ЭВМ_Семестр3_МетодПособие

для определения неизвестных коэффициентов с1, , cm при базисных функциях приближающей зависимости по методу наименьших квадратов.

5.1.3 Пример решения задачи (выполнения задания 2)

размещения коэффициентов уравнений наблюдений,

причѐм значения коэффициентов матрицы F разместим в диапазоне ячеек A3:C12, а значения y - в диапазоне D3:D12 (см. таблицу 5.4). В диапазоне E3:E12, которому присвоим имя «x», разместим значения x, а диапазон A1:E2 используем для названий. Поместим в ячейки A3, B3 и C3 соответственно «=1/x», «1» и «=КОРЕНЬ(x)», а затем, «протянув» эти ячейки вниз, заполним весь диапазон F значениями. Выделим диапазон ячеек F2:I3 под коэффициенты нормальной системы уравнений, затем нажмем клавишу F2 и в начальную ячейку (F2) выделенного диапазона введѐм формулу =МУМНОЖ(ТРАНСП(A3:C12);A3:D12). После нажатия клавиш Ctrl+Shift+Enter вычисленные элементы матрицы A=FTF помещаются в диапазон ячеек F2:H4, а вектор b= FTy займѐт диапазон I2:I4.

91

«=с1/arg+с2+с3*КОРЕНЬ(arg)» для расчѐта значений приближающей функции. Отметим, что с1, с2, с3 - это не ячейки, а набитые в русском регистре имена, присвоенные ячейкам с вычисленными ранее коэффициентами приближающей функции. После «протягивания» этой формулы вниз диапазон C14:C23 заполняется значениями функции. Выделив далее диапазон ячеек B13:C23, вставляется то-

чечная диаграмма, на которой гладкой кривой изображается график приближающей функции. Кликнув правой кнопкой мыши по легенде и выбрав добавление данных, можно добавить к диаграмме исходные точки x, y. Полученная диаграмма с графиком приближающей функции и исходными (экспериментальными) точками данных показана на рис. 5.10.

Вычисления для примера 5.3 в MatLab.

Полагая, что на листе Excel уже подготовлены диапазоны с векторами x, y и arg, произведѐм их пересылку в MatLab, и запустим в MatLab выполнение следующих команд:

fi=inline(ʹ[1.*x, 1./x, 1+x.^0]ʹ) c=fi(x)\y

f=fi(arg)*c

93

После их выполнения перешлѐм из MatLab в Excel вектор f (на место значений f(arg)) и вектор коэффициентов c. График по значениям векторов x, y и arg, f удобно построить на точечной диаграмме.

5.1.4 Замечания осглаживанииданных методомнаименьших квадратов

1.В рассмотренном примере 5.3 базисные функции подбирались с учѐтом известных сведений о характере поведения величин, составляющих исходные данные. В случаях, когда подобный выбор базисных функций затруднителен, можно использовать какой-либо «универсальный» класс функций. К таким функциям можно отнести сплайн-функции. Для периодических функций хороший результат может дать использование тригонометрических рядов.

2.В рассматриваемых задачах сглаживания обычно предполагается, что число n точек данных велико (n>m) и их расположение таково, что, в крайнем случае, можно по каким-то m из них провести приближающую функцию (получить хотя бы один набор из m коэффициентов в линейной комбинации базисных функций). В этом случае нормальная система уравнений позволяет получить единственное решение задачи сглаживания. В вырожденных случаях нормальная система не позволяет найти единственное решение задачи – для од-

нозначности решения задачи Fc=y, c=? еѐ обычно дополняют требованием минимальности нормы вектора коэффициентов c .

3.При неудачном выборе базисных функций и данных нормальная система уравнений может оказаться плохо обусловленной. Например, при данных, отличающихся на порядки, полиномиальный базис (5.7) даѐт уравнения, коэффициенты которых отличаются на порядки. В таких случаях надо масштабировать данные либо лучше изначально решать задачу Fc=y, c=? устойчивым вычислительным методом (как это сделано в разделе «Вычисления для примера 5.3 в MatLab»).

5.2 Задание к расчетно-графической работе №5

Задание 1. Определить "вручную" коэффициенты c1 , c2 двух функций fа ( x) , fб ( x) , приближающих по методу наименьших квадратов точки данных (см. таблицу 5.6), ординаты которых выделены жирным шрифтом:

94

тов;

б) fб ( x) - функция, взятая в рамку (в таблице 5.6 вариантов заданий).

По результатам построить в Excel графики функций и показать на них точки данных. (см. в примере 5.2 «Детали построения в Excel графика функции f(arg)»). Все расчеты привести в отчете по работе.

