Формулы полной вероятности и Байеса.

В торговую фирму поступили телевизоры от трех поставщиков:10% от первого, 40% от второго и 50% от третьего. Практика показала, что телевизоры , поступающие от первого , второго и третьего поставщиков, не потребуют ремонта в течении гарантийного срока , соответственно в 70%,90% и 80% случаев.

1) найти вероятность того, что поступивший в торговую фирму телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока;

2) проданный телевизор не потребовал ремонта в течение гарантийного срока, от какого поставщика вероятнее всего поступил телевизор?.

Решение.

1. обозначим через А- « телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока». Возможны следующие предположение (гипотезы) о поставщике поступившего в торговую фирму телевизора.

H₁= «телевизор поступил от первого поставщика» ;

H₂= «телевизор поступил от второго поставщика» ;

H₃= «телевизор поступил от третьего поставщика» .

По условию Р(H₁)=0.1; Р(H₂)=0.4; Р(H₃)=0.5

Условные вероятности того, что телевизор не потребует ремонта, если он поступил от поставщика: Р(А/H₁)=0.7; Р(А/H₂)=0.49; Р(А/H₃)=0.8

По формуле полной вероятности : Р(А)= Р(H₁) Р(А/H₁)+ Р(H₂) Р(А/H₂)+ Р(H₃) Р(А/H₃)=

0,1*0,7+0,4*0,9+0,5*0,8=0,83.

2) найдем вероятности того, что телевизор не потребовал ремонта в течение гарантийного срока от первого, второго и третьего поставщиков.

По формуле Байеса:

Таким образом, наивероятнейшей будет гипотеза о том, что телевизор потупил от третьего поставщика.

Формула Бернулли.

В семье 5 детей. Найти вероятности того, что среди этих детей:

1. 4 мальчика;

2. не менее четырех мальчиков;

3. менее четырех мальчиков.

Вероятность рождения мальчика равна 0,51.

1). Вероятность рождения мальчика равна 0,51 , значит вероятность рождения девочки равна 0,49.

Используем формулу Бернулли

2)

3)

Формула Пуассона.

На факультете 730 студентов. Какова вероятность того, что

а) 1 сентября является днем рождения одновременно трех студентов факультета;

б) хотя бы у одного день рождения 1 сентября;

в) более трех человек имеют день рождения 1 сентября.

Решение.

а) Вероятность того, что день рождения студента будет 1 сентября p=1/365. Так как р – мало, а n- велико и то применима формула Пуассона.

б) Р{хотя бы один день рождения 1 сентября}= 1- P{ни одного дня рождения 1 сентября}= 1- = 1-0,1353=0,8647.

в) P{более трех дней рождения 1 сентября}= 1-P{не более трех дней рождения}= 1-()=1-(0,1353+0,2707+0,2707+0,1805)=0,1428.

Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.

Контрольную работу по теории вероятностей с первого раза успешно выполняют 50% студентов. Найти вероятность того, что из 100 студентов работу успешно выполнят а) 45 студентов; б) от 45 до 65 студентов.

Решение.

а) по условию р=0,5. Так как n велико (npq=100*0.5*0.5=259), то применим локальную теорему Лапласа.

б) .

К задачам 11-20.

Задана непрерывная случайная величина Χ функцией распределения F(х). Требуется :

1) найти плотность распределения вероятностей f(x) ;

2) схематично построить графики функций f(x) и F(х); 3) найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины Х;

4) найти вероятность того, что Х примет значение из интервала ().

Решение.

1. плотность распределения случайной величины равна первой производной от функции распределения.

. Условие нормировки выполнено.

2)

3) Для нахождения математического ожидания используем формулу , гдеa,b начало и конец интервала, где определена плотность.

;

4)

.

Приложение. Для вычисления интегралов используем формулы.