Обработка эксперим данных Роганов

образом, вычислительный эксперимент основывается на создании математических моделей изучаемых объектов, которые формируются с помощью некоторой особой математической структуры, способной отражать свойства объекта, проявляемые им в различных экспериментальных условиях.

Однако эти математические структуры превращаются в модели лишь тогда, когда элементам структуры дается физическая интерпретация, когда устанавливается соотношение между параметрами математической структуры и экспериментально определенными свойствами объекта, когда характеристики элементов модели и самой модели в целом находят соответствие свойствам объекта. Таким образом, математические структуры вместе с описанием соответствия экспериментально обнаруженным свойствам объекта и являются моделью изучаемого объекта, отражая в математической, символической (знаковой) форме объективно существующие в природе зависимости, связи и законы. Модель может (если возможно) сопровождаться элементами наглядности и поясняться наглядным образом. В какой-то своей части она может осуществляться с каким-либо наглядным образом или реальным устройством, а модель сложного устройства может по каким-то свойствам уподобляться модели простого объекта.

Таким образом, каждый вычислительный эксперимент основывается как на математической модели, так и на приемах вычислительной математики.

На основе вычислительной математики создались теория и практика вычислительного эксперимента, технологический цикл которого принято разделять на следующие этапы.

1. Для исследуемого объекта строится модель, обычно сначала физическая, фиксирующая разделение всех действующих в рассматриваемом данном явлении факторов на главные и второстепенные, которые на данном этапе исследования отбрасываются; одновременно формулируются допущения и условия применимости модели, границы в которых будут справедливы полученные результаты; модель записывается в математических

151

терминах, как правило, в виде дифференциальных или интегродифференциальных уравнений; создание математической модели проводится специалистами, хорошо знающими данную область естествознания или техники, а также математиками, представляющими себе возможности решения математической задачи.

2.Разрабатывается метод расчета сформулированной математической задачи. Эта задача представляется в виде совокупности алгебраических формул, по которым должны вестись вычисления и условия, показывающие последовательность применения этих формул; набор этих формул и условий носит название вычислительного алгоритма. Вычислительный эксперимент имеет многовариантный характер, так как решения поставленных задач часто зависят от многочисленных входных параметров. Тем не менее, каждый конкретный расчет в вычислительном эксперименте проводится при фиксированных значениях всех параметров. Между тем в результате такового эксперимента часто ставится задача определения оптимального набора параметров. Поэтому при создании оптимальной установки приводится проводить большое число расчетов однотипных вариантов задачи, отличающихся значением некоторых параметров. В связи с этим при организации вычислительного эксперимента можно использовать эффективные численные методы.

3.Разрабатываются алгоритм и программа решения задачи на ЭВМ. Программирование решений определяется теперь не только искусством и опытом исполнителя, а перерастает в самостоятельную науку со своими принципиальными подходами.

4.Проведение расчетов на ЭВМ. Результат получается в виде некоторой цифровой информации, которую далее необходимо будет расшифровать. Точность информации определяется при вычислительном эксперименте достоверностью модели, положенной в основу эксперимента, правильностью алгоритмов и программ (проводятся предварительные «тестовые» испытания).

152

5. Обработка результатов расчетов, их анализ и выводы. На этом этапе могут возникнуть необходимость уточнения математической модели (усложнения или, наоборот, упрощения), предложения по созданию упрощенных инженерных способов решения и формул, дающих возможности получить необходимую информацию более простым способом.

Особенностью вычислительного эксперимента является его многовариантность, т.е. возможность проводить многократные расчеты на ЭВМ при самых различных (естественно, имеющих физический смысл) вариантах параметров изучаемого объекта (системы, процесса). В этом случае исследователь по отношению к математической модели является фактически экспериментатором. Саму математическую модель, реализованную на ЭВМ, можно представить в качестве экспериментальной установки, а серии расчетов – измерениями.

