Обработка эксперим данных Роганов

Xi и X j .

Поскольку

при

любом

с

D(X i +cX j

)= DX i +c2 DX j + 2ccov X i X j ≥ 0 ,

то,

полагая

c = −(cov Xi X j )/ DX j ,

найдем

DXi −(cov Xi X j )2 / DX j ≥ 0 ,

т.е.

cov XiX j ≤

DXiDX j .

Отсюда следует существование матрицы ковариаций

n

n

n

D ∑Xi

= ∑DXi + ∑cov Xi X j

i=1

i=1

i, j=1

r

= cov XiX j .

ij

DXiDX j

Мы видели, что cov XiX j ≤

≤1, rii =1, i,j=1,…,n.

DXiDX j , так что

rij

X i

X j

= 2(1± r

)≥ 0

D

±

σ

σ

ij

i

j

X

i

X j

отсюда

r = ±1

тогда и только тогда, когда

D

±

= 0 , а это, в свою

σ

σ

ij

i

j

величина Y =

X

i

±

X j

равна постоянной с вероятностью 1.

Таким образом,

σ j

σi

Xi =αX j + β (линейно связаны), если и только если rij = ±1.

Если

rij > 0 , то

говорят,

что

между

Xi и X j

положительная

корреляция, и это означает, что

Xi

и Xj имеют тенденцию возрастать и

убывать

одновременно.

При rij

< 0

ситуация

обратная.

Если

rij = 0 , то

говорят,

что

случайные

величины

Xi

и Xj

некоррелированы,

и этому

порядка МХ2 < ∞.

Из МХ2 < ∞, МY2 < ∞

следует, что при любых

постоянных а и b

M (aX +bY )2 < ∞, поэтому

множество таких случайных

использовать

χ2n —распределение

(распределение

Пирсона),

tn —

распределение

(распределение

Стьюдента) и

Fk,m —распределение

распределение случайной величины χ2

= X2

+...+X2 ,

где все X i N (0, 1) и

n

1

n

независимы.

Найдем

плотность распределения

χ2n .

Случайный вектор

−

1

n

x2

X = (X , ...,

X )

p(x1 , ..., xn )=

1

e

∑i=1

2

i

1

n

имеет плотность

поэтому

n / 2

(2π )

1

n

F(x)= P(χn2 < x)= n ∫...∫

1

e−

∑i=1 xi2 dx1...dxn

2

(2π )n / 2

∑xi2 <x

i=1

Введем сферические координаты:

x1 = ρcosϕ1,

x2 = ρsinϕ1 cosϕ2 ,

.................................,

xn = ρsinϕ1 sinϕ2...sinϕn−1,

−π / 2 ≤ϕi ≤ π / 2, i = 1, ..., n - 2,

-π ≤ϕn-1 ≤ π.

Тогда

ρ2

π

π

1

x

dρ 2 ∫2

... ∫2

F(x)

=

∫ρn−1e−

(ϕ1, ..., ϕn−1 )dϕ1, ..., dϕn−1 =

2

n / 2

(2π )

0

π

π

−2 −2

123

ωn−1

x

−

ρ2

∫0 ρ

n−1

2

=

e

dρ

(2π )n / 2

где ωn−1 — площадь поверхности единичной (n – 1)-мерной сферы;

ωn−1

легко вычислить исходя из последней формулы. Поскольку F (+ ∞)=1, то

ω

∞

n−1

−

ρ2

ω

n

n

−1

n−1

∫0

n−1

1 =

ρ

e

2 dρ

=

Γ

22

(2π )n−1

(2π )n−1

2

Таким образом,

ω

n−1

=

2π n / 2

n

Γ

2

Подставляя ωn−1 в формулу для F(x), находим окончательно

1

∞

ρ2

F(x)=

∫ρn−1e−

dρ, x > 0

2

n

−1

n

22

Γ

0

2

Поскольку P(χn2 < x)= 0

при

x ≤ 0 ,

то

F(x)=0,

x ≤ 0 . Отсюда

и из

последней формулы для F(x) получаем

1

n

−1

−

x

x 2

e

2

n

pχ2 (x)=

′

n / 2

, x > 0

F

(x)= 2 Γ

2

n

0,

x ≤ 0

Зная pχ2n , найдем Mχ2n

и Dχ2n

:

1

∞

n

x

2

n

+1

n

−

2

2

M χn2 =

∫x

e

2 dx =

Γ

+1

= n

n / 2

n

n / 2

n

2

2

Γ

0

2

Γ

2

2

1

∞

n

x

2

n

+2

n

+1

−

2

∫

2

2

M

x

e 2 dx =

= n

+ 2n

2 =

Γ

+ 2

n

n

2

(χn2 )

n / 2

n / 2

2

Γ

0

2

Γ

2

2

то Dχ2

= 2n .

n

распределение случайной величины tn = X / Y , где X N (0, 1),

Y =

χ2n / n ,

χ2n определено

в 1) и Х и Y независимы.

В силу последнего

условия

случайный вектор (Х, Y) имеет

плотность

p(x1 , x2 )= pX (x1 )pY (x2 ), а

плотность частного Х/Y определяется с помощью формулы

X

0

∞

P

< y

=

∫∫p1 (x1 )p2 (x2 )dx1dx2 = ∫ p2 (x2 )dx2

∫ p1

(x1 )dx1 +

Y

x

/ x <y

−∞

x y

1

2

2

∞

x2 y

(x1 )dx1

+ ∫ p2

(x2 )dx2 ∫ p1

0

−∞

0

−∞

Далее,

F

2

= P(χ 2

< x2 n)= F 2 (x2 n)

(x)= P

χn

< x

Y

n

n

χn

Так как Mχ2 = n , то плотность распределения Y равна

n

n

n

x2n

2

−

−

xn 1e

2 , x > 0

2

n

′

(x n) 2xn =

−1

n

pY (x)= FY

(x)= pχn2

2

2

Γ

2

0,

x ≤ 0