Обработка эксперим данных Роганов

Построение доверительного интервала для математического

причем σ известно, а величину а оцениваем по выборке:

a ≈ X = 1 ∑n Xk . n k =1

Оценим точность этого приближенного равенства, т.е. укажем границы (доверительные пределы), в которых практически достоверно лежит

распределена нормально с математическим ожиданием а и

среднеквадратичным отклонением σ / n . Поэтому

вероятностью можно было считать практически достоверным, и пусть t

101

Например, при = 0,999 имеем t = 3,29 . Определим из условия

ε n / σ = t число ε : ε = t σ / n . Для данного ε

P(X −α < t σ / n )= 2Φ(t )−1 =

Таким образом, практически достоверно ( точнее, с вероятностью ),

что X −a < t σ / n , где 2Φ(t )−1 = . Последнее неравенство запишем в

Оценка (10) предполагает известным среднее квадратичное отклонение σ , которое на практике чаще всего бывает неизвестно. Если величину σ в неравенстве (10) заменить ее приближенным значением

то коэффициент доверия оценки (10) уменьшится. Поэтому если величина σ неизвестна, используют другой способ построения доверительного интервала для математического ожидания.

Построение доверительного интервала для математического ожидания а при неизвестной дисперсии σ2 нормально распределенной

102

генеральной совокупности. Для построения доверительного интервала воспользуемся следующей леммой.

распределение Стьюдента с (n −1) степенями свободы. Зададим коэффициент доверия и предположим, что t – корень уравнения

∫t Sn−1 (x)dx = ,

−t

где Sn−1 (x) – плотность распределения вероятностей закона Стьюдента с (n −1) степенями свободы. Для значения t , которое находится из таблиц,

имеем

P(ζ < t )= t∫Sn−1 (x)dx =

−t

Таким образом, с коэффициентом доверия выполняется неравенство

103

значение а. Таким образом, построен доверительный интервал для величины а, соответствующий коэффициенту доверия .

Построение доверительного интервала для математического ожидания а в случае ненормально распределенной генеральной совокупности. Каков бы ни был закон распределения независимых одинаково распределенных случайных величин ξ1, ξ2 , ..., ξn , имеющих

n

конечную дисперсию, их сумма ζn = ∑ξk распределена приближенно

k =1

нормально при достаточно больших (согласно центральной предельной теореме). Оценка (10) имеет место с вероятностью, близкой к при достаточно больших n , и в случае, когда закон распределения генеральной совокупности не является нормальным, т.е.

Здесь предполагается известным значение σ . Если же σ неизвестно, то можно использовать оценку величины σ по выборке

и заменить в равенстве (11) неизвестную величину σ величиной σ* . При больших значениях такая замена мало влияет на коэффициент доверия, и мы имеем

104

распределена по закону χ2n−1 с (n −1) степенями свободы. Зададим

коэффициент доверия и определим числа χ12 и χ22 из условия

χ22

∫kn−1(x)dx = ,

χ12

где kn−1(x) — плотность распределения вероятности закона χ2−1 с (n −1)

n

степенями свободы. Очевидно, числа χ12 и χ22 удовлетворяющие данному условию, можно выбрать бесчисленным множеством способов. Потребуем дополнительно, чтобы

распределения χ2n−1 с (n −1) степенями). Для величины nS2 / σ2 имеем

105

квадратичного отклонения σ , соответствующими коэффициенту доверия в случае нормально распределенной генеральной совокупности.

§5. Обработка результатов измерений Оценка истинного значения измеряемой величины и

среднеквадратичной ошибки измерения.

Как правило, для получения истинного значения а измеряемой величины (а также для оценки средней квадратичной ошибки σ измерения) производят некоторое число n независимых измерений этой величины. Обозначим результаты измерений через X1, X2 , ..., Xn. Известно, что результат измерения есть случайная величина, распределенная нормально. Предположим, что MXi = a – условие отсутствия систематической ошибки,

и положим DXi = σ2 . Таким образом, величины X1, X2 , ..., Xn оказываются независимыми нормально распределенными с параметрами а и σ случайными величинами. Эти параметры подлежат определению по результатам измерений, т.е. по выборке. Истинное значение а измеряемой

106

Для оценки точности данных приближенных равенств можно построить доверительные интервалы.

