Обработка эксперим данных Роганов

группу попарно несовместных, равновероятных событий называют полной группой возможных исходов испытания, а те из возможных исходов, из которых складывается событие А, называют исходами, благоприятствующими появлению А. В этих терминах согласно классическому определению P(A) равно отношению числа исходов, благоприятствующих появлению А, к числу всех возможных исходов.

Для рассмотрения свойств классической вероятности удобно несколько упростить и формализовать классическую теоретиковероятностную модель [9]. Будем считать события A1, A2, …, An , образующие полную группу попарно несовместных равновероятных событий, точками ω1, ω2 ,...,ωn нового пространства элементарных событий, для которого сохраним прежнее обозначение Ω. Таким образом, положим

Ω ={ω1 }+{ω2 }+... + {ωn }

, всего – из C0n +C1n +...+Cnn = 2n событий.

Для любого событияA Ξ вероятность Р(А) определим равенством P(A)=m/n, где m – число элементарных событий, из которых состоит А.

Очевидно, классическая теоретико-вероятностная модель эквивалентна тройке (Ω, Ξ, Ρ( )), состоящей из пространства элементарных

событий Ω, содержащего n точек, алгебры Ξ, содержащей 2 n событий, и вероятности Р(.), определенной для всех событий из Ξ.

11

Рассмотрим свойства классической вероятности [9].

1)Для любого A Ξ : 0 ≤ P(A)≤1 (поскольку 0 ≤ m ≤ n ).

2)Вероятность достоверного события А = Ω равна единице (так как дляА = Ω m=n). Вероятность невозможного события равна нулю (так как дляА = Ω m=0).

3)Для несовместных событий А1 иА2

P(A1 + A2 )= P(A1 )+ P(A2 )

Для доказательства этого равенства достаточно заметить, что еслиm1

иm2 — числа элементарных событий, благоприятствующих соответственно событиям А1 и А2 , то в силу несовместности А1 и А2 (A1 IA2 )= сумма

Отсюда следует, что P(B)≥ P(A), так как согласно свойству 1 P(BIA)≥ 0 , а

также P(BIA)= P(B \ A)= P(B)− P(A).

6) Для любых событий А1 и А2 имеет место равенство

12

A1,A2 ,...,Am , содержащих соответственно k1, k2 ,..., km элементов. Число различных способов такого разбиения на группы определяется по формуле

из А (множества упорядоченные), в силу основного принципа комбинаторики равно

Пример. В партии из N деталей имеется n стандартных. Наудачу отобраны m деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей ровно k стандартных.

Решение. Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь m деталей из N деталей,

т.е. CNm – числу сочетаний из N элементов по m .

Подсчитаем число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию ( среди m деталей ровно k стандартных): k стандартных деталей можно взять из n стандартных деталей Cnk способами; при этом остальные m − k деталей должны быть нестандартными; взять же m − k нестандартных деталей из N −n нестандартных деталей можно CNm−−kn способами.

Следовательно, число благоприятствующих исходов равно Cnk CNm−−kn .

15

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:

Ck Cm−k

P = n N −n .

CNm

§ 6. Аксиоматическое построение теории вероятностей

Пусть Ω — пространство элементарных событий, Ξ — алгебра событий (подмножеств Ω) [9]. Следующие пять условий образуют систему аксиом теории вероятностей.

1.Ξ является σ —алгеброй событий или борелевским полем

Действительно, В= А1 UА2 U... = А1 IА2 I...

Таким образом, что σ –алгебра есть класс множеств, замкнутый относительно счетного числа операций дополнения, объединения и пересечения. Если Aα , α S, произвольная система событий, то, например,

их объединение UAα может и не быть событием.

αS

2.На σ –алгебре Ξ определяется функция Р(.), принимающая

числовые значения P(A)≥ 0, A Ξ , называемая вероятностью и

обладающая следующими свойствами.

16

3. Для всяких двух событий А и В, таких что АIВ= ,

Р(А+В)=Р(А)+Р(В) (аксиома сложения вероятностей).

Отсюда следует, что для произвольного конечного числа несовместных событий A1,...,An

P(A1 +... + An )= P(A1 )+... + P(An )

4. Пусть события A j , j=1,2,… попарно несовместны: Ai IA j = , i ≠ j, i, j = 1,2 и А = А1 +А2 +... . Тогда

∞

P(A)= P(A1 )+ P(A2 )+... = ∑P(Ai )

i=1

Эта аксиома определяет счетную аддитивность вероятности. Более привычно она звучит как аксиома непрерывности вероятности. Для этого рассмотрим последовательность событий В1 = А1, В2 = А1 +А2 ,... . Событие

А следует понимать как предел последовательности {B j }, A = lim Bn . При

n→∞

этом данное равенство можно понимать как свойство непрерывности вероятности:

вероятность Р(.) на Ξ, удовлетворяющие аксиомам теории вероятностей, образуют так называемое вероятностное пространство, которое принято обозначать (Ω, Ξ, Ρ).

