Тема 8. Принятие решений в условиях полной неопределенности.

Неопределенность является характеристикой внешней среды (природы), в которой принимается решение о развитии (или функционировании) экономического объекта. Здесь будем рассматривать неопределенность «природы», вызванную отсутствием, недостатком информации о действительных условиях (факторах), при которых развивается объект управления. Внешняя среда («природа») может находиться в одном из множеств возможных состояний. Это множество может быть конечным и бесконечным. Будем считать, что множество состояний конечно или, по крайней мере, количество состояний можно пронумеровать.

Пусть S_i -состояние «природы», при этом i=1,2,…,n, где n - число возможных состояний. Все возможные состояния известны, не известно только, какое состояние будет иметь место в условиях, когда планируется реализация принимаемого решения. Будем считать, что множество управленческих решений (планов) R_j также конечно и равно m. Реализация R_j плана условиях когда «природа» находится в S_i состоянии, приводит к определенному результату, который можно оценить, введя количественную меру. В качестве этой меры могут служить:

• выигрыши от принимаемого решения (плана);

• потери от принимаемого решения;

• полезность, риск и другие количественные критерии.

Данные, необходимые для принятия решений в условиях неопределенности обычно задаются в форме матрицы, строки которой соответствуют возможным решениям R_j, а столбцы возможным состояниям «природы» S_i.

Допустим каждому R_j-му решению и каждому возможному S_i-му состоянию «природы» соответствует результат (выигрыш полезности) при выборе j-го действия и реализации i-го состояния.

	S1	S2	…	Si	…	Sn
R1	v11	v12	…	v1i	…	v1n
R2	v21	v22	…	v2i	…	v2n
…	…	…	…	…	…	…
Rm	vm1	vm2	…	vmi	…	vmn

Следовательно математическая модель задачи принятия решений определяется множеством состояний {S_i}, множество планов стратегий {R_j} и матрицей возможных результатов ║V_ji║. В качестве результатов в отдельных задачах рассматривается матрица рисков ║R_ji║.

Риск мера несоответствия между разными возможными результатами принятия отдельных стратегий (действий).

Элементы матрицы рисков связаны с элементами матрицы полезностей (выигрышей) следующим соотношением: r_ji=v_i-v_ji, где v_i=max v_ji - максимальный элемент в столбце i-ой матрицы полезности.

Если матрица возможных результатов ║V_ji║ представляет матрицу потерь (затрат), то элементы матрицы рисков r_ji следует определять по формуле r_ji=v_ji -v_i, где v_i=min v_{j i} - минимальный элемент в столбце i-ой матрицы потерь (результатов).

Таким образом, риск - это разность между результатом который можно получить, если знать действительное состояние «природы», и результатом, который будет получен при j-ой стратегии.

Матрица рисков дает наиболее наглядную картину неопределенной ситуации, чем матрица выигрышей.

Непосредственный анализ матриц выигрышей или рисков не позволяет в общем случае принять решение по выбору оптимальной стратегии, за исключением, когда выигрыш по одной стратегии выше, чем любой другой для каждого состояния «природы» (элементы матрицы выигрышей в некоторой строке больше чем в любой другой). Другими словами, имеется в наличии «доминирующая» стратегия.

Для принятия решения в условиях неопределенности используется ряд критериев. Рассмотрим некоторые из них. Это критерий Лапласа, Вальда, Севиджа, Гурвица.

1. Лапласа. Согласно данному критерию все состояния «природы» S_i равновероятные. В соответствии с этим принципом каждому состоянию S_i ставится вероятность p_i определяемая по формуле p_i=.

При этом исходной может рассматриваться задача принятия решений в условиях риска, когда выбирается стратегия, дающая наибольший ожидаемый выигрыш. При принятии решения для каждой стратегии вычисляется среднее арифметическое значение выигрыша; М(R_j) =∑ (v_ji). Среди найденных значений выбирают максимальное значение, которое будет соответствовать оптимальной стратегии R_j.