Сглаживание экспериментальных зависимостей. Пусть величины Х и Y связаны функциональной зависимостью вида Y =ϕ(X ), причем функция

ϕ нам не известна и ее требуется определить по результатам наблюдений.

Предположим, что имеется возможность на опыте измерять значения величины Y в различных точках xi . Обозначая результат i -го измерения через yi , имеем

yi =ϕ(xi )+δi ,

где δi – случайная измерения. Таким образом, величина yi как всякий результат измерения является случайной величиной. Если нанести на график точки (xi ; yi ) и соединить их кривой, вид этой кривой отличается от кривой из-за наличия случайных погрешностей при определении ее ординат. Возникает вопрос: как обработать опытные данные, чтобы

наилучшим образом определить зависимость Y от X ?

Это так называемая задача о сглаживании экспериментальных зависимостей. Рассмотрим частный, но наиболее важный для приложений случай, когда заранее известно, что функция ϕ(X ) принадлежит к

некоторому классу функций, зависящему от одного или нескольких параметров, т.е. ϕ(X )= ϕ(X ,α1,α2 , ...,αk ). В этом случае задача отыскания

образом” необходимо придать точный смысл, что можно сделать по-разному. В соответствии с этим возможны разные способы решения задачи о сглаживании. Слова “наилучшим образом” будем понимать в дальнейшем в смысле метода наименьших квадратов, так как такое понимание является общепринятым и на практике приводит обычно к несложным вычислениям. Будем говорить, что неизвестные параметры α1 , α2 , ..., αk функции

107

ϕ(X ,α1,α2 , ...,αk ), задающей зависимость Y = ϕ(X ,α1,α2 , ...,αk ),

определены наилучшим образом в смысле метода наименьших квадратов,

если сумма квадратов отклонений экспериментальных точек yi от ординат сглаживающей кривой ϕ(xi ,α1,α2 , ...,αk ) минимальна, т.е. минимальна величина

n

δ 2 = ∑[yi −ϕ(xi ,α1,α2 ,...,αk )]2

i=1

Для нахождения точки минимума величины δ2 в обычных аналитических условиях нужно приравнять нулю ее частные производные по

α1 , α2 , ..., αk :

которой определяем искомые значения α1 , α2 , ..., αk . Заметим, что система

Рассмотренная задача отличается от задачи оценки неизвестных параметров распределения, изученной выше, так как величины y1, y2 , ..., yn хотя и предполагаются независимыми, но имеют, вообще говоря, различные распределения.

Рассмотрим оценку по методу наименьших квадратов параметров

108

Из второго уравнения находим

Подставив найденное значение в первое уравнение и преобразовав его, придем к равенству

Таким образом, задача решена, и линейная функция

наилучшим образом среди всех линейных функций выражает зависимость Y от X.

§6. Проверка статистических гипотез

Постановка задачи

Часто функция распределения случайной величины бывает заранее не известна, и возникает необходимость ее определения по эмпирическим данным. Во многих случаях из некоторых дополнительных соображений могут быть сделаны предположения о виде функции распределения FX (x).

Любое такое предположение называется (статистической) гипотезой и

математически выражается соотношением {FX H }, где H – множество функций распределения, FX – функция распределения наблюдаемой

109

случайной величины. Гипотезу обычно обозначают тем же символом, что и множество функций распределения: H = {FX H }.

Рассмотрим примеры статистических гипотез.

1. {FX F}, где – фиксированная функция распределения. В этом случае Н – множество, состоящее из единственного

функция распределения. Данная гипотеза состоит в том, что распределение наблюдаемой случайной величины принадлежит некоторому фиксированному типу. Так например, если – стандартная нормальная функция распределения, то данная гипотеза состоит в нормальности наблюдаемой случайной величины.

функция распределения.

Определение. Гипотеза, не являющаяся простой, называется сложной. По эмпирическим данным нужно проверить статистическую гипотезу Н. Для определенности назовем Н основной гипотезой. С гипотезой Н

конкурирует альтернативная гипотеза K = {FX K}. Здесь K – множество функций распределения, не пересекающееся с множеством Н. Если K – множество всех F, не входящих в Н, то это множество обычно вообще не упоминается.

110