ЭВМ_Семестр3_МетодПособие

вестные, за конечное (зависящее от n) число арифметических действий и при вычислениях без округлений дают точное решение. Итерационные методы будут рассмотрены в разделе 3.

2.1.2 Метод Гаусса (метод исключения неизвестных)

Метод Гаусса является прямым методом решения систем линейных уравнений. Его идея состоит в том, что исходную систему (2.1) с помощью равносильных преобразований приводят к другой, более простой системе (с верхней треугольной матрицей), для которой несложно вычислить неизвестные. И поскольку преобразования равносильные, то вычисленные неизвестные являются также решением исходной системы. Вырожденность системы обнаруживается (при точных вычислениях) в процессе решения.

Разберѐм метод на примере решения представленной далее системы уравнений (I),(II),(III) с действительными коэффициентами; слева даѐтся запись системы в общем виде.

Прямой ход метода Гаусса

Решение системы начинается с прямого хода, который выполняется по шагам.

На 1-ом (k=1) шаге прямого хода перепишем 1-ое (k-ое) уравнение без изменений. С помощью этого уравнения исключим неизвестное

xk x1 из последующих уравнений. Для этого предварительно вычислим множители li,k l21 и li,k l31 - второй индекс «k» соответствует k-му шагу, а первый индекс «i» указывает на уравнение, к которому относится вычисленный множитель. Затем преобразуем (II)-oe уравнение по схеме: (II) – l2,1 (I) = (IIʹ), т.е. вычтем из (II)-го уравнения

(I)-ое, предварительно умноженное (почленно) на множитель l2,1 . После этого в преобразованном уравнении (II'), коэффициент при x1 оказывается равным нулю, т.к.

a 21x1 l21a11x1 a 21 l21a11 x1 a 21 a 21 a11 a11 x1 0 x1 0 ,

41

Для других коэффициентов и правой части имеем:

На 2-ом (k=2) шаге с помощью второго уравнения (IIʹ) производится

Этим завершается прямой ход метода Гаусса, в результате которого получается система уравнений с верхней треугольной матрицей.

Обратный ход метод Гаусса (обратная подстановка)

Т.е. обратный ход метода Гаусса заключается в том, что найденное из последнего уравнения (IIIʹʹ) неизвестное x3 , подставляется в предыдущее уравнение (IIʹ), что позволяет вычислить x2 . А подстановка найденных значений в (I)-ое уравнение позволяет определить и x1 .

Отметим, что произведение нижней треугольной матрицы L, дополненной единицами по главной диагонали, на полученную верхнюю треугольную матрицу U даѐт исходную матрицу A:

42

Важные замечания

1. Если в результате выбора главного элемента по столбцу он всѐ же оказался нулевым, то это означает, что система вырожденная. Раскрыв определитель (абсолютная величина которого при преобразованиях метода Гаусса не меняется) по 1-му столбцу, например, у матрицы следующей системы

убеждаемся, что он равен нулю. При компьютерных вычислениях с погрешностями округления о близости СЛАУ к вырожденной судят

по оценкам безразмерного числа обусловленности cond (A) AA 1

матрицы системы, где A норма матрицы (см. в следующей разделе). 2. Если прямой ход метода Гаусса доведѐн до конца и матрица системы приведена к верхней треугольной, то произведение еѐ диагональных элементов даѐт значение определителя, причѐм, если было произведено нечѐтное число p перестановок строк, то произведение берѐтся с противоположным знаком. Например, для системы (I)-(III):

3. В результате длительных поисков математики всѐ же нашли примеры матриц, для которых машинные решения СЛАУ с выбором главного элемента не по всей матрице, а по ведущему столбцу приводят к неустойчивости решения, однако в вычислительной практике мало используют более трудоѐмкий выбор главных элементов по всей матрице.

44

2.1.3 Решение СЛАУ методом Гаусса с выбором главных элементов по столбцу

Приведѐм решение рассмотренной выше системы, в котором для гарантии вычислительной устойчивости перед исключением неизвестных из уравнений с k го по n ое выбирают и переставляют с k ым (I-ым на шаге k=1) то уравнение (II-ое см. решение), в котором

Исключение неизвестного xk x1 выполняют по схеме, заданной в нумерации уравнений:

На втором ( k 2 ) шаге также сначала выбирается главный элемент

Этим завершается прямой ход метода исключения Гаусса.

Обратный ход (или обратная подстановка) состоит в вычислении xn x3 из последнего уравнения: xn x3 1.43/1.43 1, а затем его подстановки в уравнения, расположенные выше, и вычислении сначала

45

x2 (10 3 x3 ) / 3.5 (10 3 1) / 3.5 2 из 2-го уравнения, а затем и x1 (2 3x2 0 x3 ) / 4 (2 3 2 0) / 4 1 из 1-го уравнения.

2.1.4 Характеристики метода Гаусса (прямых методов)

Число арифметических операций, выполняемых при решении СЛАУ по рассмотренному алгоритму метода Гаусса, выражается (для больших n) формулой 2n3/3, в которой опущены слагаемые с меньшими степенями при n.

