ЭВМ_Семестр3_МетодПособие
.pdf–команда выполняется после нажатия клавиши Enter;
–для вызова ранее введѐнной команды (для редактирования и исполнения) следует использовать клавишу «стрелка вверх», по «стрелке вниз» команды просматриваются в обратном порядке;
–для присваивания следует справа от имени переменной или массива указать символ присваивания = и присваиваемую величину;
–в именах MATLAB различает прописные и строчные буквы;
–массивы заключаются в квадратные скобки, отдельные элементы указываются с индексом в круглых скобках;
–для инструкции, которая заканчивается точкой с запятой «;», результат не выводится на экран;
–если не указана переменная для значения результата, он присваивается (и выводится) переменной с именем ans, сохраняющей значение до следующего присваивания;
–встроенные функции (например, sin) набиваются строчными буквами, за которыми в круглых скобках указывается аргумент (аргументы);
–команда clc очищает командное окно (от ранее введѐнных команд) и размещает курсор в левом верхнем углу окна справа от символов >> приглашения к вводу;
–команда home окно не очищает от команд, а размещает курсор в левом верхнем углу окна справа от символов >> приглашения к вводу.
О построении графиков в MATLAB
MATLAB имеет развитые средства построения графиков. Можно воспользоваться этими средствами, к примеру, для построения графика по созданному нами ранее массиву Vrow абсцисс и массиву ординат W, сформированного следующей командой:
|
|
|
|
|
>> W=sqrt(Vrow); |
% |
формируем W = |
Vrow , = 1, 2, 3, 4 , |
|
>> plot(Vrow, W) |
% |
строим график W(Vrow) |
||
>> grid |
% добавим сетку к графику |
|||
11
График, вычерченный отрезками прямых линий, показан на рисунке 2. Полученный график может быть отредактирован в окне Figure 1. Для построения более гладкого графика необходимо насчитать больше точек.
Построим график функции |
|
|
x |
||
|
||
на отрезке −2π; 2π изменения . |
|
|
Выберем шаг разбиения отрезка |
||
так, чтобы число разбиений оказалось нечѐтным, и ноль не оказался точкой разбиения. Примем шаг разбиения равным 4π/33.
>>x=[-2*pi:4*pi/33:2*pi]; |
% расчѐт абсцисс графика |
|
>>f=sin(x)./x |
% поэлементный расчѐт ординат графика |
|
>>plot(x,f,X,Y,'ro') %график и красные (r) круглые (o) точки X,Y >>grid % добавим сетку к графику
Пояснения. В команде plot перечисляются парами массивы с абсциссами и ординатами. Вторую пару составляют массивы ранее вычисленных точек. За ними следует символьная константа, в которой буква «r» кодирует красный (red) цвет, а следующая за ней буква «o»
– маркер выводимых точек. После первой (слева) пары массивов символьная константа отсутствует, и действуют параметры по умолчанию – синий цвет сплошной линии.
Детали описания построения графиков и операций MATLAB можно найти в приложении А.
12
О построении графика в Excel (повторение)
Построим график функции sin / на отрезке −2π; 2π . Для этого выделим под значения аргумента x столбец A, а под значения функции – столбец B таблицы листа Excel. Для наглядности в ячейки A1 и B1 запишем соответственно символы «x» и «f» (см. рисунок 4). В ячейках с F1 по F4 заготовим формулы:
«=-2*ПИ()», «=4*ПИ()/33», «=F1+F2», «=-ПИ()»
соответственно для левой границы отрезка, шага, левой границы плюс шаг», числа – π. Пояснения к формулам даны в ячейках E1:E4.
Значения первого и третьего числа специальной вставкой скопи-
руем соответственно в ячейки A2 и A3, а затем, выделив эти две ячейки, «протянем» до получения в ячейке A35 числа 2π ≈ 6.28. Затем, выделив диапазон ячеек A2:A35, присвоим (ФормулыПрисвоить имя) ему имя «x». Введѐм далее в ячейку B2 формулу «=sin(x)/x» , а затем, выделив эту ячейку, «протянем» до ячейки B35 включительно.