Вычислительный эксперимент приобретает исключительное значение в тех случаях, когда натурный эксперимент и построение физической модели оказываются невозможными. Например, оптимизация системы: производительность и специализация сети станций технического обслуживания автомобилей, их количество для данного региона, место расположения.

§ 3. Понятие о доверительной вероятности и уровне значимости

Параметры экспериментального распределения всегда отличаются от соответствующих статистических оценок всей генеральной совокупности вследствие ограниченности и случайного состава выборки. Поэтому такое приближенное случайное значение называется оценкой параметра. Для того чтобы учесть это возможное отличие, вводится понятие доверительной вероятности и уровня значимости.

Доверительной вероятностью pd (достоверностью) называют вероятность того, что истинное значение оцениваемого параметра или числовой характеристики лежит в заданном интервале, называемом

153

доверительным. Значение pd определяется в долях единицы или в процентах. В решении большинства научных и инженерных задач автомобильного транспорта рекомендуется принимать pd = 0,9-0,95. Физический смысл в данном случае заключается в том, что в 90 или 95 случаях (опытах) из 100 оцениваемый параметр попадет в доверительней интервал, или, другими словами, вероятность принятия правильного ответа составит 0,90 или 0,95, т.е. 90% или 95%. Таким образом принятое значение РА характеризует вероятность принятия правильного ответа.

На практике интерес может представлять и односторонняя доверительная вероятность, что числовая характеристика не меньше нижней или не выше верхней границы. Первое условие относится в частности к вероятности безотказной работы, средней наработке на отказ, оценке ресурса и т.п., второе – к среднему времени восстановления (ремонта), расходу запасных частей и т.п. Например, оценка средней наработки на отказ должна быть не менее пробега (периодичности) до очередного ТО-2, среднее время (или трудоемкость) обслуживания или ремонта автомобиля – не более какого-либо заданного значения.

Значение α =1 − PD называют уровнем значимости. Из этого следует,

что характеризует вероятность принятия неправильного ответа. Соответственно рекомендуется принимать =0,05..0,1, т.е. вероятность ошибки должна быть в пределах 5% или 10%.

Значениями α и pd пользуются не только при проверке различных статистических гипотез, но и при статистическом контроле качества продукции. При этом α называют еще ошибкой первого рода или риском изготовителя (поставщика). Ошибка первого рода возникает тогда, когда заказчик бракует на основании выборочного контроля годную партию продукции с низким процентом брака, так как отобранная выборка содержала больше дефектных изделий, чем это предусмотрено приемочном числом. Например, если вся партия продукции содержит 4% брака, а в выборочной

154

партии окажется 6% бракованных изделий, то при α =0,05 вся партия будет забракована.

С другой стороны, может оказаться, что партия изделий с высоким содержанием бракованных изделий (например, 15%) может быть принята при pd = 0,9, если взятая из нее выборка случайно содержит небольшое число дефектных изделий. Такое ошибочное решение называют ошибкой второго рода, или риском заказчика, т.е. риском потребителя.

§ 4. Анализ однородности результатов эксперимента

Особое значение в предварительной обработке результатов эксперимента имеет анализ грубых, резко выделяющихся значений, т.е. анализ однородности экспериментального распределения. Появление этих ошибок вполне вероятно, а наличие их ощутимо влияет на результат эксперимента. Однако прежде, чем исключить то или иное измерение, необходимо убедиться, что это действительно грубая ошибка, а не отклонение вследствие статистического разброса. Применяется несколько математических критериев определения грубых ошибок статистического ряда. Рассмотрим один из них – критерий Романовского В.И., который более эффективно применим для малых выборок [8].

Члены выборки xi (i=1, n; n – объем выборки) располагают, как правило, в порядке возрастания. Полагают, что первый член выборки x1 является спорным, т.е. x1= xcn. Вычисляют без учета спорного члена xcn ряда распределения среднее

и среднеквадратическое отклонение σx :

при n≤30

155

По таблице 9.1 определяют теоретическое значение критерии Романовского tα,N , которое зависит от объема выборки n и уровня

Если tрасч> tα,N , то проверяемый член можно исключить из выборки.

