Обработка эксперим данных Роганов

P{Xi = m}= pm , m = 0, ±1, ... для всех i. Это распределение можно изобразить следующим образом (рис. 1): основание каждого прямоугольника

равно 1, высота — pm , так что площадь равна pm и

m=−∞

В общем случае получим практически произвольный набор прямоугольников.

Рассмотрим теперь вместо Yn нормированные случайные величины

Y* = Yn − MYn = Yn − μn , n DYn σ n

где μ = MXi и σ2 = DXi , i = 1, 2, ... Значениями случайной величины Yn*

являются числа xn (m)= (m −nμ)/σ n , причем P(Yn* = xn (m))= P(Yn = m).

Рис. 1

Построим теперь аналогичный “график” распределения Yn* . По оси абсцисс отложим значения xn (m), m = 0, ±1,..., и, как и раньше, построим прямоугольники, площадь которых равна P(Yn* = xn (m)). Поскольку длина основания теперь равна 1/σ n , то высоты этих прямоугольников должны быть равны P(Yn* = xn (m))σ n = P(Yn = xn (m))σ n . При достаточно большом n оказывается, что верхние основания прямоугольников почти точно лягут на

91

(которые отличаются друг от друга формулировками различных математических условий, обеспечивающих указанное выше утверждение). Рассмотрим вначале центральную предельную теорему в ее простейшей форме: для случая одинаково распределенных случайных величин, а затем приведем достаточно общую центральную предельную теорему Ляпунова.

Определение 3. Говорят, что последовательность случайных величин

{X k }, k =1, 2, ... , сходится к случайной величине Х0 по распределению или слабо сходится, если

lim Fk (x)= F0 (x)

k→∞

в каждой точке непрерывности F0 (x), где Fk (x) — функция распределения случайной величины Xk , k = 0, 1, 2,....

Теорема 4 ( центральная предельная теорема). [9] Пусть {X n }—

последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин, для которых MXn = μ, DXn =σ2 , σ > 0 , n=1,2, … Тогда последовательность

92

n

∑(X k − μ)

сходится по распределению к N (0, 1), т.е.

причем стремление к пределу в (6) равномерно по х.

Следствие ( интегральная предельная теорема Муавра—Лапласа)

[9]. Пусть Х – число успехов в серии из n независимых испытаний, р – вероятность успеха при каждом испытании. Тогда при n → ∞

(5), получим на основании теоремы 4 равенство (7).

Естественно ожидать, что если в условиях теоремы 4 функция

но во всех практически интересных случаях высказанное утверждение имеет место, точнее, справедлива

Теорема 5. [9] Пусть выполнены условия теоремы 4, и кроме того,

характеристическая функция ϕ(t) случайных величин X k абсолютно интегрируема. Тогда плотность pn (x) случайной величины

93

равномерно.

Избавимся теперь от нежалательного в ряде вопросов предположения об одинаковом распределении случайных величин Xk и рассмотрим центральную предельную теорему в форме Ляпунова.

Теорема 6 (центральная предельная теорема Ляпунова) [9]. Пусть

n

∑(X k − μk )

Yn = k =1 Bn

сходится к N (0, 1) равномерно.

§ 3. Применения центральных предельных теорем

Отметим прежде всего случай, когда нельзя применять центральные предельные теоремы. Пусть мы хотим оценить вероятность P{Yn < x}, причем речь идет о тех х, при которых эта вероятность близка к нулю или единице.

Если мы заменим P{Yn < x} на Φ0 (x), то ошибка может быть очень большой

(порядка сотен процентов) ввиду того, что хотя разность P{Yn < x}− Φ0(x ) и

будет равномерно малой при всех х, но неверно, что отношение

P{Yn < x}/ Φ0(x) →1 равномерно по х, т.е. “хвосты” распределения требуют очень осторожной оценки.

94

Вероятность и частота. Пользуясь теоремой 6, оценим, насколько сильно может отличаться частота от вероятности в серии из n испытаний Бернулли. Оценка основана на соотношении

истинное ( неизвестное) значение вероятности р с любой заданной

95

P Yn < εσn =1−2Φ0 εσn

равна 0,997. Это так называемое правило трех сигм. Сущность правила трех сигм состоит в следующем: если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

На практике правило трех сигм применяют так: если распределение изучаемой случайной величины неизвестно, но условие, указанное в приведенном правиле, выполняется, то есть основание предполагать, что изучаемая величина распределена нормально; в противном случае она не распределена нормально.