Рисунок 4 - График в Excel
13
Выделим диапазон A2:B35 со значениями аргумента и функции. Выполняя цепочки команд Вставка-Диаграммы-Точечная и выбрав затем Точечная с гладкими кривыми, получаем график, показанный на рисунке 4. Заполним диапазон C2:D6 данными для узлов X (используя значения из ячеек F1 и F4) и целыми числами для ординат Y, а затем, кликнув правой клавишей мышки по диаграмме, выбираем: Вы-
брать данные – Добавить. После этого добавляем имя ряда: «X,Y» и указываем диапазон C2:C6 для Значения X и диапазон D2:D6 для Значения Y . Подтверждаем (OK) сделанный выбор. Затем, выделив на диаграмме имя ряда: «X,Y», в контекстном меню выбираем Изме-
нить тип диаграммы для ряда – Точечная с маркерами. После подтверждения (OK) сделанного выбора получаем на диаграмме график с маркерами пяти характерных точек. Имя первого ряда данных можно изменить, если выделить это имя на диаграмме и в контекстном меню выбрать: Выбрать данные – Изменить.
Контрольное задание
Выполнить в MATLAB и Excel построение графика из своего варианта задания к РГР №1.
14
1 РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА №1 Решение нелинейных уравнений
1.1Краткие теоретические сведения
1.1.1О нелинейном уравнении и способах его решения
Нелинейным называется уравнение вида
f (x) 0, |
(1.1) |
если его левая часть не является линейной функцией. Функция f(x) может содержать трансцендентные, специальные функции или степень неизвестного x . Квадратное алгебраическое уравнение ax 2 bx c 0 является нелинейным уравнением, корни которого можно определить по прямым формулам. Аналитические решения существуют также для корней полиномиальных уравнений, степень которых, согласно теореме Н.Абеля (30-е года XIX века), не выше четвертой. В инженерной практике обычно приходится решать нелинейные уравнения более сложного вида, вычислить значения корней которых в виде конечной формулы оказывается невозможным.
Корень уравнения f (x) 0 называется простым, если′ ( ) ≠ 0. В противном случае (т.е. если ′ =0) корень называется кратным. Геометрически корень уравнения соответствует абсциссе точки пересечения графика функции y f (x) с осью Ox. Корень является простым, если график функции пересекает ось Ox под ненулевым углом, и кратным, если пересечение происходит под нулевым углом. Функция f(x) представленная на рисунке 1.1 имеет
пять корней: три простых корня 1 , 2 и 3, и два кратных корня 4 и
5 .
Задача отыскания простых корней является более простой (и чаще встречающейся), чем задача определения кратных корней. Рассматриваемые в данной работе методы поиска корней нелинейных уравнений ориентированы, в первую очередь, на отыскание простых корней.
15
Рисунок 1.1– График нелинейной функции с пятью корнями
Решение задачи отыскания корней нелинейного уравнения осуществляется в два этапа. Первый этап называется этапом локализации
(или отделения корней), второй – этапом итерационного уточнения корней.
Первый этап. Локализация корней. Отрезок [a,b], содержащий только один корень уравнения (1.1), называют отрезком локализации корня . Цель этапа локализации считается достигнутой, если для каждого из подлежащих определению корней удалось указать отрезок локализации. Длину отрезка локализации стремятся сделать минимальной. Указать универсальный метод локализации корней не представляется возможным. Наиболее часто используют: построение графика функции f(x) и табличный способ отделения корней.
Наличие персонального компьютера с пакетом MS Office позволяет, достаточно легко, построить график нелинейной функции, анализ которой позволит определить отрезки локализации. Напомним, что удобнее всего для построения графика функции одной переменной использовать точечную диаграмму Excel. В некоторых случаях, когда функцию f(x) можно разложить на две функции f1(x) и f2(x) простого вида, использование компьютера может не потребоваться. Например, уравнение − − = 0 можно преобразовать к виду = − и, построив графики двух функций 1 = и 2 = − ( см. рисунок 1.2), можно определить отрезок локализации корня ([0:1]) без выполнения расчетов на ЭВМ.
16
|
y |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
= |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
-1 |
|
1 |
2 |
x |
|
Рисунок 1.2 – Графики функций |
= и |
= − |
|||
|
|
1 |
|
2 |
|
Применение табличного способа локализации корней позволяет не использовать возможности вычислительной техники, т. к. не требует точного вычисления значений функций. Значение функции требуется определить с точностью «до знака» (плюс или минус), и такие расчеты могут быть сделаны в уме. При этом способе локализации о наличии на отрезке [xi ; xi+1] корня судят по перемене знака функции на концах отрезка. Пример применения табличного способа показан на рисунке 1.3.
