствующей векторной норме, как

Она характеризует наибольшее растяжение вектора при умножении на C . Для итерационной формулы в (3.4) с учѐтом (4.7) можно записать:

Из (3.8) по аналогии с условием c 1 можно заключить, что

для сходимости метода простых итераций при любом x(0) достаточно, чтобы матричная норма была бы меньше 1, то есть C 1.

Матричные нормы вычисляются по формулам:

Вторая норма матрицы, равная арифметическому корню из наибольшего собственного значения матрицы CTC , трудно вычисляема и для практической оценки сходимости не применяется. По аналогии с методом итераций для одного уравнения можно записать формулу для завершения итераций, гарантирующих абсолютную погрешность при достижении x(k 1) не больше, чем :

55

большую из разностей между компонентами x для итераций (k+1) и (k). По назначенной в расчѐтах величине Delta оценку гарантированной точности полученного решения можно определить по этой же формуле.

Достаточное условие сходимости (его называют диагональным преобладанием) сформулируем для специальной схемы получения итерационной формулы, использованной в численном примере.

Для сходимости метода простых итераций при решении СЛАУ Ax=b при любом начальном приближении x(0) достаточно, чтобы:

или абсолютная величина элемента на главной диагонали для любого столбца матрицы была больше суммы абсолютных величин всех дру-

или абсолютная величина элемента на главной диагонали для любой строки матрицы была больше суммы абсолютных величин всех дру-

Заметим, что это достаточное условие – его выполнение гарантирует сходимость, но если оно не выполнено, то итерации могут как сходиться, так и расходиться. Например, для рассмотренного числового

Необходимые и достаточные условия требуют, чтобы все собственные значения матрицы C были по абсолютной величине меньше 1.

3.1.3 Метод Зейделя

Для рассмотренной в разделе 3 системы уравнений (I, II, III) выразим неизвестные, расположенные на главной диагонали,

56

То есть, применим такую же специальную схему преобразования системы, как и в методе простых итераций, однако, вычисляемые компоненты неизвестных здесь сразу используем в последующих уравнениях – на это указывают номера итераций (k+1) компонент, расположенных правее знаков равенства. В этом и состоит характерное отличие стационарного метода Зейделя, называемого ещѐ методом Зей-

деля-Гаусса.

Таким же образом (как в методе простых итераций) выберем век-

Последовательность векторов x(k ) быстро сходится к решению x* 1 2 1 T .

Метод Зейделя во многом похож на метод простых итераций, для обоих методов справедливо сформулированное выше достаточное условие сходимости (для метода Зейделя допустимы не строгие неравенства и хотя бы одно строгое). Структура формулы (см. [1]) для завершения итераций при выполненном достаточном условии подобна

(3.10).

57

где формула, указанная слева, относится к преобразованной системе общего вида (3.1), а справа - к специальной схеме преобразования исходной системы.

Однако метод Зейделя и метод простых итераций имеют свои не одинаковые необходимые и достаточные условия сходимости. Поэтому можно привести примеры, для которых один из методов сходится, а другой нет. По условиям сходимости методов можно сказать, что для матриц СЛАУ с диагональным преобладание хорошо сходится метод простых итераций, а для быстрой сходимости метода Зейделя матрица должна быть близка к нижней треугольной. Заметим, что для строго нижней треугольной матрицы метод Зейделя даѐт решение после первой «итерации». Отметим, что нормализация системы (см. в разделах 3.2 и 5) делает еѐ теоретически сходящейся по методу Зейделя.

3.1.4 О применении итерационных методов

Для систем линейных уравнений с плотно заполненной матрицей итерационные методы не имеют преимуществ перед прямыми методами. Модификации прямых методов хорошо работают и с ленточными положительно-определѐнными матрицами (они часто встречаются в технических расчѐтах) – при решении ширина ленты не увеличивается и не занимает дополнительной памяти. Но для систем уравнений с редко заполненными матрицами больших размеров прямые методы, которые в процессе решения заполняют числами прежде «нулевые» элементы матрицы, требуют огромные объѐмы памяти. А вот итерационные методы не изменяют коэффициенты в матрице системы в процессе вычислений. Более того, для многих СЛАУ, встречающихся в приложениях, коэффициенты в уравнениях составляют небольшие наборы чисел, например, числа: 4; 2;-1, которые вообще не нужно хранить в матрице – они просто записываются в операторах расчѐтной программы. Если коэффициенты легко вычисляются, то также можно обойтись без матрицы. Для таких СЛАУ итерационные методы весьма эффективны. Заметим, что при хорошей сходимости (о чѐм в итерационных методах приходится особо заботиться) требуется мало итераций для получения результата с небольшой инженерной точностью – это сокращает время решения задачи.

58

димости метода (способ 3). Далее на примерах поясняются эти способы приведения Ax b к Hx f и проверки условий сходимости метода для системы Hx f .

Отметим, что при приведении исходной системы Ax b к сходящейся Hx f по способам 1 и 2 используют равносильные преобразования системы: складывают, вычитают, переставляют уравнения, предварительно умножают их на ненулевые коэффициенты; переставляют столбцы матрицы системы (т.е. меняют порядок неизвестных) и стремятся получить диагональное преобладание или (по способу 2) большие по абсолютной величине числа в нижней треугольной части матрицы. В способе 2 целесообразно проверить реализованное для системы из трѐх уравнений необходимое и достаточное условие сходимости метода Зейделя. При этом вычисляются коэффи-

тически гарантирует сходимость, но она может оказаться очень медленной.

Для рассмотренной в разделе 2.1 системы уравнений можно выполнить следующие (указанные в нумерации уравнений) преобразования

то есть почленно сложить II-е и III-е уравнения и записать результат на место второго, а также сложить почленно I-е и III-е уравнения.и записать результат на место третьего уравнения. Результирующая система имеет нестрогое диагональное преобладание по строкам (в третьей строке – строгое), а также нестрогое диагональное преобладание по столбцам (во втором столбце – строгое). По каждому из этих признаков обеспечивается сходимость метода Зейделя. Однако в дальнейшем решении будет использовано преобладание нижней треугольной части исходной матрицы.

60