Обработка эксперим данных Роганов

Эту вероятность можно также вычислить, определив сначала вероятность противоположного события, т. е. вероятность того, что событие А появится меньше чем m раз, и вычтя ее из единицы:

.

Вероятность появления хотя бы одного события. Часто приходится вычислять вероятность того, что интересующее нас событие появится хотя бы один раз (т.е. не меньше чем один раз). В этом случае при любом n ≥ 2 вероятность события находится по формуле

Rn (1)=1− Pn (0)=1−q1q2 ...qn

В частном случае постоянных условий эксперимента q1 = q2 =...= qn = q последняя формула принимает вид

Rn (1)=1− qn .

Пример. Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сбросить четыре бомбы, вероятности попадания которых соответственно равны: 0,3; 0,4; 0,6; 0,7.

Решение. Мост будет разрушен, если на него упадет хотя бы одна бомба. Поэтому искомая вероятность равна

P(A)=1−(1−0,3)(1−0,4)(1−0,6)(1−0,7)= 0,95 .

§ 13. Распределение Пуассона

Формулы биномиального распределения вероятностей приводят при больших n к очень громоздким вычислениям. Поэтому важно иметь приближенные, но зато достаточно простые формулы для вычисления соответствующих вероятностей [9]. В частности, нередко встречаются задачи, в которых рассматривается большое число независимых испытаний, причем вероятность наступления события А при каждом отдельном испытании мала.

31

В этом случае вероятности Pn (k )могут быть приближенно вычислены по так называемой формуле Пуассона. Эта формула получается как предельная для биномиального распределения, когда число испытаний стремится к бесконечности, а вероятность успеха стремится к нулю, однако в пределах одной последовательности независимых испытаний ни то, ни другое по определению невозможно.

Пусть произведена некоторая серия независимых испытаний, состоящая из конечного числа испытаний, затем новая серия, затем еще новая и т.д. Будем иметь последовательность серий испытаний. Пусть при каждом испытании каждой серии может наступить или не наступить некоторое событие А, т.е. имеем всего два исхода, и пусть вероятность наступления А при отдельном испытании остается постоянной в пределах каждой серии (как это требуется для последовательности независимых испытаний), но может меняться от серии к серии. В этих условиях справедлива

Теорема Пуассона. Пусть дана последовательность серий независимых испытаний, состоящих соответственно из 1, 2,…, n,… испытаний, и пусть вероятность р события А при каждом испытании n-й серии равна λ / n , где λ — постоянная (не зависящая от n). Тогда вероятность

Pn (k ) того, что число наступлений события А в n-й серии будет равно k, при

n → ∞ и фиксированном k стремится к λk e−λ .

k!

Доказательство. Имеем

Распределение вероятностей, определяемое формулой

32

P(k )= λkk! e−λ , k = 0,1,2,...,λ > 0 ,

называется распределением Пуассона и является одним из важнейших в теории вероятностей.

Пример. Учебник издан тиражом 100 000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит ровно пять бракованных книг.

Решение. По условию n = 100 000, p = 0,0001, k = 5 . События,

состоящие в том, что книги сброшюрованы неправильно, независимы, число n велико, а вероятность р мала, поэтому воспользуемся распределением Пуассона

Pn (k )= λk e−λ / k .

Найдем λ : λ = np = 100 000 0,0001= 10 .

Искомая вероятность

P100 000 (5)=105 e−10 / 5 =105 0,000045 /120 = 0,0375.

§ 14. Локальная и интегральная предельные теоремы Муавра—Лапласа

Как было сказано в начале предыдущего пункта, при большом числе испытаний формулы для вычисления вероятностей Pn (k), отвечающих биномиальному распределению, весьма громоздки. В связи с этим надо иметь более простые приближенные формулы. Для случая, когда вероятность р при каждом испытании очень мала, мы установили приближенную формулу – распределение Пуассона. Теперь рассмотрим другую предельную форму биномиального распределения, считая, что вероятность р отлична от нуля и единицы.

Локальная теорема Муавра—Лапласа. Если вероятность события А в n

независимых испытаниях равна р, 0<p<1, то вероятность Pn (k) того, что в

33

этих экспериментах событие А наступит k раз, удовлетворяет при т→ ∞

где a<b, a и b – любые конечные фиксированные числа.

Стремление к пределу равномерно относительно всех k, для которых x [a,b].

Доказательство. Имеем

Воспользовавшись формулой Стирлинга,

k! = 2πkkke−keθk , θk ≤ 12k1 ,

получим

34

равномерно относительно x, x [a,b], на основании признака Вейерштрасса.

Рассмотрим, наконец, An (x). Пользуясь формулой

ln(1+ z)= z − z22 +0(z3 ), z <1,

получим

= − 12 x2 +0(n−1/ 2 ),

35

причем, поскольку при n → ∞ x npq , x nqp стремятся к нулю равномерно по x, x [a,b], оценку 0 — членов можно взять независящей от k.

Итак, имеем

Пример. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 70 раз в 243 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,25.

Решение. По условию n = 243; k =70; p = 0,25; q = 0,75 . Так как n = 243 –

достаточно большое число, воспользуемся локальной теоремой Лапласа:

По таблице находим ϕ(1,37)= 0,1561. Искомая вероятность равна

P243 (70)=1/ 6,75 0.1561 = 0,0231

Однако практически при большом числе испытаний n и не слишком малой вероятности р нас редко интересует вероятность того, что данное событие наступит точно k раз. Важно бывает уметь оценить вероятность того, что число наступлений события лежит в некоторых границах. Такую оценку можно получить с помощью интегральной предельной теоремы Муавра-Лапласа.

36

Интегральная предельная теорема Муавра—Лапласа. Пусть k – число наступлений события А в серии из n независимых экспериментов, р – вероятность наступления А при каждом испытании, 0<p<1, a и b – любые фиксированные числа, a<b. Тогда

−∞ < a < b < +∞.

Доказательство этой теоремы получим как совсем простое следствие рассмотренной ниже центральной предельной теоремы [9].

Практическое применение интегральной предельной теоремы основано на приближенном равенстве

Оценка соответствующей погрешности показывает, что эта приближенная формула обеспечивает хорошую точность уже при значениях npq ≥10 и, естественно, тем лучшую точность, чем больше эта величина.

Рассмотрим некоторые типичные задачи, связанные с интегральной теоремой Муавра—Лапласа.

Заданы число испытаний n и вероятность р при каждом испытании. Требуется найти вероятность того, что число k будет заключено между

37

Пусть заданы числа р, α и β. Требуется определить, какое наименьшее число n испытаний надо произвести для того, чтобы с вероятностью, не меньшей β, частота k/n появлений отклонялась от вероятности р не больше чем на α. Таким образом, надо найти n из условия

Поскольку

то задача состоит в определении n из условия

Пусть заданы числа n, p и β. Требуется определить границы возможных отклонений частоты появления успеха от вероятности р, т.е. надо найти α,

Согласно предыдущему примеру

отсюда по таблицам определяем α.

где a<b, a и b – любые конечные фиксированные числа.

38

Стремление к пределу равномерно относительно всех k, для которых x [a,b].

Доказательство. Имеем

Воспользовавшись формулой Стирлинга,

k! = 2πkkke−keθk , θk ≤ 12k1 ,

получим

равномерно относительно x, x [a,b]. Далее рассмотрим Bn (x):

39

равномерно относительно x, x [a,b], на основании признака Вейерштрасса.

Рассмотрим, наконец, An (x). Пользуясь формулой

ln(1+ z)= z − z22 +0(z3 ), z <1,

получим