х |
− |
|
3 |
|
− |
− |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
знак f(x) |
|
+ |
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
+ |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 1.3 – Иллюстрация табличного способа отделения корней
Очевидно, что в примере, представленном на рисунке 1.3, функция f(x) имеет два корня. Один корень находится в интервале [− , − 2], второй в интервале от нуля до + 2 .
К сожалению, четный корень не удается локализовать на основании перемены знака функции с помощью даже очень точной таблицы.
17
Необходимо отметить, что не всегда для успешного отыскания корня уравнения (1.1) необходимо полное решение задачи локализации. В некоторых случаях достаточно найти хорошее начальное приближение (0) к корню .
Второй этап. Итерационное уточнение корней. На этом этапе для вычисления с необходимой точностью >0 каждого из корней уравнения используют тот или другой итерационный метод, позволяющий рассчитать последовательность x(0), x(1), … , x(n) приближений к корню . Существует большое число методов для итерационного поиски корня нелинейного уравнения. В данной работе рассматриваются три наиболее часто используемых в инженерной практике (в скобках приведены названия, под которыми эти методов могут встретиться в других источниках):
метод простых итераций (метод последовательных приближений);
метод Ньютона (метод касательных);
метод деления отрезка пополам.
Уточнение корней с помощью итерационных методов связано с обеспечением (метод итераций) или проверкой (метод Ньютона) условия сходимости процесса и с выполнением определенных ограничений на гладкость функций в интервале значений аргумента, где имеется единственный корень уравнения. Как правило, эти обстоятельства налагают требования на ширину локализованного участка для корня и на характер поведения функции f (x) , еѐ первой и второй производных ( f (x) и f (x) ) на этом участке.
Метод деления отрезка пополам позволяет вычислить единственный корень уравнения с заданной точностью на интервале без наложения дополнительных условий на функцию и еѐ производные, предполагая только непрерывность функции f(x). Однако, количество арифметических операций для вычисления корня с такой же точностью что и в других рассматриваемых методах существенно больше.
18
1.1.2 Метод простых итераций
Для реализации метода простых итераций решения нелинейного уравнения (1.1), необходимо преобразовать это уравнение к виду:
x (x) |
(1.2) |
Это преобразование можно выполнить различными способами. Например, можно левую часть исходного уравнения (1.1) умножить на постоянный множитель отличный от нуля. а затем добавить x в обе части уравнения. В результате получается уравнение:
x x f (x) |
(1.3) |
Функция φ в этом случае будет определяться зависимостью
(x) x f (x)
Вычисление корня выполняется по следующей схеме. В отрезке локализации корня [a,b] выбирается начальное приближение x(0) и подставляется в правую часть уравнения (1.2). Получается первое приближение к корню x(1) = φ(x(0)). Подставив первое приближение x(1) в правую часть уравнения (1.2) вычисляем следующее приближение x(2) = φ(x(1)). Продолжая этот процесс неограниченно, получим последовательность приближений к корню вычисляемых по формуле
x(n+1) = φ(x(n)), n≥0 |
(1.4) |
Геометрическая интерпретация итерационного процесса метода простых итераций, для функции φ(x) с положительной первой производной, приведена на рисунке 1.4. Корнем является абсцисса точки пересечения графиков двух функций y1=x и y2=φ(x).
19
Y |
|
|
y1=x |
|
|
|
|
|
|
x(2)=φ(x(1)) |
|
|
|
y2=φ(x) |
|
|
|
|
|
x(1)=φ(x(0)) |
|
|
|
|
0 |
x(0) |
x(1) |
x |
X |
|
|
|
|
Рисунок 1.4 – Определение корня методом простой итерации
Сходимость метода итераций. Сходимость метода простых итераций связана с выполнением на отрезке локализации корня условия
|
(1.5) |
(x) 1 |
т.е. 1 (x) 1
На рисунках 1.5 – 1.8 представлена геометрическая иллюстрация поведения итерационного процесса в четырех простейших случаях взаимного расположения прямой y1=x и нелинейной функции y2=φ(x). В случаях, представленных на рисунках 1.5 и 1.7, итерационный процесс сходится к корню уравнения, в случаях показанных 1.6 и 1.8 процесс расходится. Эта иллюстрация наглядно демонстрирует условие сходимости метода простых итераций выраженное формулой (1.5). Знак первой производной функции φ(x) определяет характер приближений к корню. Для положительной первой производной процесс решения происходит «ступеньками», а для отрицательной производной ′ – по спирали. Вопрос сходимости итерационного процесса при этом, определяет значение модуля первой производной итерационной функции.
20