Задание 2. Выполнить на компьютере аппроксимацию по методу наименьших квадратов функцией (с тремя коэффициенты c1, c2 , c3) всех указанных в таблице 5.6 точек данных. Получить на графике вид этой функции и всех приближаемых точек. В отчете описать программу (алгоритм) действий и привести полученный график.

Варианты заданий

Таблица 5.6

95

96

Рекомендуемая литература

1.Демидович Б.П. Основы вычислительной математики. –М.:

Наука, 1966, -664с.

2.Метьюз Д.,Финк К. Численные методы. Использование

MATLAB.,М.-Спб.-К., «Вильямс»2001, 716с.

3.Кузьменко В.Г. VBA эффективное использование. М. БИ-

НОМ 2009. - 617с.

4.Калядин В.И., Макаров А.И. Основы работы на персональном компьютере: сборник лабораторных работ. - М.;МГТУ «МА-

МИ», 2010. - 85с.. -58с.

5.Калядин В.И. Численные методы: решение задач в Excel на VBA: учебное пособие. - М.;Университет машиностоления,

2013. - 142с.

6.Антомони В.И., Архипов В.Н., Любин А.Н., Тихомиров В.Н. ПРОГРАММИРОВАНИЕ НА VBA В MICROSOFT OFFICE: сборник лабораторных работ по дисциплине «Информатика» для студентов всех специальностей. - М.:МГТУ «МАМИ». 2011, 160 с.

7.Дьяконов В.П. MATLAB 7.*/R2006/R2007. Самоучитель ДМК, 2008.

97

Приложение А

Справочные сведения по работе с пакетом MATLAB

Основные правила работы в окне команд

–команды задаются справа от символов >> приглашения к вводу;

–комментарий можно набить справа от символа % ;

–команда выполняется после нажатия клавиши Enter;

–для вызова ранее введѐнной команды (для редактирования и исполнения) следует использовать клавишу «стрелка вверх», по «стрелке вниз» команды просматриваются в обратном порядке;

–для присваивания следует справа от имени переменной или массива указать символ присваивания = и присваиваемую величину;

–в именах MATLAB различает прописные и строчные буквы;

–массивы заключаются в квадратные скобки, отдельные элементы указываются с индексом в круглых скобках;

–для инструкции, которая заканчивается точкой с запятой «;», результат не выводится на экран;

–если не указана переменная для значения результата, он присваивается (и выводится) переменной с именем ans, сохраняющей значение до следующего присваивания;

–встроенные функции (например, sin) набиваются строчными буквами, за которыми в круглых скобках указывается аргумент (аргументы);

–команда clc очищает командное окно (от ранее введѐнных команд) и размещает курсор в левом верхнем углу окна справа от символов >> приглашения к вводу;

–команда home окно не очищает от команд, а размещает курсор в левом верхнем углу окна справа от символов >> приглашения к вводу.

98

Интерактивная справка по MATLAB

Интерактивную справку по MATLAB можно получить, нажав F1 (выбрав Help в меню) или набрав в строке командного окна команду

>> help

а затем, выбрав (кликнув мышкой) из предложенных разделов, на-

пример, matlab\opt, можно получить список арифметических операторов и соответствующих им функций – он приведѐн в таб-

лице A.1. Справки по другим объектам MATLAB можно получить, набрав:

>> help объект

Арифметические операторы и функции

Таблица A.1. Арифметические операторы и функции MATLAB

99

Пояснения.

Все операции в MATLAB реализуются как функции, а часто используемым операциям ставится в соответствие оператор, который употребляется в выражениях командной строки. Например, действие с оператором «+»

>> 2+3

может быть реализовано посредством функции

>> plus(2, 3)

и даѐт, разумеется, одинаковый результат.

Все данные в MATLAB представляются как матрицы (M1, M2) или массивы (A, A1, A2), и операции с ними производятся как действия над матрицами (матричные операции) или над элементами массивов (поэлементные операции). Например, для вектор-столбцов v, w и век- тор-строк vt, wt произведение vt*w трактуется как матричная операция умножение (или в данном случае как скалярное произведение):

>>v=[1;2;3]; vt=[1 2 3];

>>w=[1;1;2]; wt=[1 1 2];

>>wt*v

ans =

9

и даѐт результат 9 = 1 ∙ 1 + 1 ∙ 2 + 2 ∙ 3.

Но поэлементное умножение вектор-строк wt.*vt даст иной результат:

>> wt.*vt ans =

1 2 6

Заметим, то формы массивов (вектор-строки или вектор-столбцы) должны быть согласованы. Например, попытка выполнить поэле-

100