- •Р.Я. Сулейманов
- •Часть 2
- •Конспект лекций
- •Р.Я. Сулейманов
- •Часть 2
- •Конспект лекций
- •1. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
- •1.1. Общие положения
- •1.2. Задача и порядок расчета переходных процессов
- •1.3. Включение катушки на постоянное напряжение
- •1.4. Включение конденсатора на постоянное напряжение
- •1.6. Включение цепи R, L, C на постоянное напряжение
- •1.8. Расчет переходных процессов в разветвленных цепях
- •2. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
- •2.1. Общие вопросы
- •2.2. Переход от оригиналов к изображениям
- •2.3. Правила дифференцирования и интегрирования
- •2.5. Второй закон Кирхгофа в операторной форме
- •2.6. Операторные схемы
- •2.7. Переход от изображений к оригиналам
- •2.8. Включение цепи R, L, C на постоянное напряжение
- •После преобразования получим
- •2.9. Передаточные функции
- •3. ЦЕПИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
- •3.1 Общие вопросы
- •3.4 Решение основных уравнений
- •3.5 Постоянные интегрирования. Гиперболические функции
- •3.6 Падающие и отраженные волны
- •3.8 Неискажающая линия
- •3.9 Входное сопротивление нагруженной линии
- •3.10 Вторичные параметры линии с распределенными параметрами
- •4. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
- •4.1. Общие вопросы и определения
- •4.2. Вольтамперные характеристики некоторых реальных элементов
- •4.3. Расчет нелинейных цепей постоянного тока
- •4.4. Метод двух узлов
- •4.6. Аналитический расчет нелинейных цепей
- •4.7. Расчет магнитных цепей. Магнитное поле постоянных токов
- •4.8. Основные характеристики ферромагнитных материалов
- •4.9. Магнитные цепи постоянного тока. Законы магнитных цепей
- •4.10. Расчет неразветвленной магнитной цепи
- •4.11. Расчет силы притяжения электромагнита
- •4.13 Форма кривой тока и напряжения
- •4.14 Потери на вихревые токи и гистерезис
- •4.15 Катушка со стальным сердечником. Схема замещения
- •4.16 Определение намагничивающего тока
- •5. ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
- •5.1. Общие вопросы
- •5.2 Краткие сведения из векторной алгебры
- •5.4 Второе уравнение Максвелла
- •5.5 Третье уравнение Максвелла
2.6. Операторные схемы
Для составления операторных изображений можно использовать так
называемые операторные схемы. В этих |
схемах все элементы и токи |
|||
обозначаются |
их |
операторными |
выражениями. Начальные |
условия |
учитываются дополнительными источниками, включенными последовательно с индуктивностью и емкостью соответственно. Причем направление источника,
учитывающего ток в индуктивности, совпадает с направлением тока,
величина равна Li(0). Последовательно с емкостью включается источник э.д..с
направленный против тока. Величина его равна uc(0)/p .
2.7. Переход от изображений к оригиналам
После определения операторных выражений неизвестных необходимо найти оригиналы функций. Для этого есть два пути. Первый, это нахождение оригиналов по таблицам. Второй путь – по теореме разложения.
Изображение тока в любой физически осуществимой цепи можно привести к виду:
I ( p) = |
G( p) |
a p m + a |
2 |
p m-1 |
+ ... + a |
m |
p 0 |
|
||
|
= |
1 |
|
|
|
. |
(2.25) |
|||
F( p) |
b p n + b p n-1 |
+ ... + b p 0 |
||||||||
|
|
|
1 |
2 |
|
n |
|
|
|
В этом выражении m ≤ n ; ak , bk – вещественные числа; многочлены G(p),
F(p) не имеют общих корней, т.е. дробь является несократимой. Кроме того,
многочлен F(p) не имеет нулевых и кратных корней.
Известно, что дробь G(p)/ F(p) можно разложить на простейшие дроби:
G( p) |
|
A1 |
|
A2 |
|
Ak |
|
|
An |
|
n |
Ak |
|
, (2.26) |
|
= |
|
+ |
|
+ ... + |
|
|
+ ... + |
|
|
= å |
|
|
|
F ( p) |
p - p1 |
p - p2 |
p - p |
|
p - p |
|
|
|
||||||
|
|
|
k |
n |
k =1 p - p |
k |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где р1 , р2, …рк … рn – корни знаменателя;
A1 , A2 , …Ak … An – коэффициенты, которые подлежат определению.