Если задано пространство Ω и какая-нибудь σ –алгебра Ξ его подмножеств, то говорят, что задано измеримое пространство (Ω,Ξ).

Система аксиом теории вероятностей не противоречива, так как существуют Ω, Ξ и Р(.), удовлетворяющие этим аксиомам, и не полна, так как вероятность можно определить многими способами в рамках аксиом 2—

17

5. В качестве примера рассмотрим классическую теоретико-вероятностную модель, в которой Ω — конечное множество, Ξ— алгебра (и σ –алгебра) всех подмножеств Ω и вероятность Р(.) определена для каждого подмножества А Ξ как отношение числа точек, образующих А, к числу всех точек Ω.

Для произвольного пространства элементарных событий Ω система всех его подмножеств образует σ –алгебру. Но такая σ –алгебра может оказаться столь обширной, что на ней невозможно определить вероятность, удовлетворяющую свойству счетной аддитивности 4. Требование счетной аддитивности Р(.) и стремление выбрать систему множеств Ξ как можно более широкой взаимно ограничивают друг друга.

Задание вероятностного пространства есть задание счетноаддитивной неотрицательной меры на измеримом пространстве, такой, что мера Ω равна 1. В таком виде аксиоматика теории вероятностей была сформулирована А.Н.Колмогоровым.

Приведем пример σ —алгебры [2]. Эксперимент состоит в случайном бросании в квадрат [0,1] X [0,1]. Под этим будем понимать следующее. Пространством Ω всех исходов эксперимента здесь является квадрат. Слова “произведено испытание” означают, что выбрана точка ω Ω. σ —алгебру

Ξ образуем из множеств, для которых имеет смысл понятие площади. Вероятность события положим равной площади соответствующего измеримого множества. Очевидно, что все аксиомы здесь выполнены.

Лемма (о суммировании по блокам) [9]. Пусть I={1, 2, …} –

∞

c1 +c2 +...+cn +... сходится абсолютно и его сумма равна S, S = ∑ck . Если

k=1

18

Sα = ∑ck ,α =1, 2, ..., то числовой ряд S1 +S2 +...+Sn +... сходится

k Iα

∞

абсолютно и его сумма также равна S, S = ∑Sα .

α=1

Доказательство леммы приведено в [9].

Объявим событием любое подмножество Ω и для любого события А зададим вероятность

P(A)= ∑P[ω j ]

j:ω j A

Из леммы о суммировании по блокам для абсолютно сходящихся рядов следует, что эта вероятность обладает свойством счетной аддитивности ( и аддитивности) на σ —алгебре всех подмножеств Ω.

Рассмотрим теперь важный для приложений класс дискретных вероятностных пространств [9].

Вероятностное пространство (Ω, Ξ, Ρ) называется дискретным, если

Ω = {ω1 ,ω2 ,...} конечно или счетно, Ξ — σ —алгебра всех подмножеств Ω

(включая пустое множество ), вероятность Р(.) определена для каждого одноточечного подмножества Ω:

P[ω j ]= p j ≥ 0, j =1,2,..., ∑∞ p j =1.

j=1

При этом вероятность любого события АΞ определяется равенством

P(A)= ∑p j

j:ω j A

Для дискретного вероятностного пространства выполнены аксиомы теории вероятностей.

Изучим свойства вероятности, которые вытекают из аксиом. Так же как при доказательстве свойств классической вероятности, найдем, что:

1) P[A]=1 − P(A), так как А+А = Ω.

19

4) Пусть A1 A2 ... An ... — последовательность событий,

∞

каждое из которых влечет все последующие. Если A = UA j — событие,

1

состоящее в том, что происходит хотя бы одно из событий A j , j=1,2,…, то

5) Если A1 A2 ... An ... — последовательность событий, каждое

∞

из которых влечет все последующие, и A = IA j событие, состоящее в том,

j=1

что происходят все события A1,...,An ,..., то P(A)= lim P(An ).

n→∞

Действительно, для противоположных событий: A1 A2 ... An ...

∞

и A = UA j . Поэтому P(A)= lim P(An ), и, следовательно,

n→∞

1

20