Понятие комплексного числа

Определение

Комплексным числом называется выражение вида 

Например. 

Действительная и мнимая часть комплексного числа

Определение

Действительное число называется действительной частью комплексного числа и обозначается (От французского слова reel - действительный).

Действительное число называется мнимой частью числа и обозначается (От французского слова imaginaire - мнимый).

Например. Для комплексного числа действительная часть , а мнимая - .

Если действительная часть комплексного числа равна нулю ( ), то комплексное число называется чисто мнимым.

Например. 

Мнимая единица

Величина называется мнимой единицей и удовлетворяет соотношению:

Равные комплексные числа

Два комплексных числа и называются равными, если равны их действительные и мнимые части соответственно:

Пример

Задание. Определить при каких значениях и числа и будут равными.

Решение. Согласно определению тогда и только тогда, когда

Ответ. 

Число называется комплексно сопряженным числом к числу .

То есть комплексно сопряженные числа отличаются лишь знаком мнимой части.

Например. Для комплексного числа комплексно сопряженным есть число ; для комплексно сопряженное и для имеем, что .

Комплексное число  называется противоположным к комплексному числу .

Например. Противоположным к числу есть число: .

Алгебраическая форма комплексного числа.

В алгебраической форме комплексное число записывают в виде , гдеаиb– вещественные числа. Два комплексных числаиравны тогда и только тогда, когда,. На основании этого определения решим несколько задач.

Задача 1.1.Найти.

Решение.Предположим, что.Тогдаили. Используя условие равенства двух комплексных чисел, получаем систему уравнений для определения:

Решая систему, находим

Откуда

Итак, .

Задача 1.2.Найтитак чтобы.

Имеем

По определению произведением комплексных чисел иназывается число

.

Заметим, что комплексные числа можно перемножать как два многочлена первой степени с учетом того, что

.

Оперируя с комплексными числами, мы нередко получаем дроби вида , которые желательно упростить. Для этого надо умножить числитель и знаменатель дроби на число, комплексно сопряженное к знаменателю, то есть

.

28. Квадратні рівняння.

Квадратное уравнение — уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a, b, c — некоторые числа (a ≠ 0), x — неизвестное.

Числа называются коэффициентами квадратного уравнения.

•  называется первым коэффициентом;

•  называется вторым коэффициентом;

•  — свободным членом.

Приведенное квадратное уравнение — уравнение вида , первый коэффициент которого равен единице ().

Если в квадратном уравнении коэффициенты ине равны нулю, то уравнение называетсяполным квадратным уравнением. Например, уравнение . Если один из коэффициентовилиравен нулю или оба коэффициента равны нулю, то квадратное уравнение называетсянеполным. Например, .

Значение неизвестного , при котором квадратное уравнение обращается в верное числовое равенство, называется корнем этого уравнения. Например, значениеявляетсякорнем квадратного уравнения , потому чтоили— это верное числовое равенство.

Решить квадратное уравнение — это значит найти множество его корней.

29. Тригонометрична форма комплексних чисел, їх геометрична інтерпретація.