Относительная погрешность вычисления неизвестных зависит от числа обусловленности cond (A) матрицы системы, от числа t разрядов (обычно двоичных, т.е. s=2), отводимых для хранения мантис-

общая мера вектора (в частности, длина вектора тоже есть норма). Коэффициент k порядка единицы (обычно не превышает s), а f (n) n32 , причѐм степень можно существенно уменьшить (до ½), если вычислять скалярные произведения с двойной точностью. Отметим, что повысить точность полученного приближѐнного реше-

увеличив точность вычисления главной составляющей (повторного) решения - вычисления скалярного произведения.

Рассмотренный алгоритм (и алгоритмы с LU-разложением) применяют для решения систем с плотно заполненными матрицами. Для часто встречающихся в технике положительно определѐнных матриц и матриц специальной структуры, в частности, ленточных, используются эффективные модификации разложений прямыми методами. Для больших разреженных матриц более эффективными считаются итерационные методы.

2.2Программное обеспечение

ВExcel не включена функция, непосредственно предназначенная для решения СЛАУ. И хотя решение можно получить через обращение матрицы, но это не правильный путь – более трудоемкий и менее

46

точный. Сравните два способа вычисления x из одного уравнения 3x=6: через обращение x=(1/3)*6 и простое деление x=6/3. Поэтому для решения в Excel СЛАУ методом Гаусса в лаборатории можно использовать (из папки C:\Materials\VBA_Excel) модуль Math.bas, в который нами включены процедура KGAUSS и функция xCdGauss, определѐнная пользователем. Процедуру KGAUSS можно вызывать из макроса; еѐ заголовок (и текст см. в Math.bas):

Sub KGAUSS(ByRef Ab( ) As Double, ByVal N As Long, _

ByRef x( ) As Double, ByRef IAI As Long) , где:

Ab(? To N, ? To N+1) – расширенная (включающая столбец правой части) матрица системы (?={0| 1}),

N – макс. индекс в первой размерности у массивов Ab и x.

Определѐнные пользователем,

xCdGauss, OK. В возникшем окне Аргументы функции (см. рис. 2.1) указывают для аргумента Ab диапазон A1:D3 ячеек с коэффициентами расширенной матрицы СЛАУ, а затем нажимают Ctrl+Shift+Enter. В ячейках A4:C4 появятся вычисленные значения неизвестных СЛАУ, а в ячейке D4 число обусловленности матрицы системы.

47

2-ой строк расширенной матрицы Ab надо слева на неѐ умножить единичную, у которой в этих строках единицы с главной диагонали сдвинуты во 2-ой и 1-ый столбцы.

При пошаговом решении СЛАУ в Excel (на этапе 1 ) расширенную матрицу Ab1 помещаем в диапазон G2:J4 (см. таблицу 2.2). В 1-ом столбце Ab1 главный элемент равен 4, он находится во 2-ой

Таблица 2.2

Напомним, как выполняется в Excel умножение матриц. Для этого: выделяем G6:J8, нажимаем F2, в ячейку G6 вставляем как формулу функцию МУМНОЖ. Вызвав эту функцию, указываем сначала диапазон B2:D4 первой матрицы, а затем – второй G2:J4. Для записи матрицы результата в диапазон, начинающийся в ячейке G6, следует нажать Ctrl+Shift+Enter.

49

После получения матрицы P1*Ab1 с переставленными 2-ой и 1-ой строками готовим (на этапе 4 ) слева матрицу L1 для исключения неизвестных из строк со 2-ой по 3-ью (c k+1 по n) первого столбца. Для этого выделяем диапазон B6:D8 (строк c k по n) и запускаем макрос E создания единичной матрицы (по Ctrl+Shift+E или кликнув по кружку E - фигуры, с которой мы связали этот макрос). Затем выделяем в матрице P1*Ab1 1-ый столбец (G6:G8) с главным элементом. Копируем значения из G6:G8 и, выделив B6:B8, помещаем специальной вставкой (значения) в столбец единичной матрицы. Не сбрасывая выделение B6:B8, запускаем (по Ctrl+Shift+L или кликнув по L-кружку фигуры) макрос Lk нормирования этого вектора. В результате получаем

показанную в таблице 2.2 (для этапа 4 ) матрицу L1. После умножения (на этапе 5 ) этой матрицы на расширенную матрицу P1*Ab1

до получения матрицы Ab3 (G18:J20), у которой все элементы под главной диагональю (левой (3х3)-подматрицы Ab3) равны нулю. Расширенная матрица Ab3 соответствует СЛАУ с верхней треугольной матрицей; она просто решается последовательным вычислением

x3 - обратной подстановкой. Еѐ алгоритм реализован в макросе TrSolve, который запускаем по Ctrl+Shift+x (или кликнув по соответствующему x-кружку фигуры) при предварительно выделенной расши-

ренной матрице (G18:J20) и выводим (на этапе 10 ) вычисленные неизвестные x1 , x2 , x3 системы в ячейки G21:I21 под соответствующими столбцами верхней треугольной матрицы Ab3.

50