- •Перелік питань до іспиту з «Алгебри та геометрії» для студентів 1 курсу спец. «комп’ютерна інженерія» 2014-2015 н.Р.
- •Свойства определителей
- •Треугольные матрицы
- •Диагональные матрицы
- •2.10. Приведение матрицы к диагональному виду
- •Ступенчатая матрица
- •Алгоритм приведения матрицы к ступенчатому виду
- •Свойства Инвариантность ранга при элементарных преобразованиях
- •Эквивалентность слау при элементарных преобразованиях
- •Нахождение обратных матриц
- •Ступенчатый вид по строкам
- •Определитель произведения матриц Теорема 2.2 об определителе произведения матриц
- •Обратная матрица
- •Замечание
- •Свойства обратной матрицы:
- •Матричные уравнения
- •Понятие комплексного числа
- •Действительная и мнимая часть комплексного числа
- •Мнимая единица
- •Равные комплексные числа
- •1.2.Тригонометрическая форма комплексного числа.
- •Формулы для многочленов и операции над многочленами
- •2. Деление с остатком. Теорема Безу
- •Нахождение нод по алгоритму Евклида и с помощью разложения на простые множители.
- •Алгоритм Евклида для нахождения нод
- •Нахождение нод с помощью разложения чисел на простые множители
- •Нахождение нод трех и большего количества чисел
- •Нахождение нод отрицательных чисел
- •Кратные корни многочленов
- •Метод Штурма отделения корней многочлена
- •Способы разложения на множители многочлена степени выше второй.
- •Вынесение за скобки общего множителя.
- •Разложение на множители многочлена с рациональными корнями.
- •Гипотеза h
- •Формулировка
- •Частные случаи
- •*4. Основная теорема алгебры
- •Линейные пространства: определение и примеры Аксиомы линейного пространства
- •Следствия аксиом линейного пространства
- •Примеры линейных пространств
- •Изоморфизм линейных пространств
- •Пересечение и сумма подпространств линейного пространства
- •Прямая сумма подпространств
- •Признаки прямых сумм подпространств
- •Формулы скалярного произведения векторов заданных координатами
- •Примеры задач на вычисление скалярного произведения векторов Примеры вычисления скалярного произведения векторов для плоских задач
- •Пример вычисления скалярного произведения векторов для пространственных задач
- •Пример вычисления скалярного произведения для n -мерных векторов
- •Векторное произведение векторов и его свойства
- •Алгебраические свойства векторного произведения
- •Геометрические свойства векторного произведения
- •Выражение векторного произведения через координаты векторов
- •Формула вычисления векторного произведения
- •Определение смешанного произведения.
- •Смешанное произведение в координатной форме.
- •Свойства смешанного произведения.
- •Вычисление смешанного произведения, примеры и решения.
- •Геометрический смысл смешанного произведения.
- •Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов.
- •Уравнение поверхности
- •Уравнение прямой по точке и вектору нормали
- •Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту
- •Уравнение прямой по точке и направляющему вектору
- •Уравнение прямой в отрезках
- •Нормальное уравнение прямой
- •Угол между прямыми на плоскости
- •Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой
- •Расстояние от точки до прямой
Гипотеза h
Гипотеза H (гипотеза Шинцеля) — обобщение гипотезы Диксона, заключающееся в предположении существования таких полиномов от целых чисел, которые равны простым числам для бесконечного множества значений своих аргументов. Предложена в 1958 году Анджеем Шинцелем
Формулировка
Пусть полиномы с целочисленными коэффициентами f1(n), … fk(n), где n также целое, являются несводимыми и их старшие коэффициенты положительны. Если они таковы, что для каждого простого числа p можно найти некоторое целое число n такое, что эти полиномы не будут делиться на p, то тогда существует бесконечно много положительных n, при которых значение каждого из этих полиномов будет простым числом.
Частные случаи
Известными примерами являются полином
и так называемые простые числа-близнецы, для которых, однако, справедливость гипотезы не доказана.
Один из частных случаев гипотезы был доказан Дирихле. Так, для двух целых чисел, не имеющих общих делителей, арифметическая прогрессия вида
содержит бесконечное количество простых чисел.
Основна теорема алгебри. Многочлени над полем дійсних та комплексних чисел.
*4. Основная теорема алгебры
Не только уравнения вида ах2 + bх + с = 0 или хn - 1 = 0 разрешимы в поле комплексных чисел, но можно утверждать гораздо больше:всякое алгебраическое уравнение степени n с действительными или комплексными коэффициентами
f(х) = хn + аn-1хn-1 + аn-2хn-2 + .. . + а1х + a0 = 0 (17)
разрешимо в поле комплексных чисел. Для случая уравнений 3-й и 4-й степеней эта теорема была установлена в XVI в. Тартальей, Кардано и другими: оказалось, что такие уравнения решаются посредством формул, подобных формуле квадратного уравнения, но значительно более сложных. В течение почти двух столетий длилось настойчивое изучение общего уравнения 5-й и более высоких степеней, но все усилия разрешить их теми же методами оказались напрасными. Когда молодому Гауссу в его докторской диссертации (1799) удалось впервые доказать, что решения существуют, то это уже было крупнейшим успехом; правда, вопрос о возможности обобщить на случай степеней ≥5 классические формулы, позволяющие находить корни с помощью рациональных операций и извлечения корней, оставался в то время открытым (см. стр. 146-147).
