К задачам 21-30.

Заданы математическое ожидание а=3 и среднее квадратичное отклонение =5 нормально распределенной случайной величины Х.

1. Написать плотность распределения вероятностей и схематично построить ее график.

2. Найти вероятность того, что х примет значение из интервала (2;10).

3. Найти вероятность того, что х примет значение превышающее 10.

4. Найти интервал симметричный относительно математическое ожидание, в котором с вероятностью =0,95 будут заключены значения величины х.

Решение.

1). Составим функцию плотности распределения случайной величины Х с параметрами а=3, =5 воспользовавшись формулой

. Построим схематически график функции. Обратим внимание на то, что нормальная кривая симметрична относительно прямой х=3 и имеетmax в этой точке, равный , т.е.и две точки перегибас ординатой

Построим график

2) Воспользуемся формулой:

Значения функций найдены по таблице приложений.

3)

4) Воспользуемся формулой . По условию вероятность попадания в интервал симметричный относительно математического ожидания. По таблице найдемt, при котором Ф(t)=0,475, t=2. значит . Таким образом,. Ответ х(-1;7).

К задачам 31-40.

Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,95 неизвестного математического ожидания а нормально распределенного признака Х генеральной совокупности, если генеральное среднее квадратическое отклонение =5, выборочная средняя и объем выборкиn=25.

Решение.

Требуется найти доверительный интервал .

Все величины, кроме t, известны. Найдем t из соотношения Ф(t)=0,95/2=0,475. По таблице приложения находим t=1,96. Подставив , окончательно получим искомый доверительный интервал 12,04<a<15,96.

К задачам 41-50.

Отдел технического контроля проверил 200 партий одинаковых изделий и получил следующее эмпирическое распределение, частота n_i – количество партий, содержащих x_i нестандартных изделий .требуется при уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о том, что число нестандартных изделий Х распределено по закону Пуассона.

xi	0	1	2	3	4
ni	116	56	22	4	2

Решение.

Найдем выборочную среднюю:

Примем в качестве оценки параметра  распределения Пуассона выборочную среднюю =0,6. Следовательно, предполагаемый закон Пуассона имеет вид.

Положив i=0,1,2,3,4 найдем вероятности P_iпоявления i нестандартных изделий в 200 партиях: ,,,,.

Найдем теоретические частоты по формуле . Подставив в эту формулу значения вероятности, получим,,,,.

Сравним эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона. Для этого составим расчетную таблицу. Объединим малочисленные частоты(4+2=6) и соответствующие им теоретические частоты (3,96+0,6=4,56).

1	2	3	4	5	6
i	ni		ni-	(ni-)2	(ni-)2/
0	116	109.76	6.24	38.9376	0.3548
1	56	65.86	-9.86	97.2196	1.4762
2	22	19.76	2.24	5.0176	0.2539
3	6	4.56	1.44	2.0736	0.4547
	200