Сначала выборка проверяется на однородность слева, т.е. анализируются первые члены ряда распределения, а затем справа – проверяются на однородность последние члены экспериментального ряда. Если один из крайних членов исключается, то проверяется следующий член выборки. При этом необходимо каждой раз пересчитывать x и σ x без

156

исключенного члена и без учета вновь проверяемого на однородность члена. При этом в формулах (9.1 – 9.3) объем выборки Ni не учитывает ни спорные члены выборки, ни исключенные.

Расчет продолжается до тех пор, пока не будет доказано, что оставшиеся крайние члены принадлежат выборке.

Пользователь сравнивает tрасч с и делает вывод о целесообразности исключения или оставления в выборке проверяемого члена. При этом необходимо также учитывать физические закономерности формирования изучаемого процесса, значимость каждого экспериментального данного xi, проводить анализ причинно-следственных связей результатов эксперимента с влияющими на него факторами и делать логические выводы о случайном или вполне закономерном результате – в частности об xcn. Таким образом,

сравнение tрасч с tα,N носит только рекомендательный характер, а принятие

окончательного решения имеет творческий характер и принимает его исследователь.

При необходимости исключить или оставить в выборке xcn в файл исходных данных вносятся соответствующие изменения, и цикл расчётов повторяется.

§ 5. Построение интервального ряда экспериментального распределения

Применяя формулу Стеджерса [9], находим приближенную ширину интервала

следует взять либо ближайшее целое число, либо ближайшую несложную дробь. Если в качестве признака xi рассматриваются значения пробегов, наработок и т.п., выраженные в тыс.км, то ширину интервала рекомендуется

157

округлять до ближайшего значения, кратного 5, например, 5, 10 или 15 тыс.км.

Учитывая нежелательность совпадения отсчётов с границами интервалов, рекомендуется вычислить значения и .

Значение коэффициента 0,15 носит рекомендательный характер и указывает лишь на то, что при выборе новых значений и не желательно отступать более чем на (0,1..0,2) ширины интервала, а целесообразно принимать значения, кратные ширине интервале

Определяем число интервалов группирования экспериментальных данных

.(3.7)

Для сравнительно небольших объемов выборки (n<100) рекомендуется принимать значение k = 4…8. При слишком большом числе интервалов картина распределения будет искажена случайными зигзагами частот, слишком малочисленных при узких промежутках. При слишком малом k будут сглажены и затушеваны характерные особенности распределения. В оптимальном случае в каждом из интервалов ki должно быть не менее 5 значений экспериментальных данных (признака xi).

При выборе k также рекомендуется корректировать значения x′max , x′min и X для того, чтобы значение k было равно целому числу. При округлении в меньшую сторону необходимо следить за тем, чтобы xmax′

попало в последний интервал.

В каждом из интервалов ki определяем значение середины интервала и число экспериментальных значений xi попавших в интервал, т.е. частоту ni рассматриваемых событий.

158

проведенного эксперимента и численно равная половине ширины доверительного интервала.

Для n 30 оценка определяется по формуле

,(3.11)

где – значение критерия (квантиля) распределения Стьюдента, при односторонней точности оценки параметра, соответствующее доверительной вероятности pd=1– и числу степеней свободы =n–1, определяемое по таблицам распределения Стьюдента (табл. 3.2).

Для объема выборки n>30

.(3.12)

Таблица 3.2 Значения критерия Стьюдента

Относительная точность оценки математического ожидания опре-

и характеризует относительную ширину половины доверительного

доверительного интервала будет равна 10% от , следовательно, чем ниже , тем более точны будут результата прогнозирования на основании проведенного эксперимента.

160