Теорема Гаусса утверждает, что, каково бы ни было алгебраическое уравнение вида (17), где n - целое положительное число, а коэффициенты а - действительные или даже комплексные числа, существует по крайней мере одно такое комплексное число α = с + di, что
f (α) = 0.
Число α называется корнем уравнения (17). Доказательство этой теоремы будет приведено в этой книге на стр. 299-301. Предположим пока, что теорема доказана, и выведем из нее другую теорему, известную под названием основной теоремы алгебры (было бы, впрочем, правильнее назвать ее основной теоремой комплексной числовой системы): всякий алгебраический полином степени n
f(x) = xn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 (18)
может быть представлен в виде произведения ровно n множителей:
f(x) = (x - α1)(x - α2)...(x - αn), (19)
где α1, α2, ..., αn - комплексные числа, корни уравнения f (х) = 0. Так, например, полином
f (x) = х4 - 1
разлагается на множители следующим образом:
f (х) = (х - 1)(x - i)(х + i)(х + 1).
Что числа α являются корнями уравнения f(х) = 0, это очевидно из самого разложения (19), так как при х = αr один из множителей f (x), а следовательно, и сам полином f(x) обращаются в нуль.
В иных случаях не все множители x - α1, х - α2, ... полинома f (х) степени n оказываются различными; так, в примере
f(x) = х2 - 2х + 1 = (x - 1)(x - 1)
мы имеем только один корень х = 1, "считаемый дважды", или "кратности 2". Во всяком случае, полином степени n не может разлагаться в произведение более чем n различных множителей вида х - α, и соответствующее уравнение не может иметь более n корней.
При доказательстве основной теоремы алгебры мы воспользуемся - не в первый раз - алгебраическим тождеством
хk - αk = (х - α)(хk-1 + αхk-2 + α2хk-3 + ... + αk-2х + αk-1), (20)
которое при α = 1 служило нам для определения суммы геометрической прогрессии. Предполагая теорему Гаусса доказанной, допустим, что α = α1 есть корень уравнения (17), так что
f (α1) = αn1 + an-1α1n-1 + an-2α1n-2 + ... + a1α1 + а0 = 0.
Вычитая это выражение из f (х) и перегруппировывая члены, мы получим тождество
f(x) = f(x) - f(α1) = (xn - α1n) + an-1(xn-1 - α1n-1) + ... + a1(x - α1). (21)
Пользуясь теперь формулой (20), мы можем выделить множитель х - α1 из каждого члена и затем вынести его за скобку, причем степень многочлена, остающегося в скобках, станет уже на единицу меньше. Перегруппировывая снова члены, мы получим тождество:
f(х) = (х - α1) g (х),
где g (х) - многочлен степени n-1:
g(x) = xn-1 + bn-2xn-2 + ... + b1x + b0.
(Вычисление коэффициентов, обозначенных через b, нас здесь не интересует.) Применим дальше то же рассуждение к многочлену g (x). По теореме Гаусса существует корень α2 уравнения g (х) = 0, так что
g (х) = (x - α2) h (x),
где h (х) - новый многочлен степени уже n-2. Повторяя это рассуждение n-1 раз (подразумевается, конечно, применение принципа математической индукции), мы, в конце концов, приходим к разложению
f (х) = (х - α1)(х - α2)(х - α2)...(х - αn). (22)
Из тождества (22) следует не только то, что комплексные числа α1, α2, ..., αn суть корни уравнения (17), но и то, что иных корней уравнение (17) не имеет. Действительно, если бы число у было корнем уравнения (17), то из (22) следовало бы
f (y) = (y - α2)(y - α2)...(y - αn) = 0.
Но мы видели (стр. 122), что произведение комплексных чисел равно нулю в том и только в том случае, если один из множителей равен нулю. Итак, один из множителей y - αr равен 0, т. е. y = αr, что и требовалось установить.
Інтерполяційний многочлен Лагранжа.
Лагранжа интерполяционная формула
Так называется формула для нахождения интерполяционного многочлена L(x) степени m, принимающего в (m + 1)-й заданной точке xi промежутка [a; b] заданные значения f(xi), i = 0, 1, 2, …, m. Формула имеет вид:
Легко видеть, что при подстановке в формулу значения х = хi все члены суммы, кроме i-го, обращаются в нуль (в числителе дробей, входящих в эти члены, появляются множители, равные нулю), а в i-м члене числитель становится равным знаменателю и дробь обращается в единицу, так что остается лишь множитель f(xi), т.е. получается, что L(xi) = f(xi). Таким образом, интерполяционный многочлен Лагранжа совпадает в заданных точках с заданными значениями неизвестной функции.
Читать дальше...
Важное значение имеет погрешность, которая имеет место при замене неизвестной функции у = f(x) интерполяционным многочленом. Для многочлена Лагранжа погрешность не превышает величины где М – наибольшее значение модуля (абсолютной величины) (m+1)-й производной искомой функции на отрезке [a; b].
Из-за сложности вычислений коэффициентов по формуле Лагранжа неоднократно разными авторами, в том числе и в России, составлялись специальные таблицы коэффициентов.
Рассматриваемая интерполяционная формула найдена французским математиком и механиком Ж. Л. Лагранжем в 1793 г..
Лінійні простори. Визначення, приклади. Лінійні підпростори.