Примеры задач на вычисление скалярного произведения векторов Примеры вычисления скалярного произведения векторов для плоских задач
Пример 1.
Найти скалярное произведение векторов a = {1; 2} и b = {4; 8}.
Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 = 4 + 16 = 20.
Пример 2.
Найти скалярное произведение векторов a и b, если их длины |a| = 3, |b| = 6, а угол между векторами равен 60˚.
Решение: a · b = |a| · |b| cos α = 3 · 6 · cos 60˚ = 9.
Пример 3.
Найти скалярное произведение векторов p = a + 3b и q = 5a - 3 b, если их длины |a| = 3, |b| = 2, а угол между векторами a и b равен 60˚.
Решение:
p · q = (a + 3b) · (5a - 3b) = 5 a · a - 3 a · b + 15 b · a - 9 b · b = = 5 |a|2 + 12 a · b - 9 |b|2 = 5 · 32 + 12 · 3 · 2 · cos 60˚ - 9 · 22 = 45 +36 -36 = 45.
Пример вычисления скалярного произведения векторов для пространственных задач
Пример 4.
Найти скалярное произведение векторов a = {1; 2; -5} и b = {4; 8; 1}.
Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 = 4 + 16 - 5 = 15.
Пример вычисления скалярного произведения для n -мерных векторов
Пример 5.
Найти скалярное произведение векторов a = {1; 2; -5; 2} и b = {4; 8; 1; -2}.
Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 + 2 · (-2) = 4 + 16 - 5 -4 = 11.
Векторний добуток векторів, властивості. Геометричний та фізичний зміст. Обчислення векторного добутку за відомими координатами векторів-множників.
Векторное произведение векторов и его свойства
Вектор 
называется векторным
произведением неколлинеарных
векторов 
и 
,
если:
1)
его длина равна произведению длин
векторов 
и 
на
синус угла между ними: 
(рис.1.42);
2)
вектор 
ортогонален
векторам 
и 
;
3)
векторы 
, 
, 
(в
указанном порядке) образуют правую
тройку.
Векторное произведение коллинеарных векторов (в частности, если хотя бы один из множителей — нулевой вектор) считается равным нулевому вектору.
Векторное
произведение обозначается 
(или 
).
Алгебраические свойства векторного произведения
Для
любых векторов 
, 
, 
и
любого действительного числа 
:
1. 
;
2. ;
3. 
.
Первое свойство определяет антисимметричность векторного произведения, второе и третье — аддитивность и однородность по первому множителю. Эти свойства аналогичны свойствам произведения чисел: первое свойство "противоположно" закону коммутативности умножения чисел (закон антикоммутативности), второе свойство соответствует закону дистрибутивности умножения чисел по отношению к сложению, третье — закону ассоциативности умножения. Поэтому рассматриваемая операция и называется произведением векторов. Поскольку ее результатом является вектор, то такое произведение векторов называется векторным.
Докажем
первое свойство, предполагая, что
векторы 
и 
не
коллинеарны (в противном случае обе
части доказываемого равенства равны
нулевому вектору). По определению
векторы 
и 
имеют
равные длины 
и
коллинеарны (так как оба вектора
перпендикулярны одной плоскости). По
определению тройки векторов 
и 
—
правые, т.е. вектор 
направлен
так, что кратчайший поворот
от 
к 
происходит
в положительном направлении (против
часовой стрелки), если смотреть из конца
вектора 
,
а вектор 
направлен
так, что кратчайший поворот
от 
к 
происходит
в положительном направлении, если
смотреть из конца вектора 
(рис.
1.43). Это означает, что векторы 
и 
противоположно
направлены. Следовательно, 
,
что и требовалось доказать. Доказательство
остальных свойств приведено ниже (см.
пункт 1 замечаний 1.13).
Замечания 1.12
1. Свойства аддитивности и однородности векторного произведения означают линейность векторного произведения по первому множителю:
для
любых векторов 
и
любых действительных чисел 
и 
.
2. В силу антисимметричности векторное произведение линейно и по второму множителю, т.е. линейно по любому множителю.