Уравнение поверхности

В школе изучались уравнения линий на плоскости. В пространстве мы будем пользоваться уравнениями поверхностей и линий. Уточним сейчас, что такое уравнение поверхности.

        Определение 11.1   Пусть в пространстве задана некоторая система координат и поверхность . Будем говорить, что уравнение, связывающее три упорядоченные переменные, является уравнением поверхности в заданной системе координат, если координаты любой точки поверхности удовлетворяют этому уравнению, а координаты любой точки, не лежащей на поверхности , этому уравнению не удовлетворяют.         

Вместо слов "координаты точки удовлетворяют уравнению" иногда будем говорить "точка удовлетворяет уравнению".

Если мы изменим систему координат, то, как правило, изменится и уравнение поверхности.

Если уравнение достаточно сложное, то удовлетворяющие ему точки могут образовывать не только поверхность, но и другие множества, например, линию, одну точку, пару линий. Есть такие уравнения, которым не удовлетворяет ни одна точка пространства. Например, ни одна точка с координатами не удовлетворяет уравнению .

В определении сказано, что уравнение должно связывать три переменных, но по записи уравнения не всегда можно определить, сколько переменных оно связывает. Например, уравнение можно рассматривать как уравнение прямой на плоскости, но можно это же уравнение записать в виде , и тогда оно будет определять поверхность в пространстве (плоскость, как станет известно дальше). Поэтому кроме самого уравнения должна быть задана информация о том, в пространстве какой размерности находится определяемое этим уравнением множество точек.

Одна и та же поверхность может задаваться разными уравнениями. Например, если в уравнении поверхности в правой части стоит нуль: , то обе части уравнения можно возвести в квадрат и получить . Новое уравнение будет являться уравнением той же самой поверхности , хотя будет выглядеть по другому. Естественно, что когда говорят об уравнении поверхности, то из всех уравнений этой поверхности стараются выбрать наиболее "простое Уравнение плоскости.

Определение. Плоскость - есть поверхность, полностью содержащая, каждую прямую, соединяющую любые её точки.

Общее уравнение плоскости

Любую плоскость можно задать уравнением плоскости первой степени вида

A x+ B y+ C z + D= 0

где A, B и C не могут быть одновременно равны нулю.

Уравнение плоскости в отрезках

Если плоскость пересекает оси OX, OY и OZ в точках с координатами

(a, 0, 0), (0, b, 0) и (0, 0, с), то она может быть найдена, используя формулу уравнения плоскости в отрезках

x	+	y	+	z	= 1
a		b		c

Уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярно вектору нормали

Чтобы составить уравнение плоскости, зная координаты точки плоскости M(

x₀, y₀, z₀) и вектора нормали плоскости n= {A; B; C}можно использовать следующую формулу.

A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой

Если заданы координаты трех точек A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂) и C(x₃, y₃, z₃), лежащих на плоскости, то уравнение плоскости можно найти по следующей формуле

x - x 1	y - y 1	z - z 1	= 0
x 2- x 1	y 2- y 1	z 2- z 1
x 3- x 1	y 3- y 1	z 3- z 1

". 

53. Рівняння прямої у просторі (загальне рівняння, канонічні, та параметричні рівняння) , їх зв’язок. Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки.

Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0,

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

•  C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат

•  А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох

•  В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

•  В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу

•  А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.