Обработка эксперим данных Роганов

Продифференцируем это равенство по х, а затем устремим y → 0 и

воспользуемся теоремой о среднем для интеграла по промежутку [y, y + y];

в результате найдем:

Функция pX (x / y) называется плотностью вероятности условного распределения Х при условии Y=y. Равенство можно переписать в виде

p(x, y)= pY (y)pX (x / y)

напоминающем по форме теорему умножения вероятностей. Имеет место равенство

FX (x /Y = y)= P(X < x /Y = y)= ∫x pX (t / y)dt

51

независимыми (в совокупности), если для любых x1, ..., xn события

(X1 < x1 )..., (X n < xn ) независимы в совокупности, т.е.

P((X1 < x1 )I ...I (X n < xn ))= P(X1 < x1 )...P (X n < xn )

или, что то же самое,

F(x1, ..., xn )= FX1 (x1 ), ..., FXn (xn )

Для независимых случайных величин Х и Y имеем при любых x1 < x2

k, j = 1, 2, ….

Подставляя эти выражения в (4), получаем, что условие

P(X = xk ,Y = y j )= P(X = xk )P(Y = y j ) k, j =1, 2, ...

52

является необходимым и достаточным условием независимости дискретных случайных величин Х и Y.

Равенство F(x1, ..., xn )= FX1 (x1 ), ..., FXn (xn ) служит определением независимости случайных величин Х1, …, Хn. Если независимые случайные величины Х и Y имеют соответственно плотности вероятности pX (x) и pY (y),

то вектор (Х, Y) имеет плотность p(x, y)= pX (x)pY (y).

Важным является обратное утверждение: если плотность р(х, у)

ограничимся случаем двух случайных величин. Итак, пусть на

распределения случайного вектора (X1 , X 2 ). Рассмотрим некоторые функции от случайных величин Х1 и Х2, т.е. новые случайные величины Y1 и Y2, связанные функциональными зависимостями с Х1 и Х2,

Y1 = f1 (X1 , X 2 )= f1 (X1 (ω), X 2 (ω))=Y1 (ω)

Y2 = f2 (X1 , X 2 )= f2 (X1 (ω), X 2 (ω))=Y2 (ω)

Здесь предполагается, что f1 и f2 таковы, что Y1 и Y2 вновь являются случайными величинами, определенными на том же вероятностном пространстве (количество функций Yi может быть любым). Таким образом, Y1 и Y2 являются сложными функциями ω, заданными на Ω.

Основная задача, возникающая в этой ситуации, состоит в том, чтобы,

зная функцию распределения F(x1 , x2 ) случайного вектора(X1 , X 2 ) и

функции f1 и f2 найти функцию распределения Φ(y1 , y2 ) случайного вектора

53

(Y1 ,Y2 ). Для дискретных и непрерывных случайных величин указанная задача решается без труда. Действительно, имеем

Φ(y1 , y2 )= P(Y1 < y1 ,Y2 < y2 )= P(f1 (X1 , X 2 )< y1 , f2 (X1 , X 2 )< y2 ),

Φ(y1 , y2 )= ∑pij

i. jΛ

где суммирование распространено на множество индексов (i, j) Λ,

Λ = ((i, j): f1 (x1i , x2 j )< y1, f2 (xi1, x2 j )< y2 ),

(X1 , X 2 ). Имеем

Φ(y)= P(Y < y)= P(X1 + X 2 < y)= ∫∫p(x1, x2 )dx1dx2 =

x1+x2 <y

Сделав в интеграле замену переменных x1 + x2 = z, x1 = x1 , якобиан отображения (x1 , x2 )→ (x1 , z) равен 1, получим

y∞

Φ(y)= ∫ ∫ p(x1, z − x1 )dx1.

−∞ −∞

Отсюда следует, что случайная величина Y имеет плотность вероятности

54

pY (y)= Φ′(y)= ∞∫ p(x1, y − x1 )dx1.

−∞

Таким образом, если двумерное распределение слагаемых Х1 и Х2

Определение закона распределения суммы по законам распределения независимых слагаемых называется композицией законов распределения слагаемых.

Имеет место следующая

также случайные величины. Тогда Y1 и Y2 независимы, т.е. функции от независимых случайных величин являются независимыми случайными величинами.