R={∑ (v_ji )}

Если задана матрица рисков, то критерий Лапласа примет следующий вид: R={∑ (r_ji )}.

Пример 1. Одно из транспортных предприятий определить уровень своих провозных возможностей, так чтобы удовлетворить спрос клиентов на транспортные услуги на планируемый период. Спрос на транспортные услуги не известен, но ожидается, что может принять одно из четырех значений: 10,15,20,25 тыс. тонн.

Для каждого уровня спроса существует наилучший уровень провозных возможностей транспортного предприятия (с точки зрения возможных затрат). Отклонение от этих уровней приводит к дополнительным затратам.

Ниже приводится таблица, определяющая возможные прогнозируемые затраты на развитие провозных возможностей:

варианты	Варианты спроса на транспортные услуги
	1	2	3	4
1	6	12	20	24
2	9	7	9	28
3	23	18	15	19
4	27	24	21	15
min	6	7	9	15

Затраты на развитие провозных возможностей заданы следующей матрицей (таблицей):

	S1	S2	S3	S4
R1	0	5	11	9
R2	3	0	0	13
R3	17	11	6	4
R4	21	17	12	0

Принцип Лапласа предполагает, что S₁, S₂, S₃, S₄ равновероятны. Следовательно, p==0,25 и ожидаемые затраты при различных действиях R₁, R₂, R₃, R₄ составляют:

М (R₁)=0,25∙ (6+12+20+24)=15,5;

М (R₂)=0,25∙ (9+7+9+28)=13,25;

М (R₃)=0,25∙ (23+18+15+19)=18,75;

М (R₄)=0,25∙ (27+24+21+15)=21,75.

Таким образом, наилучшей стратегией развития провозных возможностей в соответствии с критерием Лапласа будет R_4.

2. Критерий Вальда (минимаксный или максиминный критерий).

Применение данного критерия не требует знания вероятностей состояний S_i. Этот критерий опирается на принцип наибольшей осторожности, поскольку он основывается на выборе наилучшей из наихудших стратегий R_i.

Если в исходной матрице (по условию задачи) результат представляет потери лица, принимающего решение, то при выборе оптимальных стратегий используется минимаксный критерий. Для определения оптимальной стратегии R_i необходимо в каждой строке матрицы результатов нати наибольший элемент, а затем выбирается действие R_i, которому будет соответствовать наименьший элемент из этих наибольших элементов, т.е. действие, определяющее результат, равный

W=min max V_ji.

Если в исходной матрице (по условию задачи) результат представляет выигрыш (полезность) лица, принимающего решение, то при выборе оптимальной стратегии используется максиминный критерий.

Для определения оптимальной стратегии R_i в каждой строке матрицы результатов находят наименьший элемент, а затем выбирается действие R_i, к которому будет соответствовать наибольшие элементы из этих наименьших элементов, т.е. действие, определяющее результат, равный

W= max min V_ji.

Пример 2. Так как V_ji в этом примере представляет потери (затраты), применим минимаксный критерий. Необходимые результаты вычисления приведены в следующей таблице:

	Затраты				max	W=max min Vji.
	S1	S2	S3	S4
R1	6	12	20	24	24
R2	9	7	9	28	28
R3	23	18	15	19	23	23
R4	27	24	21	15	27

Таким образом, наилучшей стратегией провозных возможностей в соответствии с минимаксным критерием «лучшим из худших» будет третья, т.е. R₃.

Минимаксный критерий Вальда иногда приводит к нелогичным выводам из-за своей чрезмерной «пессимистичности». «Пессимистичность» этого критерия исправляет критерий Сэвиджа.

3. Критерий Сэвиджа. Данный критерий использует матрицу рисков r_ji. Элементы данной матрицы можно определить по формулам которые перепишем в следующем виде:

r_ji=max V_ji.- V_ji , -если V_ji - выигрыш,

r_ji=V_ji-min V_ji,, -если V_ji - потери.