4.Доверительные интервалы для математического ожидания

идисперсии

Выше были рассмотрены различные оценки неизвестного параметра α . За исключением редких случаев оценка α* не совпадает с истинным значением α , т.е. всегда имеет место некоторая ненулевая погрешность α* −α . Весьма часто точное значение погрешности не существенно;

96

требуется лишь знать, что она находится в определенных пределах. Так, механическая система может характеризоваться собственной частотой колебаний ω ; зная, что ω лежит в пределах отω1 до ω2 , можно поставить ограничения на рабочую частоту данной системы, при выполнении которых

которых можно сделать статистический вывод о том, что истинное значение лежит в интервале [α, α]. Статистический вывод может быть: верным, если действительно случайный интервал [α, α] покрывает истинное значение параметра α ; неверным – в противном случае. Однако, используя теорию вероятностей, можно при определенных условиях строить такие интервалы

[α, α], что возможностью неверных выводов можно практически пренебречь.

Существуют два метода решения поставленной задачи: байесовский метод и метод доверительных интервалов, предложенный Нейманом.

1. Байесовский метод применим в случаях, когда неизвестный параметр α – случайная величина, имеющая некоторое распределение

вероятностей, называемое априорным распределением. Предположим, что априорное распределение параметра α имеет известную плотность ϕ(x).

величины α при заданном значении α* по формуле Байеса равна

h(x /α* )= ∞ ϕ(x) g(x /α* ) ∫ϕ(y) g(y /α* )dy

−∞

Поэтому при заданных α, α условная вероятность события (α <α <α)

при заданном значении α*

97

оценка приняла значение α* , истинное значение параметра α лежит между

α и α с вероятностью . Выбирая достаточно близким к единице,

можно считать событие (α <α <α) практически достоверным при условии,

что оценка приняла значение α* , а так как P(α <α <α) не зависит от α* ,

то вероятность верного статистического вывода всегда составляет . Если плотность g(α* / x) не существует, то уравнение P(α <α <α /α* )= может

не иметь решения относительно α , α . В таком случае, однако, можно выбрать α , α , при которых выполняется неравенство P(α <α <α /α* )≥ .

Тогда вероятность верного статистического вывода всегда не меньше .

2. Метод доверительных интервалов более общий метод,

поскольку он применим и в случае, если α – неизвестное фиксированное число и если α – случайная величина.

98

Зададим число O < <1 ,которое на практике выбирают достаточно близким к единице так, чтобы событие с вероятностью можно было считать практически достоверным. При каждом фиксированном значении параметра α плотность распределения g(x /α) задает распределение оценки

α* , которое будем рассматривать как распределение единичной массы на вертикальной прямой, проходящей через точку (α, 0) в плоскости (α, α* )

(рис.2).

Рис. 2

Определим для каждого значения α числа γ1 (α, ) и γ2 (α, ) так,

чтобы количество массы, попавшей на отрезок γ 1, γ 2 рассматриваемой вертикальной прямой, было равно , т.е. чтобы

P(γ1 (α, )<α* <γ 2 (α, ))= γ∫2 g(x /α)dx =

γ1

Такие числа можно выбрать бесчисленным множеством способов.

Числа γ 1 и γ 2 зависят от α ; с изменением α точки (α, γ1 ) и (α, γ2 )

описывают в плоскости (α, α* ) две кривые (см. рис.). Предположим, что

99

параллельно оси Оα . Пусть D( ) – область, заключенная между двумя кривыми. Очевидно, что утверждение

(которая может быть как неслучайной, так и случайной) заключена между

Случайный интервал (c1,c2 ) называется доверительным интервалом

для параметра α , соответствующим коэффициенту доверия (или

доверительному уровню ), а числа с1 и с2 – доверительными пределами.

Заметим, что доверительные интервалы, отвечающие коэффициенту доверия, можно строить различными способами, подобно тому, как можно разными способами оценивать неизвестные параметры распределения по выборке. Способ построения доверительных интервалов следует выбирать так, чтобы при данном коэффициенте доверия они оказывались возможно

более короткими, т.е. полоса между нашими кривыми была бы по

возможности уже.

Построим доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии в случае нормально распределенной генеральной совокупности.

100