Доказательство. Проведем доказательство для дискретных случайных

дискретны, пусть λ и μ — любые фиксированные значения Y1 и Y2 . В силу независимости случайных величин Х1 и Х2 , можем записать

55

что ввиду независимости случайных величин Х1 и Х2 и произвольностиλ и

μ означает независимость случайных величинY1 = f1 (X1 ) и Y2 = f2 (X 2 ).

Пример. Пусть (X, Y) непрерывный случайный вектор с плотностью вероятности р(х, у). Найдем функцию распределения произведения Z=X+Y. Имеем

56

Глава 3

Числовые характеристики случайных величин § 1. Основные определения. Моменты случайных величин

Определение 1. Моментом (начальным) порядка k дискретной случайной величины Х, принимающей значения xi с вероятностями

P(X = xi )= pi , i = 1, 2, …, называется число [9]

∞

MXk = ∑xik pi ,

i=1

при условии, что данный ряд сходится абсолютно, т.е.

∞

M Xk = ∑ xi k pi < ∞.

i=1

M Xk — называется абсолютным моментом порядка k.

Моментом (начальным) порядка k непрерывной случайной величины Х с плотностью вероятности р(х) называется число

MX k = ∞∫xk p(x)dx

−∞

при условии, что интеграл сходится абсолютно, т.е.

M X k = ∞∫ xk p(x)dx < ∞

−∞

M Xk — называется абсолютным моментом порядка k.

Если M Xk не существует, то говорят, что случайная величина Х не

имеет конечного момента порядка k. По определению моменты MXk и

M Xk существуют или не существуют одновременно.

Определение 2. Момент МХ первого порядка (k=1) называется

математическим ожиданием, или средним значением, случайной величины Х.

57

Примеры.

1.Равномерное распределение: Х равномерно распределена в [a,b],

т.е.

2.Распределение Пуассона: X = k с вероятностью

3.Нормальное распределение: X N (a,σ 2 )

так как первый интеграл в правой части равен нулю.

Рассмотрим важную теорему о математическом ожидании функций от случайных величин.

Теорема 1. [9] Пусть Х – дискретная случайная величина (непрерывная случайная величина), принимающая значения х1, х2 , ... соответственно с вероятностями р1, р2 , ... ( имеющая плотность вероятности р(х)), а Y = f (X )

— новая случайная величина, где f(.) – некоторая функция. Тогда математическое ожидание Y равно

если ряд (интеграл) сходится абсолютно.

Доказательство проведем для дискретной случайной величины Х. В

этом случае случайная величина Y = f (X )также дискретна, ее значениями

58

являются числа у1, у2 , ..., где множество у1, у2 , ... совпадает с множеством

последнее равенство выполняется ввиду того, что каждое слагаемое f (xi )pi

участвует в двух последних суммах один и только один раз, поскольку все ys

различны. Возможность объединения в одну сумму следует из леммы о

полином. Из последнего равенства следует, что Мс = с и М(сХ)=сМХ, с – любая постоянная.

В случае, когда Х – дискретная случайная величина, принимающая значения х1, х2 , ... с вероятностями р1, р2 , ..., определена на дискретном вероятностном пространстве (Ω, Ξ, Ρ), нетрудно дать другое выражение для математического ожидания:

MX = ∑X (ωi )P(ωi )

ωiΩ

59

момент второго порядка называется дисперсией случайной величины Х и

обозначается DX: DX = M (X − MX )2 .

Этот момент является очень удобной характеристикой разброса значений Х около ее среднего значения – математического ожидания МХ. Так как

M (X − MX )2 = M (X 2 − 2XMX + (MX )2 )= MX 2 − 2MX MX + (MX )2

то справедлива следующая формула для дисперсии:

DX = MX 2 −(MX )2 .

Отсюда следует, что MX 2 ≥ (MX )2 , поскольку DX ≥ 0 . Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины; для характеристики разброса, рассеивания иногда бывает удобнее пользоваться значением, размерность которого совпадает с размерностью случайной величины. Такая величина

σX = DX называется среднеквадратичным уклонением Х.

На основании определения дисперсии и теоремы 1 можно записать: 1) если Х – дискретная случайная величина, х1, х2 , ... — ее

значения, а р1, р2 , ... — соответствующие вероятности, то

∞

DX = ∑(xk − MX )2 pk

л=1

2) если Х – непрерывная случайная величина и р(х) – ее плотность вероятности, то

DX = ∞∫(x − MX )2 pdx

−∞

Примеры.

60