Предельные теоремы теории вероятностей

Делятся на две группы: Закон Больших Чисел (ЗБЧ) и Центральная Предельная Теорема (ЦПТ).

Закон Больших Чисел устанавливает связь между абстрактными моделями теории вероятностей и основными ее понятиями и средними значениями, полученными при статистической обработке выборки ограниченного объема из генеральной совокупности. P, F(x), M(x), D(x).

ЗБЧ доказывает, что средние выборочные значения при n стремятся к соответствующим значениям генеральной совокупности: h_n(A)P, X_срM(X), _ср²D(X), F^*(X)F(X).

Лемма Маркова. Если Y – СВ, принимающая не отрицательные значения, то для любого положительного :

P(Y)M(x)/, P(Y<)1-M(x)/.

Лемма позволяет сделать оценку вероятности наступления события по математическому ожиданию этой СВ.

Неравенство Чебышева. Для любой СВ с ограниченными первыми двумя моментами (есть МО и D) и для любого >0:

Требуется только знание дисперсии СВ при любом законе распределения.

ЗБЧ в форме Чебышева. X₁, X₂, …, X_n – последовательность независимых СВ. Для любого >0 и n:

ЗБЧ в форме Бернулли. m – число успехов в серии из n последовательных испытаний Бернулли. P – вероятность успеха в каждом отдельном испытании. >0:

ЗБЧ носит чисто качественный характер. В тех же условиях неравенство Чебышева позволяет получить количественную характеристику оценки вероятности.

Статистическое оценивание параметров распределения

Мы анализируем только выборки из генеральной совокупности. По средне выборочным параметрам находим параметры самой генеральной совокупности.

Задачи такого рода решаются методами проверки статистических гипотез и статистической оценки параметров распределения.

Прежде нужно получить и провести первичную обработку исходных экспериментальных данных.

Все характеристики, рассчитывающиеся для выборки, называются эмпирическими (выборочными).

ср. арифметическое (центр. группир.)

средне взвешенное

выборочная дисперсия

функция распределения F^*(x)=

Если статистический ряд разбит на k групп, можно вычислить межгрупповую (²) и внутригрупповую () дисперсию

–межгрупповая дисперсия,

–групповое среднее, – среднее всего ряда наблюдений.

–внутригрупповая дисперсия,

–дисперсия i-й группы, .

–дисперсия всего ряда наблюдений.

Статистические ряды часто изображают графически в виде полигона, гистограммы, кумулятивной кривойF^*(x).

Полигон – ломаная линия, соединяющая в декартовой системе координат точки (x_i,n_i), (x_i,m_xi).

Кумулятивная кривая строится по точкам (x_i,F^*(x_i)).

Гистограмма – на оси абсцисс – отрезки интервалов t, на этих интервалах строятся прямоугольники с высотой, равной относительной частоте признака. По гистограмме легко строится полигон.

И полигон, и гистограмма характеризуют функцию f^*(x) – плотность вероятности.

Методические указания для выполнения контрольной работы. К задачам 1-10.

В задачах 1-10 использованы различные формулы теории вероятности.

Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятность того, что формула содержится в первом, втором и в третьем справочнике соответственно равны 0,6; 0,7 и 0,8.найти вероятности того, что формула содержится:

а) только в первом справочнике;

б) только в одном справочнике;

в) не более чем в двух справочниках;

г) хотя бы в одном справочнике.

Решение.

а) обозначим события А_i- «нужная формула содержится в i-ом справочнике», В-«формула содержится только в первом справочнике».

Очевидно, , т.е. совместное осуществление трех событий состоит в том, что формула содержится в первом и не содержится во втором и в третьем справочнике. Учитывая, что события А₁, А₂ и А₃ независимы, получим

б) пусть событие С-«формула содержится только в одном из трех справочников». Очевидно, событие С происходит , если формула содержится только в пером ли только во втором, или только в третьем справочнике.

в)

г) Е-«содержится хотя бы в одном справочнике». Проще найти вероятность события Е, если перейти к противоположному событию -«не содержится ни в одном справочнике».