Обе части уравнения (2.26) умножим на р - рк :
30
G ( p)( p - p |
k |
) |
= |
A |
( p - p |
k |
) |
+ |
A |
2 |
( p - p |
k |
) |
+ ... + A |
|
+ ... + |
A |
n |
( p - pk ) |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|||||||||
F ( p) |
|
|
|
p - p1 |
|
|
|
|
p - p 2 |
|
|
|
|
p - p n |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть р → рк , тогда р – рк = 0 , и
Ak |
= lim |
G ( p )( p - p k |
) |
. |
F ( p ) |
|
|||
|
p ® pk |
|
|
В этом выражении правая часть содержит неопределенность, так как F(p) → 0
и р – рк = |
0. Эта |
неопределенность раскрывается по правилу |
|||||||||||
Лопиталя. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
( p - |
p |
|
) |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|||||
Ak |
= G ( p k ) |
lim |
dp |
|
|
= G ( p k |
) |
1 |
, |
||||
|
|
|
|||||||||||
|
d |
[F ( p )] |
|
F ¢( p k ) |
|
||||||||
|
|
p ® pk |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dp
Окончательно
Ak |
= |
G ( p k ) |
, |
F ¢( p k ) |
|
||
|
|
|
|
где F’(p) – производная. |
|
|
|
|
G ( p) |
|
n |
Ak |
|
|
|
n |
|
G ( p K ) |
1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
= |
å |
|
|
|
|
= å |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
F ( p) |
|
- p |
|
|
|
|
|
|
|
|
) ( p - |
p |
|
) |
||||||||
|
|
k =1 p |
k |
k =1F ¢( p |
k |
k |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
== eat |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
( p - a ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
то |
|
i ( t ) = å G ( p K ) e p k t . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
F ¢( p |
k |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.27)
(2.28)
(2.29)
(2.30)
Это есть теорема разложения. Правая часть полученного выражения представляет собой сумму экспоненциальных составляющих. Количество их равно числу корней знаменателя. Если знаменатель имеет нулевой корень, его можно представить в виде
F1 ( p) = pF ( p) .
31
В этом случае теорема разложения принимает вид:
i(t) = |
G(0) |
n |
G( pk ) |
p |
t |
|
|
|
|||||
|
+ å |
|
e k |
. |
(2.31) |
|
F(0) |
¢ |
|||||
|
k=1 pk F ( pk ) |
|
|
|
Рассмотрим несколько конкретных примеров. Включение конденсатора на постоянное напряжение (рис. 2.4).
Составим уравнение по второму закону Кирхгофа:
|
|
iR + |
1 t |
|
|
|
|
R |
|
C |
òidt +uc (0) = E |
|
(2.32) |
||
i |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
C |
Перейдем к операторной форме записи: |
|||||
|
|
||||||
Рис. 2.4. Схема заряда конденсатора |
I ( p)R + |
1 |
I ( p) + uc (0) = E . |
(2.33) |
|||
|
|
pC |
p |
p |
|
||
|
|
|
|
|
|||
Откуда выражаем |
|
|
|
|
|
|
|
I ( p) = |
E / p -uc |
(0) / p |
|
|
|
|
. |
(2.34) |
|
|
|
|||
|
R +1/ pC |
|
Упростим это уравнение:
I ( p) = |
C[E - uc |
(0)] |
|
|
|
|
. |
(2.35) |
|
|
|
pCR +1
Введем обозначения в соответствии с теоремой разложения:
G(p) = С[E-uс (0)] ,
F(p) = pCR – 1 = 0,
F’(p) = CR ,
P1 = – 1/ CR.
Применим теорему разложения: 32
i(t) = |
G( p1 ) |
e p1t |
= |
C[E - uС (0)] |
e p1t . |
(2.36) |
||
|
|
|
||||||
|
F¢( p1 ) |
|
|
|
CR |
|
||
При нулевых начальных условиях: |
|
|||||||
|
i(t ) = |
E |
e p1t . |
(2.37) |
||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
R |
|
Полученные выражения полностью совпадают с выражениями, полученными в классическом методе.
Для определения операторного выражения напряжения конденсатора запишем дифференциальное уравнение:
CR |
du c |
+ u c = E . |
(2.38) |
|
|||
|
dt |
|
Перейдем в операторную форму с учетом правила дифференцирования:
CR[pU c ( p) - uc (0)]+U c ( p) = E / p . |
(2.39) |
При нулевых начальных условиях, после некоторых преобразований получаем
U c ( p ) = |
E |
|
|
|
. |
(2.40) |
|
|
|||
|
p ( pCR + 1) |
|
В знаменателе этого выражения имеется нулевой корень. Следовательно, здесь требуется применение второй формы теоремы разложения:
uc |
(t) = |
G(0) |
|
G( p1) |
p t |
|
E |
|
|
E |
|
p t |
p t |
|
+ |
|
e 1 |
= |
|
+ |
|
|
|
× e 1 |
= E(1 - e 1 ) . (2.41) |
||
F (0) |
p1F ¢( p1) |
1 |
|
1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
- |
CR |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
CR
33